2021-2022学年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷【含答案】

2021-2022学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈N}，B＝{0，1，2，3，4}，则A，B间的关系是（

）A．A＝B

B．B⊆A

C．A∈B

D．A⊆B2．若复数z=

12+ᵅ2021

（i为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限3．(ᵆ+

2)5的展开式中x﹣1的系数为（ᵆ2

）A．10

B．20

C．40

D．80ᵰᵰ

）3

1B．2

√5−1C．2

√3D．21（

）A．3

B．4

C．5

D．66．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方→→

）A．2

B．4

C．6

D．87．已知F1，F2为椭圆ᵃ1：

ᵆ2ᵄ21

+

ᵆ221

=1(ᵄ1＞ᵄ1＞0)与双曲线ᵃ2：

ᵆ2ᵄ22

−

ᵆ222

=1(ᵄ2＞0，ᵄ2＞0)的公共焦点，ᵰ

）√3A．2

B．√3

C．2

D．3第1页（共26页）4．已知ᵆᵅᵅ(ᵯ+3)+√3ᵆᵅᵅ(ᵯ−6)=1，则cos2α＝（A．−√25．在正项等比数列{an}中，4．已知ᵆᵅᵅ(ᵯ+3)+√3ᵆᵅᵅ(ᵯ−6)=1，则cos2α＝（A．−√25．在正项等比数列{an}中，a1=3，ᵄ2⋅ᵄ4=9，记数列{an}的前n项积为Tn，若Tn＞9，则n的最小值为形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为√2，则ᵃᵃ⋅ᵃᵃ=（ᵄᵄ点M是它们的一个公共点，且∠ᵃ1ᵄᵃ2=3，ᵅ1，ᵅ2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为（4

）A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．c＞a＞b

D．c＞b＞a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的有（

）A．将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍B．若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定C．由样本数据点（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）所得到的回归直线ᵆ=ᵄᵆ+ᵄ至少经过其中的一个点D．在某项测量中，若测量结果ξ～N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ≤1）＝0.510．已知函数ᵅ(ᵆ)=√3ᵆᵅᵅᵱᵆ+ᵅᵅᵆᵱᵆ(ᵱ＞0)，下列说法中正确的有（

）ᵰᵰᵰᵰC．若ω＝2，则把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称617D．若f（x）在（0，π）上有且仅有3个零点，则6

＜ᵱ≤

236ᵃᵄ11．在边长为6的正三角形ABC中，M，N分别为边AB，AC上的点，且满足ᵃᵃ沿着MN翻折至A'MN位置，则下列说法中正确的有（-23）

=

ᵃᵄᵃᵃ

=，把ᵰAMNA．在翻折过程中，在边A'N上存在点P，满足CP∥平面A'BM1B．若＜ᵰ＜1，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A'BC⊥平面BCNM21D．在翻折过程中，四棱锥A'﹣BCNM体积的最大值为6√3第2页（共26页）8．已知a＝sin2，b＝2−ᵰ，c＝tan（π8．已知a＝sin2，b＝2−ᵰ，c＝tan（π﹣2），则（A．若ω＝1，则f（x）在(0，2)上是单调增函数B．若ᵅ(6+ᵆ)=ᵅ(6−ᵆ)，则正整数ω的最小值为2C．若ᵰ=2且二面角A'﹣MN﹣B的大小为120°，则四棱锥A'﹣BCNM的外接球的表面积为61π12．在椭圆ᵃ：

ᵆ2ᵄ2

+

ᵆ22

=1(ᵄ＞ᵄ＞0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2＝a2+b2上，称此圆ᵆ2列说法中正确的有（

）A．椭圆C外切矩形面积的最大值为4√2B．点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点ᵄ(−2√3，0)，ᵄ(0，2√3)，当∠PMN最大值时，ᵆᵄᵅ∠ᵄᵄᵄ=2+√3C．过椭圆C的蒙日圆上一点P，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP、kOQ存在，则kOP·1D．若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x＞0，2x＞1”的否定

．14．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：ᵃᵅ=22ᵅ+1(ᵅ∈ᵄ)是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设ᵄᵅ=ᵅᵅᵅ2[ᵅᵅᵅ2(ᵃᵅ+1−1)](ᵅ∈ᵄ∗)，ᵄᵅ=1

}的前21项和为

．ᵆ+2ᵆ+315．已知正实数x，y满足x+y＝1，则ᵆᵆ

的最小值为

．2ᵰᵅ最大值，则的取值范围是ᵅ

．

第3页（共26页）ᵄ为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G·Monge（1745﹣1818）最新发现．若椭圆ᵃ：2+ᵆ2=1，则下kOQ为定值−2Nᵄ为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G·Monge（1745﹣1818）最新发现．若椭圆ᵃ：2+ᵆ2=1，则下kOQ为定值−2N，且ᵄᵃ1⋅ᵄᵃ2=2，则ᵄᵄ⋅ᵄᵄ=2ᵄᵅ(ᵄᵅ+1)，则数列{bn16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ᵄ=√3，ᵃ=3．若mb+nc（m＞0，n＞0）有四、解答题：本题共6小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分别是数列{bn}的前3项．（1）求数列{bn}的公比q；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．第4页（共26页）18．12分）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（2021﹣2025）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为（50，60]，（60，70]，（70，80]，（80，90]，（90，100]，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a，b，c成公比为2的等比数列．（1）若从得分在80分以上的样本中随机选取3人，用X表示得分高于90分的人数，求X的分布列及期望；（2）若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间（70，80]内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间（80，90]的概率．第5页（共26页）（（43ᵰ

ᵄᵅᵅᵆᵃ+ᵅᵅᵅᵆᵃᵅᵅᵆᵃ

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、，cABC的面积为S，____．（1）求角A；（2）若ᵃᵃ=2，ᵃᵃ=√7，点D在线段AB上，且△ACD与△BCD的面积比为4：5，求CD的长．第6页（共26页）19．（12分）在①19．（12分）在①ᵄ2+ᵅ2−ᵄ2=√3ᵄ，②ᵄᵆᵅᵅᵃ=ᵄᵆᵅᵅ(ᵃ+3)，③2ᵄ=20．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1的中点．（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；ᵰᵰ值．第7页（共26页）（2）记二面角A（2）记二面角A﹣BC﹣B1的大小为θ，当ᵰ∈[6，2]时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的最大21．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．第8页（共26页）22．（12分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx﹣e﹣2，x∈[0，π]．（1）求f（x）的最大值，并证明：exsinx+ex﹣2＞xexcosx+x﹣1；（2）若f（x）+2ax3+e﹣2≥0恒成立，求实数a的取值范围．第9页（共26页）2021-2022学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈N}，B＝{0，1，2，3，4}，则A，B间的关系是（

）A．A＝B

B．B⊆A

C．A∈B

D．A⊆B解：因为集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈N}＝{x|﹣1＜x＜4，x∈N}＝{0，1，2，3}，B＝{0，1，2，3，4}，则A⊆B．故选：D．2．若复数z=

12+ᵅ2021

（i为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限解：∵i2021＝（i4）505·i＝i，∴z=

12+ᵅ2021

=

12+ᵅ

=

2−ᵅ(2+ᵅ)(2−ᵅ)

=

25

1521∴z在复平面上对应的点（，−），位于第四象限．55故选：D．3．(ᵆ+

2)5的展开式中x﹣1的系数为（ᵆ2

）A．10

B．20

C．40

D．802ᵆ令5﹣3r＝﹣1，解得r＝2，则x﹣1的系数为C25⋅22=40，故选：C．ᵰᵰ

）3

1B．2

√5−1C．2

√3D．2ᵰᵰ√211则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（2）2=2．第10页（共26页）−ᵅ，解：展开式的通项公式为Tr+1＝Cᵅ5ᵆ5−ᵅ(2)ᵅ=Cᵅ5⋅2ᵅᵆ5−3ᵅ，4．已知ᵆᵅᵅ(ᵯ+3)+√3ᵆᵅᵅ(ᵯ−6)=1，则cos2α＝（A．−√2解：因为ᵆᵅᵅ(ᵯ−ᵅ，解：展开式的通项公式为Tr+1＝Cᵅ5ᵆ5−ᵅ(2)ᵅ=Cᵅ5⋅2ᵅᵆ5−3ᵅ，4．已知ᵆᵅᵅ(ᵯ+3)+√3ᵆᵅᵅ(ᵯ−6)=1，则cos2α＝（A．−√2解：因为ᵆᵅᵅ(ᵯ+3)+√3ᵆᵅᵅ(ᵯ−6)=1，ᵰᵰᵰ3ᵰᵰᵰ1所以cos（α−6）+√3sin（α−6）＝2[cos（α−6）+2sin（α−6）]＝2sin[（α−6）+6]＝2sinα＝1，可得sinα=2，1故选：B．1（

）A．3

B．4

C．5

D．6解：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，11所以an＝a1qn﹣1＝3n﹣2，所以Tn＝3﹣1·30·31·…3·n﹣2=3

(−1+ᵅ−2)⋅ᵅ2

=3

ᵅ(ᵅ−3)2

，因为Tn＞9，所以3

ᵅ(ᵅ−3)2

＞9＝32，即

ᵅ(ᵅ−3)2

＞2，解得n＞4，所以n的最小值为5．故选：C．6．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方→→

）A．2

B．4

C．6

D．8解：如图，由题意可知ED2+CF2＝CD2＝2，结合ED＝CF可知DE＝CF＝1，在△ADE中，ᵃᵃ=√2，ᵃᵃ=1，∠ADE＝135°，所以ᵃᵃ2=12+(√2)2−2×1×√2ᵅᵅᵆ135°=5，故ᵃᵃ=√5，显然BF＝AE=√5，ᵃᵃ所以ᵆᵅᵅ∠ᵃᵃᵃ

=

ᵃᵃᵆᵅᵅ∠ᵃᵃᵃ

1，即ᵆᵅᵅ∠ᵃᵃᵃ

=

√5√2

√102→→→→4→→4故选：B．第11页（共26页）5．在正项等比数列{an}中，a1=3，ᵄ2⋅ᵄ4=9，记数列{an}的前n项积为Tn，若Tn＞5．在正项等比数列{an}中，a1=3，ᵄ2⋅ᵄ4=9，记数列{an}的前n项积为Tn，若Tn＞9，则n的最小值为因为a1=3，ᵄ2⋅ᵄ4=9，所以a1q·a1q3＝9，即(3)2·q4＝9，解得q＝±3（舍负），所以q＝3，形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为√2，则ᵃᵃ⋅ᵃᵃ=（，得ᵆᵅᵅ∠ᵃᵃᵃ=10，结合图形的对称性，可知＜ᵃᵃ，ᵃᵃ＞=2∠EAD，所以ᵅᵅᵆ＜ᵃᵃ，ᵃᵃ＞=1﹣2sin2∠EAD=5，所以ᵃᵃ⋅ᵃᵃ=√5×√5×5=4．7．已知F1，F2为椭圆ᵃ1：

ᵆ2ᵄ21

+

ᵆ221

=1(ᵄ1＞ᵄ1＞0)与双曲线ᵃ2：

ᵆ2ᵄ22

−

ᵆ222

=1(ᵄ2＞0，ᵄ2＞0)的公共焦点，ᵰ

）√3A．2

B．√3

C．2

D．3解：设点M为第一象限的点，由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|＝2a1，由双曲线的定义知，|MF1|﹣|MF2|＝2a2，解得|MF1|＝a1+a2，|MF2|＝a1﹣a2，在△MF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1MF2=

|ᵄᵃ1|2+|ᵄᵃ2|2−|ᵃ1ᵃ2|22|ᵄᵃ1|⋅|ᵄᵃ2|

，ᵰ即cos=3

(ᵄ1+ᵄ2)2+(ᵄ1−ᵄ2)2−4ᵅ22(ᵄ1+ᵄ2)(ᵄ1−ᵄ2)

，化简可得4c2＝a12+3ᵄ22，∴4=

1ᵅ12

+

3ᵅ22

≥2√

1ᵅ12

×

3ᵅ22

√3故选：A．4

）A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．c＞a＞b

D．c＞b＞a2ᵰ解：因为c＝tan（π﹣2）＝﹣tan2＞﹣tan3

=

√3＞1，2ᵰa＝sin2＞sin3

=

√32

√3，则2

＜a＜1，4

2ᵰ−4ᵰ

43所以c＞a＞b．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的有（

）

第12页（共26页）ᵄᵄ点M是它们的一个公共点，且∠ᵃ1ᵄᵃ2=3，ᵅ1，ᵅ2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为（，∴e1e2≥2．ᵄᵄ点M是它们的一个公共点，且∠ᵃ1ᵄᵃ2=3，ᵅ1，ᵅ2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为（，∴e1e2≥2．8．已知a＝sin2，b＝2−ᵰ，c＝tan（π﹣2），则（又b＝2−ᵰ=＜5＜√2，A．将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍B．若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定C．由样本数据点（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）所得到的回归直线ᵆ=ᵄᵆ+ᵄ至少经过其中的一个点D．在某项测量中，若测量结果ξ～N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ≤1）＝0.5解：对于A：将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍，故A正确；对于B：若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定，故B正确；对于C：回归直线ᵆ=ᵄᵆ+ᵄ一定过样本中心，但不一过样本数据点（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）上的点，故C错误；对于D：在某项测量中，若测量结果ξ～N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ≤1）＝0.5，故D正确．故选：ABD．10．已知函数ᵅ(ᵆ)=√3ᵆᵅᵅᵱᵆ+ᵅᵅᵆᵱᵆ(ᵱ＞0)，下列说法中正确的有（

）ᵰᵰᵰᵰC．若ω＝2，则把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称617D．若f（x）在（0，π）上有且仅有3个零点，则6ᵰ

＜ᵱ≤

236ᵰᵰ2ᵰ对于A．ω＝1，f（x）＝2sin（x+6），当x∈（0，2）时，有x+6∈（6，3

），ᵰ2ᵰ因y＝sinx在（，63

）上不单调，ᵰ所以f（x）＝2sin（x+6），在（0，2）上不单调，A不正确；ᵰ对于B，因ᵅ(6+ᵆ)=ᵅ(6−ᵆ)，则x=6是函数f（x）图象的一条对称轴，6ᵱ+整理得ω＝6k+2，而ω＞0，即有k∈N*，ωmin＝2，B正确；ᵰᵰᵰᵰᵰ这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；第13页（共26页）

ᵰ6

ᵰ2A．若ω＝1，则f（x）在(0，2)上是单调增函数B．若ᵅ(6+ᵆ)=ᵅ(6−ᵆ)，则正整数ω的最小值为2解：依题意可得f（x）＝2sin（ωx+A．若ω＝1，则f（x）在(0，2)上是单调增函数B．若ᵅ(6+ᵆ)=ᵅ(6−ᵆ)，则正整数ω的最小值为2解：依题意可得f（x）＝2sin（ωx+6），ᵰᵰᵰᵰᵰᵰ=kπ+，k∈Z，对于C，ω＝2，f（x）＝2sin（2x+6），依题意，函数y＝f（x−6）＝2sin[2（x−6）+6]＝2sin（2x−6），ᵰ17对于D，当x∈（0，π）时，ωx+6∈（6，ᵱᵰ+6），依题意，3π＜ᵱᵰ+6≤4π，解得6确．故选：BD．

23ᵃᵄ11．在边长为6的正三角形ABC中，M，N分别为边AB，AC上的点，且满足ᵃᵃ沿着MN翻折至A'MN位置，则下列说法中正确的有（-23）

=

ᵃᵄᵃᵃ

=，把ᵰAMNA．在翻折过程中，在边A'N上存在点P，满足CP∥平面A'BM1B．若＜ᵰ＜1，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A'BC⊥平面BCNM21D．在翻折过程中，四棱锥A'﹣BCNM体积的最大值为6√3解：对于选项A，过P作PQ∥MN∥BC，交AM于Q，则无论点P在A′N上什么位置，都存在CP与BQ相交，折叠后为梯形BCQP，则CP不与平面A′BM平行，故选项A错误；对于选项B，设D，E分别是BC，MN的中点，1若＜ᵰ＜1，则AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，2又因为MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，DE∩MN＝E，所以A′D⊥平面BCNM，所以平面A′BC⊥平面BCNM，故选项B正确；对于选项C，设D，E分别是BC，MN的中点，1∠BMN＝120°，∠C＝60°，则BCNM四点共圆，圆心可设为点G，其半径设为r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以点G即为点D，所以r＝3，二面角A′﹣MN﹣B的平面角即为∠A′ED＝120°，过点A′作A′H⊥DE，垂足为点H，33939243ᵄᵃ2+32=ᵄ2416

=ᵄ2

61所以外接球的表面积为S＝4πR2＝61π，故选项C正确；第14页（共26页）ᵰᵰᵰ＜ω≤6，D正C．若ᵰ=2且二面角A'﹣MN﹣B的大小为120°，则四棱锥A'﹣BCNM的外接球的表面积为61π若ᵰᵰᵰ＜ω≤6，D正C．若ᵰ=2且二面角A'﹣MN﹣B的大小为120°，则四棱锥A'﹣BCNM的外接球的表面积为61π若ᵰ=2且二面角A′﹣MN﹣B的大小为120°，则△AMN为正三角形，EH=√4，DH=√4，A′H=4，ᵃᵃ2=16，设外接球球心为O，由{9243(−ᵄᵃ)2+，解得R2=4，对于选项D，设D，E分别是BC，MN的中点，设h是四棱锥A′﹣BCNM的高．1√3SAMN=2.6λ.6λ.2

=9√3λ2，1SABC=2.6.6.

√32

=9√3，1＝3√3（1﹣λ2）.3√3λ＝27（﹣λ3+λ），λ∈（0，1），可设f（λ）＝27（﹣λ3+λ），λ∈（0，1），则f′（λ）＝27（﹣3λ2+1），令f′（λ）＝0，√3√3√3）上单调递增，在（，1）上单调递减，33√33则四棱锥A′﹣BCN体积的最大值为6√3，故选项D正确．故选：BCD．第15页（共26页）所以S四边形BCNM＝9√3（1﹣λ2），则VA′﹣BCNM=3.9√3（1﹣λ2）．h所以S四边形BCNM＝9√3（1﹣λ2），则VA′﹣BCNM=3.9√3（1﹣λ2）．h≤3√3（1﹣λ2）．A′E解得λ=3，则函数f（λ）在（0，所以f（λ）max＝f（）＝6√3，12．在椭圆ᵃ：

ᵆ2ᵄ2

+

ᵆ22

=1(ᵄ＞ᵄ＞0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2＝a2+b2上，称此圆ᵆ2下列说法中正确的有（

）A．椭圆C外切矩形面积的最大值为4√2B．点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点ᵄ(−2√3，0)，ᵄ(0，2√3)，当∠PMN最大值时，ᵆᵄᵅ∠ᵄᵄᵄ=2+√3C．过椭圆C的蒙日圆上一点P，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP、kOQ存在，则kOP·1D．若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，33解：由题意可知，圆Γ：x2+y2＝3，对于选项A，椭圆C的一个外切矩形为可设为ABCD，1所以矩形ABCD的面积最大值为6≠4√2，故选项A错误；对于选项B，当PM与圆相切且切点P在x轴下方时∠PMN最大，|ᵄᵄ|=2√3，|ᵄᵄ|=√3，|ᵄᵄ|=√12−3=3，√3所以ᵆᵄᵅ∠ᵄᵄᵄ=ᵆᵄᵅ(∠ᵄᵄᵄ+45°)=

√331−√3×13

=2+√3，故选项B正确；第16页（共26页）ᵄ为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G·Monge（1745﹣1818）最新发现．若椭圆ᵃ：2+ᵆ2=1，则kOQ为定值−2N，且ᵄᵃ1⋅ᵄ为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G·Monge（1745﹣1818）最新发现．若椭圆ᵃ：2+ᵆ2=1，则kOQ为定值−2N，且ᵄᵃ1⋅ᵄᵃ2=2，则ᵄᵄ⋅ᵄᵄ=2则其面积ᵄ=4⋅2⋅|ᵄᵃ|⋅|ᵄᵃ|⋅ᵆᵅᵅ∠ᵃᵄᵃ=6ᵆᵅᵅ∠ᵃᵄᵃ，则ᵆᵄᵅ∠ᵄᵄᵄ=3，且∠NMO＝45°，+1对于选项C，当PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），ᵆ=ᵅᵆ+ᵅ由{ᵆ2+ᵆ2=3

联立消去y可得（k2+1）x2+2～kmx+m2﹣3＝0，则ᵆ1+ᵆ2=−

2ᵅᵅᵅ2+1

，ᵆ1ᵆ2=

ᵅ2−3ᵅ2+1

，则ᵆ1ᵆ2=(ᵅᵆ1+ᵅ)(ᵅᵆ2+ᵅ)=

ᵅ2−3ᵅ2ᵅ2+1

，ᵆ=ᵅᵆ+ᵅ当直线PQ与椭圆相切时，由{ᵆ22

联立消去y可得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，+ᵆ2=1ᵮ=16ᵅ2ᵅ2−4(2ᵅ2+1)(2ᵅ2−2)=0，化简得2k2+1＝m2，所以ᵅᵄᵄ⋅ᵅᵄᵄ

=

ᵅ2−3ᵅ2ᵅ2−3

12当PQ的斜率不存在时，则ᵄ(√2，1)，ᵄ(−√2，1)或ᵄ(√2，1)，ᵄ(−√2，1)，1第17页（共26页）=−，此时ᵅᵄᵄ⋅ᵅᵄᵄ=−2，故选项C正确；=−，此时ᵅᵄᵄ⋅ᵅᵄᵄ=−2，故选项C正确；3因为|ᵄᵃ1|+|ᵄᵃ2|=2ᵄ=2√2，则|ᵄᵃ1|2+|ᵄᵃ2|2+2|ᵄᵃ1|⋅|ᵄᵃ2|=8，所以ᵄᵃ1

2

+ᵄᵃ2

2

=5，→→→→→→→→→→→→→→→→→→→333故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x＞0，2x＞1”的否定∃x0＞0，2ᵆ0≤1．第18页（共26页）对于选项D，|ᵄᵃ1|⋅|ᵄᵃ2|=2，ᵄᵃ+ᵄᵃ2对于选项D，|ᵄᵃ1|⋅|ᵄᵃ2|=2，ᵄᵃ+ᵄᵃ2=2ᵄᵄ由{→1，ᵄᵃ1−ᵄᵃ2=ᵃ2ᵃ1所以ᵄᵃ12+ᵄᵃ22+2ᵄᵃ1⋅ᵄᵃ2=4ᵄᵄ2，①ᵄᵃ12+ᵄᵃ22−2ᵄᵃ1⋅ᵄᵃ2=ᵃ2ᵃ12，②则①+②可得10=4ᵄᵄ2+4，解得ᵄᵄ2=2，所以|ᵄᵄ|⋅|ᵄᵄ|=(ᵅ−|ᵄᵄ|)(ᵅ+|ᵄᵄ|)=ᵅ2−|ᵄᵄ|2=3−2=2，故选项D正确；解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，2x＞1”的否定：∃x0＞0，2ᵆ0≤1．故答案为：∃x0＞0，2ᵆ0≤1．14．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：ᵃᵅ=22ᵅ+1(ᵅ∈ᵄ)是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设ᵄᵅ=ᵅᵅᵅ2[ᵅᵅᵅ2(ᵃᵅ+1−1)](ᵅ∈ᵄ∗)，ᵄᵅ=1

}的前21项和为

2146

．解：an＝log2[log2（22ᵅ+1+1）﹣1]＝n+1，1111ᵅᵅ111112334ᵅ+1

−

1ᵅ+2

11ᵅ212121故答案为：46

．ᵆ+2ᵆ+315．已知正实数x，y满足x+y＝1，则ᵆᵆ解：因为正实数x，y满足x+y＝1，

的最小值为

9+4√5．则

ᵆ+2ᵆ+3ᵆᵆ

=

ᵆ+2ᵆ+3ᵆ+3ᵆᵆᵆ

=

4ᵆ

+

5ᵆ

45=（+）（x+y）＝9+ᵆᵆ

5ᵆᵆ

+

4ᵆᵆ

≥9+2√

4ᵆ5ᵆᵆᵆ

=9+4√5，4ᵆ当且仅当ᵆ

=

5ᵆᵆ

且x+y＝1，即y＝2（√5−2），x＝5﹣2√5时取等号．故答案为：9+4√5．2ᵰᵅ最大值，则的取值范围是ᵅ

1（，2）2

．ᵄ解：由题意可知，在△ABC中，由正弦定理有ᵆᵅᵅᵃ

=

ᵄᵆᵅᵅᵃ

=

ᵅᵆᵅᵅᵃ

=

√3ᵆᵅᵅ2ᵰ3

=2，ᵰᵰ√3则mb+nc＝2msinB+2nsinC＝2m[sin（3−C）+ᵅsinC]＝2m[2cosC−2sinC+ᵅsinC]√3ᵅ＝2m[cosC+（2ᵅ

1−）sinC]，2ᵅcosC+（ᵅ

1ᵅ

22ᵅ

1−）cosC，2令f′（C）＝0，则−2sinC+（ᵅ

ᵅ

1−）cosC＝0，即tanC=2

ᵅ−1ᵅ2∈（0，√3），√32∴

ᵅᵅ

1ᵅ1

22ᵅ2第19页（共26页）ᵄᵅ(ᵄᵅ+1)，则数列{bn所以bn=ᵄ(ᵄ+1)=(ᵅ+1)(ᵅ+2)=ᵅ+1−ᵅ+2，所以数列{bn}的前n项和Sn＝（−）+（−）+…+（）=2−ᵅ+2=2(ᵅ+2)，所以S21=2×23=46．⋅16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ᵄ=√3，ᵃ=3．若mb+nc（m＞0，n＞0）有所以b＝ᵄᵅ(ᵄᵅ+1)，则数列{bn所以bn=ᵄ(ᵄ+1)=(ᵅ+1)(ᵅ+2)=ᵅ+1−ᵅ+2，所以数列{bn}的前n项和Sn＝（−）+（−）+…+（）=2−ᵅ+2=2(ᵅ+2)，所以S21=2×23=46．⋅16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ᵄ=√3，ᵃ=3．若mb+nc（m＞0，n＞0）有所以b＝2sinB，c＝2sinC，又B+C=3，ᵅ1ᵅ√3令f（C）=23−）sinC，则f′（C）=−√sinC+（√33−∈（0，√3×√），∴∈（，2）．1故答案为：（，2）．2四、解答题：本题共6小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分别是数列{bn}的前3项．（1）求数列{bn}的公比q；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．解：（1）由题意知，a3，a6，a12成等比数列，所以ᵄ62=a3a12，即（2+5d）2＝（2+2d）（2+11d），解得d＝2或0，因为公差d≠0，所以d＝2，ᵄ2+5×23（2）由（1）知，数列{an}的通项公式为an＝a1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）×2＝2n，数列{bn}的通项公式为bn＝a3·qn﹣1＝6·2n﹣1＝3·2n，所以anbn＝2n·3·2n＝6n·2n，所以Tn＝6（1·21+2·22+…+n·2n），2Tn＝6[1·22+2·23+…+（n﹣1）·2n+n·2n+1]，两式相减得，﹣Tn＝6（1·21+1·22+1·23+…+1·2n﹣n·2n+1）＝6×

2(1−2ᵅ)1−2

−6n·2n+1＝6（1﹣n）2n+1﹣12，所以Tn＝6（n﹣1）2n+1+12＝3（n﹣1）2n+2+12．18．12分）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（2021﹣2025）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为（50，60]，（60，70]，（70，80]，（80，90]，（90，100]，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a，b，c成公比为2的等比数列．（1）若从得分在80分以上的样本中随机选取3人，用X表示得分高于90分的人数，求X的分布列及期望；（2）若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间（70，80]内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间（80，90]的概率．第20页（共26页）所以公比q=ᵄ6=所以公比q=ᵄ6=2+2×2=2．（解：（1）由题意可得，b＝2a，c＝4a，10a+10b+10c+10b+10a＝1，解得a＝0.01，由分抽抽样可知，抽出的20名学生中得分位于区间（50，60]内有20×0.1＝2人，位于（60，70]内有20×0.2＝4人，位于（70，80]内有20×0.4＝8人，位于（80，90]内有20×0.2＝4人，位于区间（90，100]学生共有20×0.1＝2人，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于（90，100]的有2人，X所有可能取值为0，1，2，ᵃ6

1

ᵃ24ᵃ12ᵃ36

35

ᵃ14ᵃ22ᵃ36

15故X的分布列为：XP

015

135

215131（2）位于（80，90]内有20×0.2＝4人，记事件A：在第一次抽出1名学生分数在区间（70，80]内，记事件B：后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间（80，90]，若在第一次抽出1名学生分数在区间（70，80]内，则还剩下19人，其中位于（80，90]内有人，∴P（B|A）=

ᵃ24ᵃ219

=

419

×

318

=

243ᵰ

ᵄᵅᵅᵆᵃ+ᵅᵅᵅᵆᵃᵅᵅᵆᵃ

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、，cABC的面积为S，____．（1）求角A；第21页（共26页）ᵃ34P（X＝0）=3=5，ᵄ(ᵄ=1)==，ᵄ(ᵄ=2)==，故Eᵃ34P（X＝0）=3=5，ᵄ(ᵄ=1)==，ᵄ(ᵄ=2)==，故E（X）=0×5+1×5+2×5=1．57．19．（12分）在①ᵄ2+ᵅ2−ᵄ2=√3ᵄ，②ᵄᵆᵅᵅᵃ=ᵄᵆᵅᵅ(ᵃ+3)，③2ᵄ=（2）若ᵃᵃ=2，ᵃᵃ=√7，点D在线段AB上，且△ACD与△BCD的面积比为4：5，求CD的长．4√314√31所以sinA=√3cosA，因为cosA≠0，所以tanA=√3，因为A∈（0，π），ᵰᵰ

ᵄ)及正弦定理ᵆᵅᵅᵃ

=

ᵄᵆᵅᵅᵃ

，ᵰᵰᵰᵰᵰ2ᵰᵰᵰ若选③，因为2ᵄ=

ᵄᵅᵅᵆᵃ+ᵅᵅᵅᵆᵃᵅᵅᵆᵃ

ᵄ，及正弦定理ᵆᵅᵅᵃ

=

ᵄᵆᵅᵅᵃ

=

ᵅᵆᵅᵅᵃ

，所以2sinA=

ᵆᵅᵅᵃᵅᵅᵆᵃ+ᵆᵅᵅᵃᵅᵅᵆᵃᵅᵅᵆᵃ

，即2sinA=

ᵆᵅᵅ(ᵃ+ᵃ)ᵅᵅᵆᵃ

=

ᵆᵅᵅᵃ因为sinA≠0，1又A∈（0，π），ᵰ（）在2ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB·ACcosA，ᵰ所以

ᵰ7＝AB2+4﹣4ABcos3

，解得AB＝3或AB＝﹣1（舍），因为△ACD与△BCD面积比为4：5，1所以SACD=9SABC，即2×2×ᵃᵃ×

√32

=

49

×

12

×2×3×

√32

，4第22页（共26页）解：（1）若选①，因为ᵄ2+ᵅ2−ᵄ2=3ᵄ，由余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccosA及S=2bcsinA，得2bccosA−3×2×bcsinA＝0，所以A=解：（1）若选①，因为ᵄ2+ᵅ2−ᵄ2=3ᵄ，由余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccosA及S=2bcsinA，得2bccosA−3×2×bcsinA＝0，所以A=3．若选②，因为ᵄᵆᵅᵅᵃ=ᵄᵆᵅᵅ(ᵃ+3所以可得sinAsinB＝sinBsin（A+3），因为sinB≠0，所以sinA＝sin（A+3），即sin（A−3）＝0，而0＜A＜π，可得−3＜A−3＜3，所以A−3=0，即A=3．ᵅᵅᵆᵃ，所以cosA=2，所以A=3．因为AC＝2，BC=√7，A=3，4所以AD=3，4ᵰ在△ACD中，由余弦定理得：CD2＝AD2+AC2﹣2AD·ACcosA＝22（3）﹣2×2×3×cos3

=

289

，即CD=2√720．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1的中点．（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；ᵰᵰ最大值．（）证明：∵1ABC是等腰三角形，O为BC的中点，∴BC⊥AO，∵侧面BCC1B1为等腰梯形，M为B1C1的中点，∴BC⊥MO．∵MO∩AO＝O，MO，AO⊂平面AOM，∴BC⊥平面AOM，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOM．（2）解：在平面AOM内，作ON⊥OA，∵平面ABC⊥平面AOM，平面ABC∩平面AOM＝OA，ON⊂平面AOM，∴ON⊥平面ABC，以OB，OA，ON分别为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵MO⊥BC，AO⊥BC，第23页（共26页）4+23．（2）记二面角A﹣BC﹣B14+23．（2）记二面角A﹣BC﹣B1的大小为θ，当ᵰ∈[6，2]时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的∴∠AOM为二面角A﹣BC﹣B1的平面角，即∠AOM＝θ，∴A（0，3，0），B（4，0，0），C（﹣4，0，0），M（0，2√3cosθ，2√3sinθ），C1（﹣2，2√3cosθ，2√3sinθ），B1（2，2√3cosθ，2√3sinθ），→→→⇀所以{⇀→ᵃᵃ1⋅ᵅ=0

4ᵆ+3ᵆ=0，即{，2ᵆ+2√3ᵅᵅᵆᵰ⋅ᵆ+2√3ᵆᵅᵅᵰ⋅ᵆ=0→

3−4√3ᵅᵅᵆᵰ√3ᵆᵅᵅᵰ设直线BB1与平面AA1C1C所成的角为α，→

3ᵆᵅᵅᵰ

2

，设f（θ）=

√3−4ᵅᵅᵆᵰᵆᵅᵅᵰ

ᵰᵰ，θ∈[，]，则ᵅ′(ᵰ)=62

4−√3ᵅᵅᵆᵰᵆᵅᵅ2ᵰ

＞0，ᵰᵰ∴f（θ）在[，]上单调递增，62√3−4ᵅᵅᵆᵰ∴f（θ）∈[﹣2√3，√3]，即ᵆᵅᵅᵰ

∈[−2√3，√3]∴(

√3−4ᵅᵅᵆᵰ)2ᵆᵅᵅᵰ

∈[0，12]，33521．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．第24页（共26页）∴ᵃᵃ1=（﹣2，2√3cosθ，2√3sinθ），→设平面AA1C1C的法向量为ᵅ=（x，y，z），其中ᵃᵃ=（4，3，0），ᵃᵃ1=（∴ᵃᵃ1=（﹣2，2√3cosθ，2√3sinθ），→设平面AA1C1C的法向量为ᵅ=（x，y，z），其中ᵃᵃ=（4，3，0），ᵃᵃ1=（2，2√3cosθ，2√3sinθ），ᵃᵃ⋅→ᵅ=0则可取ᵅ=(−3，4，)，→则sinα＝|cos＜ᵃᵃ1，ᵅ＞|=√25+(√3−4ᵅᵅᵆᵰ)∴(ᵆᵅᵅᵯ)ᵅᵄᵆ=5．∴直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值为．解：（1）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，ᵅᵅ所以−(−)=ᵅ=2，22故抛物线的方程为y2＝4x．（2）当直线l1，l2的斜率都存在时，设直线l1：y﹣1＝k1（x﹣1），直线l2：y﹣1＝k2