湖北省武汉市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题(含解析)

2023-2024学年度第二学期八年级自我检测月练习

练习时间：3月25日学科：数学满分：120分时间：120分钟

一、选择题（共10小题）

1.下列计算正确的是（）

A.272x272=8B.<*32-^8=>/2C..5一、口=0D.据+2=3

2.下列二次根式是最简二次根式的是（）.

A.瓜B.6C.反D.R

3.在平行四边形48co中，若/B=2/A,则/C的度数为（）.

A.120°B.60°C,30°D.15°

4.在下列由线段。，b,c的长为三边的“8C中，不能构成直角三角形的是（）

A、a?=cz-b?B./Z::/C=3:4:5

C.a=2,b=1,c=-D.a=3k,b=4k,c=5左（左>0）

44

5.已知：同二7是整数，则满足条件的自然数〃为有（）种可能.

A.2B.3C.4D.5

化简小（1—p）+卜2一p）二（）

6.已知1<,<2,

A.1B.3C.3—2pD.1-277

7.如图，Y/5CE中，对角线ZC、5。相交于点。，OE上BD交AD于点、E,连接8E,

若Y/5CD的周长为28,则A45E的周长为（）

A.28B.24C.21D.14

8.如图，在矩形/5CO中，45=5,40=3,点E为3C上一点，把△CZ）及沿。6翻折，C

恰好落在Z8边上的尸处，则C£的长是（）

AB

DL^T_________!c

534

A.-B.-C.-D.2

323

9.如图，中，ZACB=,50°,分别以直角三角形的三条边为边，在直线45同侧分

别作正三角形，已知S=8,S;=6,S=3,则的面积是（）

甲乙丙

入

A.5B.11C.17D.22

10.如图，在四边形4BCZ）中，/3=135°,ZC=120°,AB=茅,8c=3-退，

CD=6,则AD边的长为（）

/X

AD

A.65AB.3y/3C.472D.4出

二、填空题（共6小题）

11.如果两个最简二次根式J3a-8与J17-2”能够合并，那么a的值为________.

+Q-Jj）x的值为_____.

12.已知x=2+、/J,则代数式4

13.一根木杆在离地2.5米处折断,木杆的顶端在离木杆底端6米处，则木杆折断之前的高

度为________米.

14.如图，将长方形分成四个区域，其中A,8两正方形区域的面积分别是1和6,则剩余

区域的面积是

15.在平行四边形/3CZ）中，平分NA4D交边3C于/平分//DC交边8c于尸.若

AD=11,EF=5,则AB=.

16.如图，在平行四边形/BCD中，乙43C=120。，AB=&连接8。，且ADLCD,CE

平分NDC8交ND与于点E.点N在3C边上，BC=4CN,若线段P。（点尸在点。的左侧）

在线段C8上运动，尸。=史，连接BP,NQ,则8P+PQ+QV的最小值为.

2

（2）2jTIx立.5点.

4

18.如图，在Y4BCD中，AE平分NB4D,交BC于点、E,CF平分NBCD,交/。于点

F.求证：四边形4ECF是平行四边形.

19.如图所示，在AABC中，ZA=45\AC=<2,AB=<1+1,求(1)S；(2)求3C的

M.BC

20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小格的顶点叫做格点其中格点/

已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图(不需要写画法).

(1)在图中画一个使其三边长分别为==

(2)在(1)的条件下，计算：S=；8c边上的高为

4ABe---------------------------------

(直接写出结果)；

(3)设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a,b反h,求证：—+=

Q2b2用2

21.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳

端从C移动到£,绳子始终绷紧且绳长保持不变.

(1)若CF=7米，N尸=24米，42=18米，求男子需向右移动的距离；(结果保留根号)

(2)此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从N处移动到

岸边点尸的位置？

22.阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点/G,0)、3(x,0)的距离记作

12

AB=\x-x^,如果/(„)、BQ,%)是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形

来求N8间的距离.

如图，过/、3分别向x轴、＞轴作垂线、AN和BM、BN,垂足分别是/、N、

/112211

M?、凡，直线交aI、于点0,在放“8。中，AQ=\X-X^\9BQ=\y-yy

：.AB2=AQ2+BQ2=\X-xI2+\y-yI2=(x-x>+(y-y).

~112111211212

(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点/(\，5)、^(.，八)间的距离公式为：AB=-

(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点/(1,-2),3(-2,2)之间的距离为.

(3)在平面直角坐标系中的两点/(-1,3),8(4,1),P为x轴上任一点，求力+尸2的最小值：

(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式/P+(尸2»+J(x-31+(y-如的最小值(直

接写出答案).

(5)应用拓展：如图，若点。在3C上运动，AD1BC,AD=3,BC=5,连接48,AC,

求18c的周长的最小值.

23.如图①，点/、B、C、。在同一条直线上，点。为直线外一点，连接。/、OB、0C、

①②③

⑴若。/=。2,ZAOB=120°,4B=6.

①求。/的长度；

②旋转NCOD,使C在48上，。在4B的延长线上，如图②，若AC=m,BD=n,求加，n

之间的关系；

(2)如图③，若OC=QD,点/在DC延长线上时，且NCMC=15。，AD=4,则4C的长为

(请直接写出答案).

24.在平面直角坐标系中，。(0,0),/(°,6),且0,b满足b=Ja—2+j6—3a+2、回,

(1)求点/的坐标：

(2)若点5在x轴正半轴上，且03=4.在平面内有一动点尸(点P不在x轴上),

0P=c,BP=d,AP=e,且(e+c)(e-c)=〃2,求/O总的度数；

(3)在(2)的条件下，直接写出S的最大值

△BOP

参考答案与解析

1.A

【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题

可根据二次根式的加减乘除运算可进行排除选项.

【详解】解：A、272x272=8,计算正确，故符合题意；

B、用一般=4旌-2屈=2瓶,原计算错误，故不符合题意；

C、招一生二柩一出,原计算错误，故不符合题意；

D、718+2=3^+2,原计算错误，故不符合题意；

故选A.

2.B

【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可.

【详解】解：A.瓜=2屈,故此选项不符合题意;

B.J7是最简二次根式，正确

eg点嚼,故此选项不符合题意；

D.、I=@,故此选项不符合题意.

\55

故选：B.

【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两

个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式,

那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键.

3.B

【分析】根据平行四边形的性质邻角互补，对角线相等即可解答；

【详解】在平行四边形48C。中，乙4+48=44+244=180。

N4=60°,ZC=ZA=60°

故选:B.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的角的性质邻角互

补，对角线相等.

4.B

【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A.•■-ai=C2-b2,

■-ai+bi=C2,故能构成直角三角形；

B,ZA:ZB:ZC=3:4:5,

...ZC=AX18CP=75O,

12

.•.“BC是锐角三角形，故不能构成直角三角形，

C、审+12=0，故能构成直角三角形;

D、(3左＞+(4左»=(5左＞,故能构成直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a,b,c

满足俏+62=C2,那么这个三角形就是直角三角形.

5.D

【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关犍由｛为二H

是整数且〃为自然数可进行求解.

【详解】解：•.•历不是整数，且〃为自然数，

•••当J20-”=0时,则有”=20；

当J2O-〃=1时,则有"=19；

当而二=2时,则有"=16；

当而二77=3时，则有〃=11；

当、历5==4时，则有〃=4；

综上所述：满足条件的自然数〃的取值有5种；

故选D.

6.A

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

【详解】解：-A<P<2,

1—0<0,2-p>0,

v,(l-p)2+C/2-p)=p-1+2-p=1,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知：7卷=同,(《万)2=。是解本题的关键.

7.D

【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.

【详解】解：••・四边形/8C理平行四边形，

OB=OD,AB=CD,AD=BC,

•••平行四边形的周长为28,

.-.AB+AD^14

•・•OE1BD,

・••匿是线段5。的中垂线，

BE=ED,

AABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14,

故选D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性

质和中垂线定理.

8.A

【分析】根据矩形的性质可得：AB=CD=5,AD=BC=3,再根据折叠的性质可得

CE=EF,CD=DF=5,利用勾股定理即可求出AF,从而求出BF,^CE=EF=x,再

根据勾股定理列出方程即可求出CE的长.

【详解】解：在矩形N3CD中，AB=CD=5,AD=BC=3,

根据折叠性质可知C£=M,CD=DF=5,

在RtA/Z)尸中，AFi+ADi=DFi,

即/尸2+32=52,

解得/尸=4或/尸=-4(舍去)，

AB=5,

.•.BF=AB-AF=5-4=1,

在RGBEF中，EF2=BF2+BE?,

设CE=EF二x,则5E=3—%,

则X2=12+(3-十(,

解得X=g

即CE=：

故选A.

【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此

题的关键.

9.B

【分析】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是掌握等边三角形的面积

由图形得到s=S-S丙一G-S)-(S-sj,设直角三角形的三边长为以6、

4ABe△ABD丙JCE甲^BCF乙

C,由等边三角形面积公把边长2代人求解即可.

4

【详解】解：由图可知：

s=s-s-(s-s)-6-s)

公ABC△ABD丙AACE甲4BCF乙

过点。作DHL48于点”,

是等边三角形,

:.AD=AB=BD,ZADB=AABD=NDAB=60°,

1八

・•・AH=-AB,DH=^L-AB,

11/T/T

・・.S=_ABDH=_AB・JAB=JAB2,

△ABD2224

同理可得S=^LACI,S=—BC2,

△ACE4ABCF4

设4B=c,AC=b,BC=a,则有42+62=02,S=——^2,51=——62,51=——(22,

△ABD4△ACE4&BCF4

S

△ABC

7\7

故选B.

10.D

【分析】过点A,。分别作垂直于直线8C,垂足分别为£,F,根据

/8=135。，ZC=120°,可构成等腰直角三角形，和角是30。的直角三角形，根据其性质,

可求出线段/G,0G长，根据勾股定理可求出，。的长.

【详解】解：如图，过点A,。分别作4E,。尸垂直于直线3C,垂足分别为E,F.

•・•ZB=135°,

/ABE=45。,

5

BE=AE=—^―x=y/3,

•・•ZC=120°,

/./DC尸=60。，

・・・NC。b=30。,

,;CD=6,

：.CF=LCD=3,

2

DF=y/CD2-CF2=3y/3,

EF=^3+(3—\/3)+3=6.

过点A作/G，。尸，垂足为G.

在RL/DG中，AG=EF=6,DG=DF-AE=36-、®=26.

根据勾股定理得AD=y/AGi+DG2=562+(2居2=473.

故选D

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，和等腰直角三角形的性质和30。直角三角形的特点,

从而可求出解.

11.5

【分析】利用同类二次根式的概念即可求出.

【详解】•••两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，

病二？与47-2a是同类二次根式,

3。—8=17—2a,a=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键.

12.8+4/##4/+8

【分析】直接把x的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案即可.

【详解】解：•.・x=2+0,

••%2+(2-

=(2+6)2+(2—石)(2+>5)

=4+3+4、石+4-3

=8+4&.

故答案为：8+4/.

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握二次

根式的性质，是解题的关键.

13.9

【分析】首先根据勾股定理计算出木杆折断出到顶端的距离，在加上木杆折断出距离底面的

长度，即可计算出木杆折断之前的高度.

【详解】解：木杆折断出到顶端的距离为：,2.52+62=6.5（米），

木杆折断之前的高度为：6.5+2.5=9（米）.

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，建立数学模型.

14.V6-1.

【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.

【详解】解：rA,8两正方形区域的面积分别是1和6,

则A,B两正方形区域的边长分别是1和思,

则剩余区域的面积为：（1+新）xJ^-l-6=7埼-1.

故答案为：5/6-1.

【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.

15.8或3

【分析】根据平行线的性质得到乙4。尸=乙0尸。，由DF平分乙4DC,得到乙仍F=等

量代换得到根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理班=48,根据平行

四边形的性质得到N8=CO,AD=BC,得出AB=BE=CF=CD,分两种情况，即可得到结

论.

【详解】解：①如图1,

图1

在口N8CD中，-：BC=AD=\\,BC\\AD,CD=AB,CD\\AB,

；"AE=UEB,UDF—DFC,

•：AE平分乙BAD交3c于点E,DF平分乙4。。交5c于点F,

.5AE=3AE,Z.ADF=Z-CDF,

；ZBAE=UEB,(CFD=cCDF,

：.AB=BE,CF=CD,

：.AB=BE=CF=CD

,：EF=5,

'.BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,

•.AB=8；

；,3AE=UEB,UDF-DFC,

-AE平分乙BAD交5c于点E,DF平分乙4DC交5C于点F,

・・.£BAE=^DAE,UDF-CDF,

••・^BAE=4EB,乙CFD=(CDF,

：,AB=BE,CF=CD,

：.AB=BE=CF=CD

♦：EF=5,

；.BC=BE+CF=2AB+EF=248+5=11,

：.AB=3；

综上所述：43的长为8或3.

故答案为：8或3.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本

题的关键是判断出AB=BE=CF=CD.

16V35+V15

2

【分析】在C。上截取CG=CN,连接G。，过点B作2尸〃。£,使8尸=P。=莹，连接。尸

交C£于点7,连接。尸，过点/作于点M,过点G作G〃J.。尸于点a,连接

FG,由平行四边形的性质和含30。直角三角形三边关系可得：BC=2CD=2y[5,利用勾股

定理可得2。=行，再利用含30。直角三角形三边关系可得：BM=LBF=叵,

24

FM='BF-BMz=逆,进而可得=）叵，求得：尸G=W亘，再证四边形2尸。尸

442

是平行四边形，得出5P=尸。，再证明△CN0多△CG0（SAS）,得出。N=QG,根据

FQ+QG>FG,可得出：当点。在线段尸G上时，FQ+QG的最小值为尸G,即2尸+QV的

最小值为FG,即可求得BP+PQ+QN的最小值.

【详解】解：在CD上截取CG=CN,连接G0,过点B作2尸〃CE,使BF=PQ=叵,

2

连接。尸交CE于点7,连接。尸，过点尸作尸于点M,过点G作尸于点”,

连接尸G,

•.•四边形4BCD是平行四边形，AB=S

AB||CD,CD=AB=,

ZABC=120°,

ZBCD=180°-ZABC=180°-120°=60°,

BD1CD,CD=<5,

ZCBD=90°-ZBCD=90°-60°=30°,

BC=2CD=2后,

BD=JBC2-CD2=jQ好)-G)=y/15,

•：CE平分/DCB,

・•・/BCE=/DCE=-ZBCD=Lx60。=30°,

22

-BF//CE,

・・・/CBF=/BCE=3。。,

/DBF=/CBF+CBD=30°+30°=60°,

■:FM工BD,BF=—,

2

：.BM=-BF=^-,FM=yjBF2-BM2

24

・•.DM=BD-BM=/—晅=bUL,

DF=^DM2+FMI=

DF2+BF2==15=BD2,

・•・BFIDF,

-BF//CE,

CE1DF,

•・•ZDC^=30°,

/CDF=90°-ZDCE=90°-30°=60°,

VBC=2^,BC=4CN,

.­.CN=-BC=-x2y/5=—,

442

:.CG=CN=@,

2

・•.DG=CD-CG=y/5-^-=—9

22

•：GHIDF,ZCDF=60°,

・•.DH，DG=\显=显,

2224、、

GH=qDG2-DH2=

2J4J4

.F*DFDH_3rN

••rri—Lfr—UrL-----------/-5---_--5--,-/-5--,

244

•••FG=ylFHi+GHi=

■.■BF\\CE,BF=PQ,

.•・四边形BPQF是平行四边形,

；,BP=FQ,

在△CNQ和△CGQ中,

CN=CG

<ZNCQ=ZGCQ,

CQ=CQ

/XCNQ也△CG0(SAS),

：.QN=QG,

••・线段尸0（点尸在点。的左侧）在线段C8上运动,

,-.FQ+QG>FG,

:•当点。在线段尸G上时，尸0+QG的最小值为尸G,

.•.2P+0N的最小值为尸G,

•••尸。=汇，/G=变，

22

.•.8P+PQ+QN最小值为：尸G+PQ=叵+疸=叵土叵，

222

即BP+PQ+QN最小值为底+屈,

2

故答案为：变上出.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，30。角所对的直角边等于

斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角

形是解题的关键.

17.(1)10

⑵半

【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则.

（1）先对括号内进行二次根式的化简和二次根式的加法运算，然后计算乘法；

（2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果.

【详解】(1)

乎+3、回x、回

=10；

(2)2mx与5®

=4@乎+5式

=34-572

3壶

18.证明见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，等角对等边等等，先

由平行四边形的性质得到N3=cnAD//BC,AD=BC,再由平行线的性质和角平分线的

定义得到=,则48=8£,同理可得。尸=CD,据此可得。尸=3£,进而推出

AF=CE,由此即可证明结论.

【详解】证明：••・四边形4BCD是平行四边形，

AB=CD,AD//BC,AD=BC,

：.ZAEB=ZEAD,

■：AE平分ZBAD,

：./BAE=NEAD,

ABAE=ZAEB,

AB=BE,

同理可得。产=C。，

・•.DF=BE,

・•・AD-DF=BC-BE,

・•.AF=CE,

又・・•力尸〃CE,

・•・四边形AECF是平行四边形.

19.(1)"+1；(2)2.

2

【分析】（1）过点C作CD1AB于点D,直接利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得

出答案；

（2）首先求出BD的长，再利用勾股定理得出BC的长即可.

【详解】解：（1）过点C作CD1AB于点D,

•••ZA=45°,AC=G

AAD=DC=ACsin45°=1,

V3+1

(2)vAB=^3+l,AD=CD=1,

.•,BD=百,

•••BC=4BDi+CDi=2.

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，得出AD,DC的长是解题关键.

20.（1）见解析；（2）2；网9；（3）见解析

【分析】（1）结合勾股定理和网格特点做出三条线段；

（2）利用勾股定理逆定理判断4/台。的形状，然后利用三角形面积公式求解;

（3）根据勾股定理和三角形面积进行推理计算

【详解】解：（1）•••AB=42,AC=272,BC=^To

・•.如图，MBC即为所求

C

(2).(e)+Q及)=(何)

・•.△4BC为直角三角形

设BC边上的高为九则S=kABAC=}-BC-h

△ABC22

.-.S^-AB-AC^-xy,i2x2^'2=2

△ABC22

回•〃=2,解得：公网9

25

故答案为：2；迎

5

（3）设直角三角形的两条直角边、斜边及斜边上的高分别为a,b,c,h,

•••。2+b?=。2,—ab=—ch,即ab=ch

22

11a2+Z）2。21口H111

•（*一+•-=-=■—=*',同J,

a2bia2b2cihihiazbihi

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、二次根式的应用、勾股定理，解决本题的关键

是根据网格准确画图.

21.(1)

（2）不能

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出NC、BC的长是解题的关

键.

（1）根据勾股定理求/C、3C的长，然后作差求解即可；

（2）先求出从/处移动到岸边点尸的时间，比较大小，然后作答即可.

【详解】（1）解：=90。，/尸=24,

由勾股定理得，AC=^AFi+CFi=25,

•••AB=18,

:.BF=AF-AB=6,

由勾股定理得，BC=dBF-CF2=府,

:.CE=AC-BC=25-底,

・••求男子需向右移动的距离为《5-屈）米；

（2）解：由题意知，需收绳的绳长/C-CF=25-7=18（米）,

•••此人的收绳时间为诟=36秒，

36>30,

・•.该男子不能在30秒内将船从N处移动到岸边点厂的位置.

22.⑴J"-xJ+(j;->

(2)5

⑶间

(4)M

(5)761+5

【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为

两点之间距离问题是解题关键.

(1)由/比=G-X»+(y->>即可求解；

1212

(2)直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可；

(3)作点2关于x轴对称的点8,连接直线/夕与x轴的交点即为所求的点尸，PA+PB

的最小值就是线段42',求出"的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可；

(4)代数式JX2+G-2>+J(X-3»+G-1»表示点(X/)到点(0,2)和(3,1)的距离之和，

由两点之间线段最短可知点(xj)在以点(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，其距离之和最小,

再利用两点之间距离公式求解即可；

(5)过/作尸。〃8C,作2关于直线P0的对称点夕，连接夕C,/9，由对称性可证。8C

的周长的最小值为3'C+BC,利用勾股定理求解即可；

【详解】⑴由题意知：N(x/)、B(X,y),

1122

AB2=(%-x»+G-y>,

1212

/.AB=J(x-x>+(>,

Y1212

故答案为：J(x-x/+G-二>；

yi2i2

(2)*.^(1,-2),5(-2,2),

AB=J[1-(­2)]。+(-2-2)=5,

故答案为：5；

(3)作点8关于x轴对称的点夕，连接直线与x轴的交点即为所求的点尸，PA+PB

的最小值就是线段工"，如图，

；3关于x轴对称的点

，点"的坐标为(4,-1),

AB'=J(-l一办+[3-(-1)乎=<41,

.•.P/+P8的最小值为JZT；

(4)代数式JX2+G-2>+J(X-3)+G-»表示点(X/)至I点(0,2)和(3,1)的距离之和，

由两点之间线段最短可知，点(xj)在以点(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，其距离之和最

小，

Jx2+(y_2»+^(x-3>+(y-l>的最小值为：J(0一3「+(2二11=牺；

(5)过力作尸。〃3C,作8关于直线尸。的对称点"，连接B'C,AB',

■B,3'关于直线尸。对称,

.­.AB'=AB,PB'=PB,

AB+AC=AB'+AC,

：./3+/C的最小值为B'C,

AABC的周长的最小值为B'C+BC,

vPQ//BC,AD-LBC,/D=3,

PB=AD=3,

BB'=2PB=6,

在RIAB,BC中，B'C=JBB'2+BC2=闹，

”BC的周长的最小值为夕。+8。=9+5.

23.⑴①2、月；②加=生字

〃+4

(2)45/3-4

【分析】（1）①根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；

②将AOBD绕。顺时针旋转120。得到AOAF,过尸作FHL4B交BA的延长线于",连接CF,

通过旋转全等，可证乙4尸8=30。，AOCF丝AOCD（SAS）,进而可求.=正〃，

2

HC=m+-n,CF=CD=6-m+n,在RtZ\CFH■中，利用勾股定理可得

2

(加及)2+(^-/7)2=(6-m+w)2,再整理求解即可；

(2)在上取一点P,^PA=PO,通过等腰三角形的性质和外角的性质，可证AOCD为

等边三角形，则OC=OD=DC,NPOD=90。,设OD=b,利用勾股定理可得OP=J物，

由4D=4P+PD=0P+PD=6b+2b=4,可以求出6=8—4的，进而即可求出4C.

【详解】(1)①如图，过点。作于£,

'''OA=OB,ZAOB=\20\OEVAB^

NOAB=AOBA=30°,AE=BE=；AB=3,ZOEA=ZOEB=90。，

设OE=a,

丁ZOAE=30。,

OA—2OE=2〃,

在RSQE4中，AE2+EO2=OA2,

1.32+Q2=(2Q>,

解得Q=、行,

OA=2a=2y/3；

②将AOBD绕。顺时针旋转120。得到△04尸，过尸作尸5交34的延长线于式连接CF,

则AOAF%OBD,ZDOF=120°,

...OF=OD,AF=BD=n,ZAOF=NBOD/OAF=ZOBD=180。—NABO=150。，

•••/A4O=30。，

ZFAC=/OAF-/BAO=120°,

FH1AB,

?.AH=90o,

ZAFH=ZFAC-ZH=3(y,

,AH=-AF=-n,

22

在RtZ^4HF中,FH=jAF2—AH2=^n,

2

HC=AH+AC=m+—n,

2

,.・AB=6,

BC=6—m,

CD=BC+BD=6-m+n,

丁ZDOF=12009ZCOD=60°,

ZCOD=ZCOF=60。，

-：OF=OD,OC=OC,

.•.AOCF^AOCD(SAS),

CF=CD=6-m+n,

在RtACFH中，FH2+CH2=CF2,

1g

(m-v—n)2+(--n)2=(6-加+ri)i,

13

m2+—«2+m几+—n2=36+m2+n2-12m+12n-2mn,

44

mn=12-4m+4〃,

4〃+12

...m=-----；

耳+4

(2)在/。上取一点P,使尸/二P。，

-：PA=PO,

ZPAO=ZPOA=15°,

ZOPC=ZPOA+NPAO=30,

OC=OD,/COD=6S,

.•.△OCD为等边三角形,

OC=OD=DC,ZODP=60。，

ZPOD=180°-ZOPD-ZODP=90。,

设OC=OD=DC=b,

ZOPD=30。，

PD=2OD=2b,

在Rt^POD中，QP=《PD?-ODz=y/3b,

AD=AP+PD=OP+PD=q幼+26=4