初三数学复习计划

初三数学复习计划一、复习内容：《数与式》，《一元一次方程》，《一元二次方程》，《不等式》，《函数与图象》，《二次函数》，《三角函数》，《三角形》，《四边形》，《直线圆》，《空间图形》，《统计概率》，《应用题》，《综合题》二、第一轮复习（第2周--------第8周）第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过记忆关。必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。（2）过基本方法关。如，待定系数法求二次函数解析式。（3）过基本技能关。如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。基本宗旨：知识系统化，练习专题化，专题规律化。在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构，可将代数部分分为六个单元：实数、代数式、方程、不等式、函数、统计初步等；将几何部分分为六个单元：几何基本概念，相交线和平行线、

三角形、

四边形、

相似三角形、解直角三角形、

圆等。配套练习以《初中双基优化训练》为主，复习完每个单元进行一次单元测试，重视补缺工作。三、第二轮复习（第9周--------第12周）第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高，应侧重培养学生的数学能力。第二轮复习的时间相对集中，在一轮复习的基础上，进行拔高，适当增加难度；第二轮复习重点突出，主要集中在热点、难点、重点内容上，特别是重点；注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教师的主导作用。

可进行专题复习，如“方程型综合问题”、“应用性的函数题”、“不等式应用题”、“统计类的应用题”、“几何综合问题”，、“探索性应用题”、“开放题”、“阅读理解题”、“方案设计”、“动手操作”等问题以便学生熟悉、适应这类题型。四、第三轮复习（第13周--------第15周）

第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要切近中考题。模拟题的设计要有梯度，立足中考又要高于中考。选准要讲的题，要少、要精、要有很强的针对性。选择的依据是边缘生

的失分情况。一般有三分之一的边缘生出错的题课堂上才能讲。初三数学复习行时历周次起讫时间教学内容备注0103月04日---03月10日复习《二次函数》0203月11日---03月17日期末试卷分析，复习《数与式》植树节0303月18日---03月24日复习《方程与不等式》0403月25日---03月31日复习《二次方程》《函数与图象》0504月01日---04月07日复习《三角函数》清明节0604月08日---04月14日复习《三角形与四边形》0704月15日---04月21日复习《圆与空间图形》0804月22日---04月28日复习《统计概率与应用题》0904月29日---05月05日复习《综合题》五一节、期中考试1005月06日---05月12日复习《综合题》1105月13日---05月19日中考《模拟测试》1205月20日---05月26日中考《模拟测试》1305月27日---06月02日中考《模拟测试》儿童节1406月03日---06月09日中考《模拟测试》1506月10日---06月16日参加中考中考1606月17日---06月23日1706月24日---06月30日期末考试1807月01日---07月07日建党节、家访、学习1907月08日---07月14日教师离校暑假开始第一讲数与式【学习目标】1、体验实数、代数式各种运算的内在联系。2、探索配方法、换方法等数学方法在解决数与式问题中的应用。【知识框图】相反数——例数——数轴——绝对值概念——指数——近似数——科学记数法有理数——实数——运算整式——整式运算——因式分解代数式——分式——通分——约分——分式运标根式——化简——概式----运算——分母有理化【典型例题】例1、求代数式+中x的取值范围。解：由题得：∴x的取值范围是x≥2且x≠5评注：（1）偶次根数有意义，被开方数为非负数。有意义不是x>0,奇次根式有意义，被方数可以是任何实数。（2）注意“且”与“或”的区别。例2、计算：（1）Sin60+(-1)-||-(-)-·(-1)(2)+(1-)÷(1+)+(3)()2+)+|3x-10|解：（1）原式=+1+-1-4-=-3(2)原式=++===(3)原式=3-x+|3-x|+|3x-10|=3-x+3-x+10-3x=16-5x评注：（1）数与式的混合运算，应注意运算顺序与符号问题。（2）在运算过程中，适当运用乘法方式，因式分解等可以使运算简便。（3）根式的化简要注意条件中对分母取值范围的限定。例3、已知y=求代数-的值。解：∵x2-4≥0,x2-4≤0,x+2≠0∴x=2,y=8原式=-==-=-评注：（1）此类题一般应先化简，再代入求值。（2）如果将上题条件改为：x,y满足解方程式为：或,原题并没出有两解。因为当时，代数式无意义，应舍去。例4、设a,b,c为三角形的三边，比较（a2+b2-c2)2与4a2b2的大小，说明理由。解：（a2+b2-c2)2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=（a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0∴（a2+b2-c2)2＜4a2b2评注：（1）比较两数（或式）的大小，常用方法有：作差法、作商法，比较被开方数、比较平方数、比较倒数、运用数轴等。（2）作差法与零比较常用两种手段：因式分解与配方法。例5、观察下列各式及其验证过程：2=验证：====3=验证：3==＝==（1）按照上述两个等式及验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并写1个验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为正整数，且n≥2）表达的等式，并给出证明。解：（1）4=验证：＝＝＝＝（2）n=（n≥2)验证：＝＝＝＝评注：解决此例可从比较，观察入手，进行模仿，然后用字母表示数，表示一般规律，展示了特殊到一般的数学思想。【选讲例题】例5、设a,b,c为三角形三边长，且满足a2+b2+c2+4x2-12a-4bx-20c+136=0，求实数x的取值范围。解：配方法：（a-6)2+(b-2x)2+(c-10)2=0∴a=6b=2xc=10∵c-a＜b＜c+a∴4＜2x＜16∴2＜x＜3评注：对于含有多个字母而只有一个等式求解，通过配方法转化为n个非负数之和等于零的形式是一种常用的思路。【课堂小结】数与式的运算是整个初中阶段数学的基础。在复习过程中应对学生的薄弱环节，如负指数，含有隐含条件的代数式化简等应多加训练。基础练习1.计算-2+（∏+7）-|tg45-2|×(-)+(-)2÷(-0.9)2.求值：(+)×其中a=3.已知：m-n=3,求4(m-n)2-3m+3n+5的值4.已知10=a,10=b,试用a,b表示1005.已知a,b满足+|b-|=0,解关于x的方程（a+2)x+b2=a-1【巩固练习】1.填空题：（1）的平方根是_______.(2)已知a,b在数轴上对应点位置如图，则-|a-b|=______.(3)若表示一个整数，则整数m的值是_______.(4)近似数0.034万，精确到____位，有______个有效数字，用科学记数法记作_____万。（5）已知=-x成立，则x满足_________.(6)若x,y异号，且x2-xy-6y2=0,则分式=________.2.研究下列算式，你会发现什么规律：1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42……请你用方式将找出的规律表示出来。3.计算：×-（-）+tg60-|-2|4.已知x=(+),y=(-),求代数式+的值。5、已知代数式+有意义，化简-+6.若A=为a+3b的算术平方根，B=为1-a的立方根，求A+B的平方根。【课后反思】第二讲方程（组）的解法【学习目标】1、掌握解方程（组）的基本方法。2、体验转化思想。知识框图方程方程组【典型例题】例1.解下列方程.（1）x+x-+1=0（2）x-4x+2-11=0(3)(x-2x)+(x-2x)-2=0解：（1）设x2+x=y,则原方程可变为y-+1=0，即y2+y-6=0∴y1=-3,y2=2.当y1=-3时，x+x+3=0无实根。当y2=2时，x+x-2=0,x=-2x=1.经检验，原方程的根是x=-2x=1(2)设=y,则y+4y-21=0,∴y=-7y=3当y1=-7时，方程无实数解；当y2=3时，2x-8x-1=9∴x=5x=-1.经检验原方程的根是x=5，x=-1.（3）设(x-2x)=y,则y+y-2=0∴y=1,y=-2当y=1时，(x-2x)=1，x=1+，x=1-。当y=-2时，(x-2x)=-2，方程无实根，∴x=1+，x=1-。评注：（1）解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程，对特殊类型的分式方程可采用换元法。（2）解根式方程的基本方法是对方程两边同时平方，特殊类型的方程采用换元法。（3）解一元高次方程的基本思路是使方程降次。通常用的降次方法是因式分解法和换元法。例2.解方程组.1.2.解：1.由(1)得y=2x-1,代入（2）得：2x+x=0∴x=0,x2=-把x=0代入（3），得y=-1,把x=-代入（3）得y=-2∴方程组的解是2.原方程组可化为以下四个方程组：∴评注：（1）由一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组，宜用代入法，解方程组的思想是“消元”。（2）由两个二元二次方程组成的方程组，宜用分解降次的方法。例3.已知三角形三边长适合方程x-6x+8=0.求三角形的周长。解：由x-6x+8=0，得x=2,x=4可得三角形周长为：6，12，10。评注：按等边三角形，等腰三角形分类讨论。例4.若方程组的解x,y满足方程=x+1,求a值。解：由得,(舍）代入方程xy=-a+a+2,得-a+a=0∴a=0或a=1【选讲例题】例5.已知x是实数，且-(x+3x)=2,那么x+3x的值为（）（A）1（B）-3或1（C）3（D）-1或3解：设x+3x=y得y+2y-3=0∴y=-3,y=1当y=-3时，x+3x=-3无实根，应舍去；当y=1时，x+3x=1，＞0。应选A。评注：解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。又如“已知x为实数，且x+2x+6=4,则x+2x的值等于_______”，与本例异曲同工，不妨试一试。【课堂小结】本讲内容主要学习了方程（组）的基本解法，运用转化的思想解决某些特殊方程（组），对分式方程、根式方程必须要检验。【基础练习】1.解方程（组）（1）2x(x-3)=5(x-3)(2)2x+8x-3=4(3)2.若方程组的解x与y相等，求a的值。3.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和,试写出符合要求的方程式__________。（只要求写一个）4.若解分式方程-=产生增根，则m的值是（）（A）-1或-2（B）-1或2（C）1或2（D）1或-2【巩固练习】1.如果x=1是方程x+kx+k-5=0的一个根，那么k值是_______.2.方程组的一个解为,那么这个方程组的另一个解是______.3.已知（x+y+1)=4,则x+y=__________.4.已知方程x+x-1=0的两个根为x,x,则（x+2x-1)(x+2x-1)的值为________.5.解方程（组）（1）x-2x-2=(2)x-3x-=1(3)【课后反思】第三讲不等式【学习目标】1、了解一元一次不等式的概念，掌握不等式的性质。2、掌握一元一次不等式，一元一次不等式的解法。3、了解不等式及不等式组的解的意义。【知识框图】【典型例题】例1、填空，用不等式表示下列各数量关系。（1）x与y的差不大于5______________（2）a与-4的和是负数____________解：（1）x－y≤5(2)a－4≥0评注：充分理解题意，按题目意思列出式子，准确理解特殊“字”“词”的意义如“不大于”“非负数”等。例2、求不等式2x－7＋＜+5－4x的整数解。分析：首先想到求出X的取值范围，然后利用解的意义，可利用数轴得到所求的答案，此题要注意隐含条件。解：∵2X－7＜5－4X又∵x＋2≥0∴x＜2∴x≥-2∵-2≤x＜2-2-1012∴满足条件的整数解为-2，-1，0，1例3、已知不等式组的解为x＞2求实数a的取值范围分析：先可化简不等式组得再由不等式组的解的意义可得≤2，即可求得a的取值范围，特别注意可等于2解：由可得又由此可得≤2解得a≤3例4：函数y1＝ax+bx+c(a≠0)与y2＝mx+n(m≠0)的图象相交于点(2，3)的原点，且抛物线y1=ax+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(6，0)(1).确定这两个函数的解析式。(2).求当x为何值时y＞y，y＜y分析：（1）题可由待定系数法求解，求抛物线解析式时应注意用y=a(x-x)(x-x)来求较简单（2）题可由题意一无二次不等式得解，但若到利用涵数图象的性质则可更易得解。解：（1）略yy2=mx+n（2）如图（2.3)∴当0＜x＜2时，y＞y当x＞2或x＜0时，y＜y06xy1=ax+bx+c【选讲例题】例5、如图点P是半径为5的⊙0内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙0的弦中，弦长为整数的弦的条数为（）AR=5A、2B、3C、4D、5P=3分析：分析题意可得：过p的弦长x的最小值为2=8，最长弦为直径10，所以弦长x的范围为8≤x≤10，则正整数解为8、9、10。若选答案“B”这错误。利用圆的轴对称性，x=8的弦只有1条，x=10的弦也只有1条，x=9的弦则有2条，所以合计有4条。【基础练习】（1）填空：若a＜b,则4a+1_________4b+1，－______－a－b________0（在空格内填入：“＞”、“＜”）（2）代数式的值是非正数，则x的取值范围是多少？（3）不等式的解集为（）A.x＞2B.x＜1C.1＜x＜2D.空集（4）不等式|x-3|≥2的解集为（）A.x≥5B.x≤1C.1≤x≤5D.x≥5或x≤1(5)解不等式（x-6)(x+1)＜0【巩固练习】（1）若a、b、c是三角形ABC的三条边，则下列不等式中正确是的（）A.a-b-c-2bc＞0B.a-b-c-2bc＜0C.a-b-c-2bc=0D.a-b-c-2bc≥0(2)已知三角形ABC中，各边长均为正整数，且AB=5cm,AB≥BC≥CA,则满足上述条件的不同的三角形共有（）A.1个B.6个C.8个D.9个（3）已知：如图a、b、c、d的位置已经确定，则下列不等式中成立的个数为（）①a＞b②ac＜d③bd＞d④c+d＞a+bA.1个B.2个C.3个D.4个ba0cd（4）解不等式：x-+≤1+(5)解不等式组：(6)解不等到式：＞1(7)当k为何值时，关于x的方程6(x+k)=2x+5的解是（1）正数（2）小于-2(8)满足不等式-1999.5＜x+1≤2001的整数有________个。（9）关于x的方程x(2kx+1)=-8k(x+1)有两个不相等的实数根时，求k的取值范围。（10）已知：a、b为整数，x－ax+3－b=0有两个不相等的实数根；x+（6-a）x+7-b=0有两个相等的实数根；x+（4-a）x+5-b=0没有实数根，求a、b的值。【课后反思】第四讲一元二次方程式的判别式【学习目标】1.体验一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac判根的作用。2.探索一元二次方程的各种情况。【知识框图】不解方程判根ax2+bx+c=oΔ=b2－4ac应用已知方程根的情况确定方程的字母系数求证方程有根的状况典型例题例1.不解方程判定下列方程是否有实数根。（1）2x2+x-1=0（2）3x2+=x（3）y(2y+5)=2(y-1)（4）1998m2-2002m-2003=0解：（1）∵Δ=12-4×2×(-1)=9＞0∴方程有两个不相等的实数根。（2）方程可化为3x2-x+=0∵Δ=6-3×4×=0∴方程有两个相等的实数根。（3）方程可化为2y2+3y+2=0∵Δ=9-4×2×2=-7＜0∴方程没有实数根。（4）∵ac＜0∴b2-4ac＞0∴方程必有两个不相等的实数根。评注：（1）判定方程是否有实数根，只要通过计算Δ的值，就能确定；（2）当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a,c异号时，必有b2－4ac＞0。例2：当k为何值时，关于x的方程x2+(1-2k)x+k2-1=0（1）有两个相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）没有实数根。解：∵Δ=（1-2k）2-4（k2-1）=-4k+5（1）∵方程有两个相等的实数根∴Δ=0即-4k+5=0∴k=当k=时方程有两个相等实数根。（2）∵方程有两相不相等的实数根∴Δ＞0即-4k+5＞0∴k＜当k＜时方程有两个不相等的实数根。（3）∵方程没有实数根∴Δ＜0即-4k+5＜0∴k＞当k＞时方程没有实数根评注：若已知方程根的情况，则可通过Δ已确定的符号（Δ＞0或Δ=0或Δ＜0等）列式，计算待定系数的值或确定取值范围。例3：求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根。证明：∵Δ=k2-4k+84=(k-2)2+80∵(k-2)2≥0∴(k-2)2+80＞0∴Δ＞0∴不论k取什么实数，方程一定有两个不相等的实数根。评注：（1）要证明方程根的情况，只需通过判断Δ的符号即可；（2）判定Δ的符号却常常使用配方技巧或因式分解等。例4：当k取何值时，方程(k-1)x2-x+1=0有实根。解：（1）当k=1时方程可化为-x+1=0,x=1（2）当k≠1时，Δ≥0Δ=k-4(k-1)=-3k+4≥0∴k≤又要使有意义∴k≥0∴0≤k≤且k≠1综合所述当0≤k≤时方程有实数根。评注：（1）本题中对于“方程有实数根”的含义的理解是关键，应分类讨论；（2）解题时要注意方程中待定系数本身的取值范围：这里k≥0。【选讲例题】例5：方程++=0只有一个实数根（等根视为一根），求a的值。解：方程化简x2+(x-2)2+2x-a=02x-2x+4-a=0（1）若Δ=0,Δ=4-2×4×(4-a)=0即2a-7=0,a=此时方程为2x2-2x+=0,此时方程的根为x1=x2=符合题意。（2）若Δ＞0则要使原方程只有一个实数根，必须是方程2x2-2x+4-a=0中有一根为增根<1>当增根为x=0时，a=4，此时方程2x2-2x=0x1=0,x2=1，符合原方程只有一个实数根。<2>当增根为x=2时，2×4-2×2+4-a=0∴a=8此时方程为2x2-2x+4=0∴x1=2,x2=-1,符合原方程只有一个实数根。综上所述a的值为、4或8。评注：（1）本题主体思想是通过方程的根进行分类讨论；（2）对化简后方程有两个不相等的实数根，通过增根求出待定系数后再检验；（3）若化简后二次项系数是有关a的代数式，则还要进行方程类别的讨论。【课堂小结】本节内容主要学习了一元二次方程的根的判别式Δ及其作用，主要体现在Δ＞0，Δ=0和Δ＜0时，对方程的解的影响。只要涉及到方程解的情况讨论时，Δ是主要讨论的内容，同时也不可忽视Δ使用的前提：二次项系数不能为零。【基础练习】1.选择题（1）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（）A.m＞1B.m=1C.m＜1D.任何实数（2）若一元二次方程根的判别式Δ=(m-1)2,则下列说法不正确的是（）A.一定有两个实数根B.一定有两个不相等的实数根C.当m＜1没有实数根D.以上说法都不正确2.填空题（1）方程x2-3x-4=0的判别式Δ=__________.（2）若方程（x+2)2+(y-2)2=0,则x+y=_________.3.m为何值时，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有两个不相等的实数根。4.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根。求证：三角形是直角三角形。5.已知二次函数y=x2-2(m+1)x+m2-1与x轴有两个交点，求m的取值范围。【巩固练习】1.选择题（1）方程x2+3x+6=0与x2-6x+3=0的所有实根的乘积等于（）A.-18B.18C.-3D.3（2）若关于x的方程x2-2x-1=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A.k≥0B.k＞0C.k＞-1D.k≥-12.填空题（1）一元二次方程x2-3x-m=0有两个相等的实根，则m的值为____________。（2）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是____________。3.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤3（1）求证：此方程总有实根；（2）当方程有两实数根，且两实根的平方和等于4时，求k的值。4.已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两根，另一条边长c=4，求k的值。5.已知方程组有两组不相等的实数解，求a的取值范围。6.若方程x2+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根。（1）求证：p+q＜（2）试写出上述命题的逆命题；（3）判断（2）中的逆命题是否正确，若正确请加以证明，若不正确，请举一反例。【课后反思】第五讲韦达定理【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求根公式解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解【典型例题】例1、已知、是方程x-5x+1=0的两个根，求下列代数式的值（1）+（2）（-）（3）+（4）α+β（5）α-5α+3αβ-β解：由韦达定理知α+β=5，αβ=1（1）α+β=（α+β）-2αβ=23（2）（α-β）=（α+β）-4αβ=21（3）+＋===（4）α+β=（α+β）-3αβ（α+β）=110（5）α-5α+3αβ-β=3αβ-（α+β）=-2评注：求关于两根的代数式的值，关键是将所给代数式合理地进行恒等变形，使其转化成α+β，αβ表示的形式，主要运用配方法，通分，因式分解等方法。例2：已知方程2x-kx+4=0的一个根是1+，求另一根及k的值。解：设方程的另一根为x,由韦达定理知解得∴方程的另一根为-1，k的值为4。评注：本例主要熟悉并掌握运用根的定义及韦达定理求待定系数和方程的根。例3：已知关于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根积大21，求m的值。解：设x+2(m-2)x+m+4=0的两根值为x1,x2则x1+x2=-2(m-2),x1x2=m+4由题意得：x12+x22=x1x2+21(x1+x2)-3x1x2-21=04(m-2)-3(m+4)-21=0m=17,m=-1把m1=17代入原方程得x+30x+293=0,Δ＜0∴方程无实数根，∴m1=17不合题意，舍去把m2=-1代入原方程得x-6x+5=0,Δ＞0∴m=-1评注：应用韦达定理求一元二次方程中待定系数是一种常见的方法，但应特别注意一元二次方程是否有根的检验，同时还应注意二次项系数及本身隐含的取值范围。例4：在实数范围内分解因式。（1）x-x+1(2)-3y+y+1(3)4x+8xy-y解：（1）令x-x+1=0，解方程得x=∴x-x+1=(x-)(x-)(2)令-3y+y+1=0，解方程得y=∴-3y+y+1=-3(y-)(y-)(3)把4x+8xy-y=0看作关于x为未知数的方程。令4x+8xy-y=0解方程得x=y,∴4x+8xy-y=4(x-y)(x-y)=(2x+2y-y)(2x+2y+y)评注：当二次三项式不能公式进行分解时，往往令二次三项式等于0转化为一元二次方程，令ax+bx+c=0两根为x１,x２,则ax+bx+c=a(x-x１)(x-x２),注意分解时二次项系数不要漏掉，当二次三项式含有两个字母时把其中一个字母看作未知数，另一个字母看作常数来解。【选讲例题】例：在三角形ABC中，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且C=5，若关于x的方程（5+b)x2+2ax+(5-b)=0有两个相等的实数根，又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的两个实数根的平方和为6，求ΔABC的面积。解：∵方程（5+b)x+2ax+(5-b)=0有两个相等的实数根∴Δ=4a-(5+b)(5-b)=0即a+b=75∵c=5∴a+b=c∴ΔABC为直角三角形，用∠C=90设x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的两个实数根，则x1+x2=5SinA，x1x2=SinA∵x1+x2=6∴(5SinA)-SinA=6∴SinA=或SinA=-(舍去）在RtΔABC中，C=5,a=c，SinA=3b==4∴SΔABC=ab=18评注：这是一道典型的综合性题，这汇集了根的判别式，勾股定理，根与系数的关系，三角函数，三角形面积等多方面的知识，解这类综合题时，要理清楚思路，抓拄每个给出的条件，得到相应的结论，从而环环地将绳索解开。【基础练习】1、填空：（1）设α，β是方程3x-5x+1=0的两根，则αβ+αβ=_______（2）若+1是方程x-kx+1=0的一个根，则k=________（3）分解因式2x+3x-1=__________（4）若方程3x-x+m-4=0有一正一负两个根，则m的取值范围是_____________（5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的两个根，则（a+ma+1)(b+mb+1)的值为_______（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______2、已知a-3a=1,b-3b=1,求+的值。3、三角形ABC的三边长分别为a,b,c，满足b=8-c,a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。4、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0，并且st≠1,求的值。【课堂小结】1、掌握韦达定理2、掌握韦达定理的几个应用。【巩固练习】1、因式分解6xy+7xy-3=___________2、解方程组3、如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。4、已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。5、已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。6、已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根（1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=-成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。【课后反思】第六讲正反比例函数及一次函数学习目标1、经历正、反比例函数及一次函数的性质、图像、解析式三者的对应关系进行判断，计算的过程。2、体验数形结合思想的作用。3、探索用函数的思想解决实际问题。知识框图y=kx(k≠0)的图像和性质常量和变量——函数——平面直角坐标系——y=kx+b(k≠0)的图像和性质y=(k≠0)的图像和性质典型例题例1、如图1所示，正方形ABCD边长为4，顶点A与原点重合，点B在第一象限OB与X轴正方向成yMCDB30，点D在第二象限，求正方形四个顶点的坐标。DˊBˊO(A)解：如图在RtΔOBBˊ中，∠BOBˊ=30,OB=4∴BBˊ=2,OBˊ=2∴B的坐标为（2，2）同理可相应得到：C(2-2,2+2)、D(-2,2)A(0,0)评注：（1）求点的坐标，只需求出点到x轴,y轴的距离；（2）将到坐标轴的距离确定后转化为坐标，应注意符号的变化。例2、根据下列条件分别解题（1）已知y与x+2成正比例，当x=7时，y=12,求当-2≤y≤3时，x的取值范围；（2）已知直线经过点P（1，3），且交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，若OA+OB=8（O为原点），求直线的解析式；（3）在反比例函数y=的图像上有一点A，它的横坐标n使方程x-nx+n-1=0有两个相等的实根，A与B（1，0），C（4，0）为顶点的三角形面积等于6，求反比例函数的解析式。解：（1）设y=k(x+2),把x=7,y=12代入得k=∴y=x+∵-2≤y≤3∴-2≤x+≤3∴-≤x≤(2)设直线解析式为y=kx+b,，则A(-,0),B(0,b)且-＞0,b＞0∵OA+OB=8∴-+b=8∵点P（1，3）在直线上，∴k+b=3解得：k=-1,b=4或k=-3,b=6∴所求的解析式为y=-x+4或y=-3x+6(3)Δ=(-n)-4×1×(n-1)=0解得n=2设A的纵坐标为y,由SΔABC=6得到：×3|y|=6则y=+4,得到A(2,4)或（2，-4）∴+4=∴k=-8∴解析式为：y=或y=-评注：（1）待定系数法是求函数的解析式最基本的方法，其关键是根据条件列出方程，从而确定待定系数的值；（2）利用坐标表示点到坐标轴的距离或平行于坐标轴的线段的长度，要特别注意线段的长度都是正数，否则就会漏解。例3、20XX年，诸暨举办“珍珠节”，需要生产4000个珍珠纪念品，一名工人一天的产量为5至8个，若要在40天内完成任务，那么大约需要多少工人？解：设每天生产纪念品需要工人y个，每人每天生产x个则y==(x＞0)由于5≤x≤8,则≥y≥即12≤y≤20∵y是正整数，∴大约需工人13至20人。评注：利用函数的思想解应用题的关键是建立一个合理的函数关系式。例4、如图2，已知直线y=-2x+m和y=x+n(0＜n＜m)相交于点P，且与x轴分别交于点A和B。（1）用m,n表示点A、B、P的坐标（2）若点Q是PB与y轴的交点，且四边形PQOA的面积是，线段AB=2，求m,n的值。y解：（1）得A（,0),B(-n,0)P得x=,，y=Q∴P(,)BOAx(2)Q点的坐标为（O,n)图2由|AB|=2，得+n=2由S四边形PQOA=,得m+4mn-2n=5解得：m=2,n=1评注：（1）解“函数---几何---方程”型综合题，要灵活运用数形结合，方程思想，善于挖掘图形中的数量关系；（2）两函数图像的交点坐标与它们解析式联列方程的解具有对应关系。【选讲例题】例5：某农场300名职工耕种51公顷土地，分别种植水稻，蔬菜和棉花，种植这些农作物每公顷所需职工数如表1所示：表1设水稻、蔬菜、棉花的种植面积分别为x公顷、y公顷、z公顷。（1）分别写出y、z与x的函数关系式；（2）若这些农作物预计产值如表2所示，且总产值P满足：360≤x≤370(x,y,z均为整数），这个农场应怎样安排水稻、蔬菜、棉花的种植面积。表2解：（1）y=15+x,z=36-x(2)P=4.5x+9y+7.5z=-2.5x+405∵360≤x≤370得14≤x≤18∵x,y,z均是正整数∴x=15,y=20,z=16或x=18,y=21,z=12答：这个农场安排种植水稻、蔬菜、棉花的面积分别为15公顷、20公顷、16公顷或18公顷、21公顷、12公顷。评注：在应用函数知识解决实际问题时，应注意将实际问题转化为数学问题，并注意自变量的取值范围。【基础练习】1、选择题（1）已知函数y=-x+2,当-1＜x≤1时，y的取值范围是（）A-＜y≤B＜y＜C≤y＜D＜y≤（2）已知反比例函数y=的图像经过点（2，-3），那么k的值为（）A、-6B、6C、-D、2、填空题（1）一次函数的图像经过点（-2，3）与（1，-1），它的解析式是________（2）已知函数y=(m+m-2)x是反比例函数，则m=_______3、已知y与的算术平方根成正比例，并且当x=9时，y=2,求y关于x的函数解析式。4、如图3，直角坐标系xoy中，直线y=-x+6与x、y轴分别交于点A和B，设线段AB上一动点P的横坐标为x,ΔPOA的面积为S，求S关于x的函数解析式。【巩固练习】1、选择题（1）若m+n＜0,mn＞0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（2）直线y=kx+b与直线y=x+3交点的纵坐标为5，而与直线y=3x-9的交点的横坐标也是5，则直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积为（）A、B、C、D、12、填空题（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为（2，-1），则另一个交点坐标为_____（2）已知（x１,y１),(x２,y２),(x３,y３)是反比例函数y=图象上的三个点，且x１＜0＜x２＜x３,则y１,y２,y３的大小关系是（用“＞”连接）_________3、两条直线y1=k1x+b1和y2=k2x+b2都经过点P（-2，1），其中y1=k1x+b1在y轴上截距为-3，y2=k2x+b2与直线y=2x平行，求这两条直线的解析式。4、一次函数y=(m-4)x+(1-m)和y=(m+2)x+(x-3)的图像与y轴分别相交于点P和点Q，若点P和点Q关于x轴对称，求m的值。5、已知函数y=的图象上有一点P(m,n),且m,n是关于t的方程，t-4at+4a-6a-8=0的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=的解析式。6、如图，已知RtΔABC的顶点A是直线y=x+m-1与双曲线y=在第一象限的交点，点C是直线y=x+m-1与x轴的交点，已知SΔABC=7，求SΔABC。yACOBx【课后反思】第七讲二次函数【学习目标】1、经历二次函数图象、性质、解析式三者有机转换过程，加深到二次函数性质的理解。2、体验二次函数在解决实际问题中的应用。3、探索用数形结合的思想解决函数，几何综合型问题。【知识框图】图案判别函数增减性y=ax+bx+c(a≠0)应用求最值性质【典型例题】例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离等于2，且图象经过点（4，3）。（1）求这个函数的解析式；（2）说出该函数图象的开口方向，顶点坐标及和坐标轴的交点坐标；（3）画出二次函数的草图，说出x为何值时，y＞0?y≤0?；（4）求绕顶点旋转1800后新抛物线解析式；（5）设有直线y1=x-1,当x为何值时y1＞y？解：（1）解法一：由条件得：解得∴y=x２-4x+3解法二：设y=a(x-2)２+k=ax２-4ax+4a+4由条件得解得∴y=(x-2)２-1=x２-4x+3解法三：∵抛物线对称轴是直线x=2，与x轴两交点的距离等于2∴抛物线与x轴的两交点坐标为：（1，0），（3，0）设y=a(x-1)(x-3)把(4,3)代入得a=1∴y=(x-1)(x-3)=x２-4x+3y评注：求二次函数解析式可考虑三种方案：设一般式，顶点式与交线，但应选择最简单的方案，如上解法三更为简捷。（2）开口方向向上，顶点坐标是（2，-1）(0,3)(4.3)令y=0，则x1=3,x2=1所以与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），令x=0,则y=3,所以与y轴交点坐标为（0，3）(1,0)(3,0)（3）草图如图1Ox当x＜1或x＞3时，y＞0-1图1(2,-1)当1≤x≤3时，y≤0（4）新抛物线的解析式为：y=-(x-2)２-1评注：在抛物线的平移、对称变换中，由于开口大小不变，所以|a|保持不变；解这类题关键是抓住顶点如何变化及抛物线开口方向。（5）如图，直线y1=x-1图象，与抛物线交于（1，0），（4，3），当1＜x＜4时，y1＞y例2：例1中，抛物线与x轴的两个交点为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C，O为原点。（1）在抛物线上是否存在一点M，使3SΔMAB=3ΔABC？若存在，求M坐标，若不存在，说明理由；（2）在y轴上是否存在点P，使ΔMAB与ΔAOC相似？若存在，求出过P，B两点的直线解析式，若不存在，说明理由。解（1）设M点的纵坐标为h,由3ＳΔMAB=3ＳΔABC得：3××AB×|h|=×AB×3∴h=+1当h=1时，x２-4x+3=1,解得x=2+当h=-1时，x２-4x+3=-1，解得x=2∴存在M点，M的坐标为（2+，1），（2-，1），（2，-1）（2）RtΔOAC中，OA：OC=1：3y假设P点存在，则考虑两种情况：C=或=３∴OP=OB或OP=3OBO１３ABx∴OP=1或OP=9图2∴P的坐标有P１（0，1），P２（0，-1），P３（0，9），P４（0，-9）评注：存在性问题一般是先假设结论成立，然后求解；同时应用分类思想考虑各种情况，做到不遗漏。例3：某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销情况得知，这种服装每天的销售量T（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系T=-3x+207(45≤x≤69)（1）写出商场卖这种服装每天的利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；（2）问商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最合适，最大的利润是多少？解：（1）y=(-3x+207)x-45(-3x+207)=-3(x２-114+3105)(45≤x≤69)（2）y=-3(x-57)２+432(45≤x≤69)当x=57时，y最大=432∴每件的销售价定为57元最合适，此时，每天的最大利润是432元。评注：用二次函数的性质求实际问题的最值时，首先应选取适当的变量，建立目标函数，然后在变量的取值范围内求出目标函数的最值。【选讲例题】例4：已知抛物线y=x２-ax-2(a-3),求证：当抛物线的顶点位置最高时，它与x轴两个交点间的距离最小。证明：抛物线顶点坐标为（,）当顶点位置最高时，即顶点纵坐标最大而=,当a=4时，纵坐标最大抛物线与x轴两面个交点间距离为=,同时a=4时，取得最小值。【课堂小结】本节内容主要复习二次函数的图象性质及其应用。求抛物线解析式的关键是：灵活运用题目所给条件，合理“设”，正确“列”；理解二次函数性质的关键是：充分利用图象的直观性，并注意方程思想、数形结合思想以及待定系数法、配方法在本节中的应用。【基础练习】1、已知二次函数y=2x２-4x-1图象上两点A(x１,y１),B(x２,y２),若x１＜x２＜1,则y１,y２中较大的是_________.2、抛物线y=x２-2x-4关于y轴对称抛物线的解析式是__________；关于x轴对称的抛物线的解析式为__.3、已知抛物线y=x２-(m+2)x+1,根据下列条件求m的值。对称轴是直线x=4；（2）有最小值-3；（3）顶点在x轴上；（4）顶点在直线y=x-1上。4、把抛物线y=2x２平移，使它通过一次函数y=x-2的图象与坐标轴的两个交点，求这个二次函数的解析式及其最大值或最小值。5、设x１，x２是抛物线y=k２x２-2(k-1)x+1与x轴两个交点的横坐标，且+=14.求k的值。【巩固练习】1、选择题（1）抛物线y=(a-1)x２+a２+2a-3经过原点，则a的值为（）A、1B、-3C、1或3D、无法确定（2）若抛物线y=ax２+bx+c(a≠0)的顶点在第一象限，且经过（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是（）A、0＜S＜2B、S＞1C、1＜S＜2D、-1＜S＜12、填空题（1）若抛物线y=ax２+bx+c如图所示，y则直线y=abx+c不经过第____象限。0x（2）直线y=ax-9通过抛物线y=-(x-a)２的顶点，则a=________.3、已知a、b、c是一个三角形三边长，求证二次函数y=a２x２+(a２+b２-c２)x+b２的图象与x轴没有交点。4、如图，已知抛物线y=x２+px+q与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴于C，∠ACB=Rt∠,且-=,求ΔABC外接圆的面积。yAOBxC5、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。【课后反思】第八讲解直角三角形【学习目标】1、了解锐角三角函数定义及熟记30、45、60的三角函数值。2、会用直角三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形。3、会用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题。【知识框图】锐角三角函数特殊三角函数值（300、450、600）解直角三角形实际应用（锥度、坡度等）【典型例题】例1：ΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于点D，若BD∶AD=1∶4，则tg∠BCD的值是（）A、B、C、D、2解：设BD=a，AD=4a,由CD２=AD×DB，得CD=2atg∠BCD=,应选C。ADB评注：锐角三角函数的实质是线段比。例2：四边形ABCD中，BD是对角线，DC⊥BC于点C，若AB=100，∠A=450，∠DBA=750，∠CBD=300，求BC的长。解：过点B作BE⊥AD于点EＤＣ在RtΔABE中，∠A=450，AB=100Ｅ∴BE=50∵∠A=450，∠DBA=750∴∠ADB=600ＡＢ∵BE=50∴BD=∵在RtΔBCD中，∠CBD=300，BD=∴BC=50评注：（1）此题的解题过程，体现了两种转化：1）题目图中有斜三角形，一般通过添适当的辅助线使之转化为直角三角形。2）把条件先集中到一个直角三角形中，使其首先可解，求出这个直角三角形的其他元素之后，使相邻的直角三角形也可解。例3：一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导船部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？解：如图Ｃ设BD=x，由（20+x）tg300=x×tg600得x=10∴CD=10tg60