2023-2024学年高一数学2019试题9.1向量概念

课时跟踪检测（一）9.1向量概念基础练1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B.2．下列说法正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝±bB．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B对A，当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a＝±b未必成立，所以A错误；对B，零向量的长度是0，正确；对C，长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；对D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选B.3．汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A、B错；汽车走的路程为240km，摩托车走的路程为90km，故C正确．故选C.4.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()A.eq\o(DA,\s\up7(―→))和eq\o(BC,\s\up7(―→)) B.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(AB,\s\up7(―→))C.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(BC,\s\up7(―→)) D.eq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(DA,\s\up7(―→))解析：选Beq\o(DC,\s\up7(―→))和eq\o(AB,\s\up7(―→))方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段表示．故选B.5．若|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|且eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(CD,\s\up7(―→))，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形解析：选C∵eq\o(BA,\s\up7(―→))＝eq\o(CD,\s\up7(―→))，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形．故选C.6．下列叙述：(1)单位向量都相等；(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向不同的两个向量一定不平行．其中正确的有________．(填所有正确的序号)解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同．(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．答案：(2)7．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；(5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b.其中正确的是________．(填序号)解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a与b方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0与b方向不一定相同．综上可知(3)正确．答案：(3)8．已知|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝2，若∠ABC＝90°，则|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(3)，所以|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝eq\r(3).答案：eq\r(3)9.如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量eq\o(AB,\s\up7(―→))平行且模为eq\r(2)的向量共有几个？与向量eq\o(AB,\s\up7(―→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有几个？解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和eq\o(AB,\s\up7(―→))平行且模为eq\r(2).因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量eq\o(AB,\s\up7(―→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有2个．10．已知四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))且|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|，tanD＝eq\r(3)，判断四边形ABCD的形状．解：∵在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))，∴四边形ABCD是平行四边形．∵tanD＝eq\r(3)，∴B＝D＝60°.又|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．拓展练1．已知在平面内点O固定，且|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝2，则A点构成的图形是()A．一个点 B．一条直线C．一个圆 D．不能确定解析：选C由于|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则eq\f(|\o(PD,\s\up7(―→))|,|\o(AD,\s\up7(―→))|)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C．1 D．2解析：选C因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以eq\f(|\o(PD,\s\up7(―→))|,|\o(AD,\s\up7(―→))|)的值为1.故选C.3．[多选]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是()A．与eq\o(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up7(―→)))B．与eq\o(AB,\s\up7(―→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up7(―→)))C.eq\o(BD,\s\up7(―→))的模恰好为eq\o(DA,\s\up7(―→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up7(―→))与eq\o(DA,\s\up7(―→))不共线解析：选ABC与eq\o(AB,\s\up7(―→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up7(―→))，A正确；由已知条件可得|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(CB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(CA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，|eq\o(DB,\s\up7(―→))|＝eq\f(|\o(DE,\s\up7(―→))|,cos30°)，在Rt△AEB中，|eq\o(AE,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up7(―→))|，所以|eq\o(DB,\s\up7(―→))|＝eq\f(\f(3,2)|\o(DA,\s\up7(―→))|,\f(\r(3),2))＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up7(―→))|，C正确；eq\o(CB,\s\up7(―→))与eq\o(DA,\s\up7(―→))方向相同，大小相等，故eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(DA,\s\up7(―→))，eq\o(CB,\s\up7(―→))与eq\o(DA,\s\up7(―→))共线，D错误．故选A、B、C.4．给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选A①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选A.5．四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))，且|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BD,\s\up7(―→))|，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．解析：∵eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))，∴AD∥BC且|eq\o(AD,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(―→))|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(BD,\s\up7(―→))|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．解析：结合图形可知，(1)|eq\o(CH,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AE,\s\up7(―→))|＝eq\r(10).(2)eq\o(DG,\s\up7(―→))与eq\o(HF,\s\up7(―→))共线，|eq\o(DG,\s\up7(―→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(HF,\s\up7(―→))|＝3eq\r(2)，故|eq\o(DG,\s\up7(―→))|＋|eq\o(HF,\s\up7(―→))|＝5eq\r(2).答案：(1)eq\o(CH,\s\up7(―→))，eq\o(AE,\s\up7(―→))eq\r(10)(2)eq\o(DG,\s\up7(―→))，eq\o(HF,\s\up7(―→))5eq\r(2)7.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示与向量eq\o(DE,\s\up7(―→))长度相等的向量；(2)写出图中所示与向量eq\o(FD,\s\up7(―→))相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量eq\o(DE,\s\up7(―→))，eq\o(FD,\s\up7(―→))共线的向量．解：(1)与eq\o(DE,\s\up7(―→))长度相等的向量是eq\o(EF,\s\up7(―→))，eq\o(FD,\s\up7(―→))，eq\o(AF,\s\up7(―→))，eq\o(FC,\s\up7(―→))，eq\o(BD,\s\up7(―→))，eq\o(DA,\s\up7(―→))，eq\o(CE,\s\up7(―→))，eq\o(EB,\s\up7(―→)).(2)与eq\o(FD,\s\up7(―→))相等的向量是eq\o(CE,\s\up7(―→))，eq\o(EB,\s\up7(―→)).(3)与eq\o(DE,\s\up7(―→))共线的向量是eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(AF,\s\up7(―→))，eq\o