新教材人教A版5.4.2正弦函数余弦函数的性质(二)课件（38张）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)【情境探究】生活中许多美好的事物都有对称性,如漂亮的蝴蝶,它停飞展翅就是一幅异常美丽的对称图案.

必备知识生成数学中的对称美也比比皆是,如圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、正方体等.正弦函数、余弦函数的图象也很美,它们有怎样的对称性?除此之外还有哪些性质呢?继续探究:问题1.观察正弦函数y=sinx,x∈R的图象,回答问题:(1)函数y=sinx,x∈的单调递增区间是________,单调递减区间是__________.

提示:

(2)结合正弦函数的周期性,它还有哪些单调区间?提示:在及的每一个端点上分别加上±2π,±4π,±6π…都是它的单调区间.问题2.观察余弦函数y=cosx,x∈R的图象,回答问题:

(1)函数y=cosx,x∈[-π,π]的单调递增区间是________,单调递减区间是________.

提示:[-π,0][0,π](2)类比正弦函数的单调性,结合余弦函数的周期性,写出余弦函数的所有单调区间.提示:增区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z).问题3.观察正弦曲线、余弦曲线,回答下面的问题:正弦曲线:余弦曲线:(1)观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?提示:存在.正弦、余弦函数的最大值和最小值分别是1和-1.(2)在何处正(余)弦函数取得最大值和最小值?提示:过图象上最高(低)点分别作x轴的垂线与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数分别取得最大(小)值.【知识生成】1.结论:正弦、余弦函数的单调性2.结论:正弦、余弦函数的最值(1)正弦函数:①当x=_______________时,正弦函数取最大值1;②当x=_______________时,正弦函数取最小值-1.(2)余弦函数:①当x=___________时,余弦函数取最大值1;②当x=______________时,余弦函数取最小值-1.-+2kπ(k∈Z)+2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)π+2kπ(k∈Z)关键能力探究探究点一求正弦、余弦函数的单调区间【典例1】求函数y=cos的单调递增区间.【思维导引】观察式子中x的系数为负数,可先利用诱导公式将x的系数变为正数,再利用换元法求其单调区间.【解析】因为y=cos=cos=cos,故要求函数y=cos的单调递增区间,只要求函数y=cos的单调递增区间即可.设θ=2x-,由于y=cosθ的单调递增区间为{θ|2kπ-π≤θ≤2kπ(k∈Z)},所以2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数y=cos的单调递增区间为(k∈Z).【类题通法】求正、余弦函数的单调区间的方法(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间方法同上.(3)在y=Asin(ωx+φ)中,若A<0或ω<0,则先利用诱导公式将A或ω转为正值再求解.【定向训练】求函数y=2sin的单调递增区间.【解析】y=2sin=-2sin,令z=x-,则y=-2sinz.因为z是x的一次函数,所以要求y=-2sinz的单调递增区间,即求sinz的单调递减区间,即2kπ+≤z≤2kπ+(k∈Z).所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以函数y=2sin的单调递增区间为(k∈Z).【补偿训练】函数y=sin,x∈的单调递减区间为________.

【解析】由+2kπ≤3x+≤+2kπ(k∈Z),得≤x≤(k∈Z).又x∈,所以函数y=sin,x∈的单调递减区间为答案:

探究点二利用正弦、余弦函数的单调性比较大小【典例2】比较下列各组数的大小:【思维导引】诱导到同一单调区间内比较大小.【解析】(1)由诱导公式可得因为正弦函数y=sinx在上单调递增,且0<所以即,所以(2)因为y=sinx在上单调递增,且,所以(3)

因为y=cosx在(0,π)上单调递减,所以即【类题通法】比较三角函数值大小的方法步骤(1)利用诱导公式转化为锐角三角函数值.(2)不同名的函数化为同名函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.【定向训练】(1)比较与的大小;(2)比较的大小;(3)已知α,β为锐角三角形的两个内角,比较cosα与sinβ的大小关系.【解析】(1)因为且函数y=cosx在上单调递减,所以(2)因为函数y=cosx在上单调递减,所以即(3)因为α,β是锐角三角形的两个内角,故α+β>,所以所以cosα<cos=sinβ,即cosα<sinβ.【补偿训练】cos1,cos2,cos3的大小关系是________.(用“>”连接)

【解析】由于0<1<2<3<π,而y=cosx在[0,π)上单调递减,所以cos1>cos2>cos3.答案:cos1>cos2>cos3探究点三正弦、余弦函数的值域或最值【典例3】求函数f(x)=2sin2x+2sinx-,x∈的值域.【思维导引】将关于sinx的二次函数换元为关于t的一元二次函数,利用配方法求一元二次函数的值域.【解析】令t=sinx,因为x∈,所以t∈,则f(x)可化为y=2t2+2t-=2-1,t∈,所以当t=时,ymin=1,当t=1时,ymax=,故f(x)的值域是.【延伸探究】若将本例题条件变为“y=-3sin2x-4cosx+4,x∈”,结果如何?【解析】y=-3sin2x-4cosx+4=3cos2x-4cosx+1.设t=cosx,x∈,所以t∈.所以y=3t2-4t+1在t∈时单调递减,所以当t=-时,ymax=,当t=时,ymin=-.所以y∈.【类题通法】三角函数最值问题的求解方法(1)形如y=asinx(或y=acosx)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b[或y=Acos(ωx+φ)+b]型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)[或cos(ωx+φ)]的范围,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型,可利用换元法,设t=sinx,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域求得.【定向训练】求函数y=2cos(2x+),x∈()的值域.【解析】因为-<x<,所以0<2x+<,所以-<cos(2x+)<1,所以函数y=2cos(2x+),x∈()的值域为(-1,2).【补偿训练】已知函数f(x)=2asinx+b的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.【解析】因为-≤x≤,所以-≤sinx≤1.若a>0,则解得若a<0,则解得

正弦函数、余弦函数的性质（二）核心知识方法总结易错提醒核心素养求函数的单调区间时，注意x的系数的正负逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用周期性奇偶性单调性最值课堂素养达标1.函数f(x)=2sinx+的值域为________.

【解析】函数f(x)=2sinx+,当2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z时,0≤sinx≤1,则f(x)=2sinx+sinx=3sinx,所以f(x)∈.当2kπ+π<x≤2kπ+2π,k∈Z时,-1≤sinx≤0,则f(x)=2sinx-sinx=sinx,所以f(x)∈,综上可知f(x)=2sinx+的值域为[-1,3].答案:[-1,3]2.函数y=3cos在x=________时,y取最大值.

【解析】当函数取最大值时,=2kπ(k∈Z),x=4kπ+