第15讲 对数及其运算 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第15讲对数及其运算1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值；2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算；3.掌握换底公式及其推论；4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法.1对数的概念(1)概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a(a底数，N真数，log(2)两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10N自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN(3)对数式与指数式的互化x=lo对数式指数式如43=64⇔log(4)结论①负数和零没有对数②lo特别地，lg10=1，lg1=0，lne=12对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo3换底公式(1)公式log(2)推论①logab=1logb

【题型一】对数式与指数式的互换相关知识点讲解1对数的概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a(a底数，N真数，log解释对数logaN中对底数a的限制与指数函数y=2两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10N自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN3对数式与指数式的互化x=lo对数式指数式如43=64⇔log4结论①负数和零没有对数②lo特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1解释∵ax=N>0，∴loga由对数式与指数式的互化得a1=a⇒loga【典题1】指数式与对数式互化.(1)3a=27(2)lg0.001=−3【答案】a=log3【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，幂值变真数进行变换即得.【详解】(1)由3a=27可得：a=log327故答案为：a=log3【典题2】已知函数fx=log3x+1,x>1x,0<x≤1A．8 B．7 C．2 D．0.5【答案】A【分析】分类讨论结合指对互换求解m的值即可.【详解】当0<x≤1时，0<fx=x≤1<2，所以若则只能m>1,log所以m+1=32=9故选：A.变式练习1.已知logx8=2，则x=(

A．2 B．22 C．3 【答案】B【分析】根据对数运算分析求解.【详解】因为logx8=2=log且x∈0,1∪1,+故选：B.2.已知f2x=x，则f3=A．8 B．9 C．log23 【答案】C【分析】根据指数、对数运算以及函数的概念求得正确答案.【详解】令2x=3，可得x=log故选：C3.若log3x−2=2y−3=1，则A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【分析】根据给定的等式，求出x,y即可计算得解.【详解】由log3(x−2)=1，得x−2=3，解得x=5，由2y−3=1，得所以x+y=8.故选：D【题型二】对数的运算性质相关知识点讲解如果a>0，a≠1，M>0，N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo(每条等式均可证明)比较对数的运算法则与指数的运算法则的联系指数对数aloaloalog特别注意：logaMN≠lo【例】证明log证明设x=logaM，∴MN=axa【典题1】(多选)下列等式成立的是()A．lg2+lg5−C．lg14−2lg7【答案】AC【分析】根据对数的运算性质计算逐项计算.【详解】lg2+lg4+lg14−2lg2故选：AC变式练习1.化简下列各式：(1)4lg2+3lg【答案】(1)4，(2)−1【分析】(1)、(2)利用对数的运算法则求解即可.【详解】(1)原式=lg(2)原式=2=2log2.log222A．4 B．92 C．5 D．【答案】D【分析】利用对数的运算法则求解即可.【详解】log2故选：D.3.(2024·山东聊城·二模)已知函数fx为R上的偶函数，且当x>0时，fx=log4A．−23 B．−13 C．【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f(−2【详解】因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，则f(−2故选：A4.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771，则logA．1.79 B．1.81 C．1.87 D．1.89【答案】A【分析】借助对数运算法则计算即可得.【详解】log4故选：A.5.已知实数x，y满足log2x+log2y+1A．32 B．2 C．72−【答案】A【分析】由对数运算得xy+1【详解】由log2x+log2y+1=1得∴y=2∴S=x2=x−当且仅当x=1x，1x=1，且故S的最小值是32故选：A.【题型三】换底公式的运用条件求值问题相关知识点讲解(1)公式log(2)公式推导设logcblog∴b=ax，∴x=log(3)推论①logab=1logb证明①loga②loga③loga【典题1】已知lg⁡2=a,lg⁡3=b，则logA．a+baB．a+bbC．a【答案】C【详解】由换底公式得log3【典题2】已知a=log3⁡5，b=log4⁡5A．12 B．112 C．7 D．【答案】A【详解】c=∴5c=变式练习1.log23⋅logA．2 B．1 C．−1 D．0【答案】C【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.【详解】log2故选：C．2.log225×logA．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解.【详解】log2故选：A.3.已知a=lg⁡2，b=lg⁡3，用a,b表示A．2a+2b1−a B．1−a2a+b C．2−2aa+b【答案】D【详解】log36⁡5=lg【题型四】条件求值问题【典题1】设a，b，c都是正数，且3a=4A．a+2b=c B．ac+bc=2ab C．1a+1【答案】C【分析】首先根据指对互化，利用对数表示a,b,c，再结合对数运算判断选项.【详解】由3a=4b=6c1a=logk3，1根据logk3+log故选：C【典题2】已知2m=6n=10，则3，m⋅nA．m⋅n<m+n<3 B．m⋅n<3<m+nC．3<m+n<m⋅n D．3<m⋅n<m+n【答案】D【分析】分别求出m,n，并分别算出m⋅n，m+n，就可知道两者的大小，对m,n进行估算，可知m⋅n>3，从而确定结果.【详解】∵2m=6n=10，∴m+n=1lg2∵lg12>∴m+n>m⋅n，又log28<log∴3<m<4，1<n<2，∴m⋅n>3，∴3<m⋅n<m+n．故选：D.变式练习1.(2024·辽宁丹东·一模)若2a=3，3b=5，5c=4A．−2 B．12 C．22【答案】B【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.【详解】由2a=3，3b=5，所以abc=log23×故选：B.2.(2024·陕西西安·模拟预测)设a，b，c都是正数，且4a=6bA．1a+1b=1c B．【答案】D【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．【详解】依题意设4a=6b=9c所以1a则1a+1则1b则1a故选：D.3.设log23=3p,log35=q，则lgA．p2+q2 B．153p+2q【答案】C【分析】利用换底公式可得3pq=lg【详解】根据换底公式有3p=log23=可得3pq=lg5lg故C正确，检验可知其他选项均不符合.故选：C.4.已知a，b，c∈R，3a=2，4b=5，5A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【答案】D【分析】先将3a=2，4b=5，【详解】因为3a=2，4b所以a=log又因为a−c=log所以a<c，所以a<c<b.故选：D5.设x、y∈R，a>1，b>1，若ax=by=2，a2+b=4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由ax=by=2，可得x=【详解】解：因为ax所以x=loga2,y=则2x又因a2+b=4，所以a2⋅b≤(所以log2所以2x故选：B.6.(多选)若log3x=log5y=A．x>y>z B．3x>5y>7zC．3x<5y<7z D．x<y<z【答案】AB【分析】设log3x=log5y=【详解】设log3则x=3t,y=因为t<−1<0，则t+1<0，则y=xt,y=所以3t>5t>7t故选：AB．7.(多选)已知c>0，且2a=3bA．a>b>c B．ac<C．1a+1b>【答案】ACD【分析】设2a【详解】因为c>0，设2对A，知k>1，易知a>b>c.选项A正确.对C，因为a=log2k，b=log3k，c=log于是1a对D，若a+c=ac，则1a+1c=1由3b=10知对B，取k=3，则b2=1，而1ac故选：ACD.【题型五】实际问题中的对数运算【典题1】(2024·贵州遵义·一模)近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要(lg2≈0.3010)(

A．8年 B．10年 C．12年 D．20年【答案】C【分析】设经过x个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，可得100⋅2【详解】设经过x个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，所以100⋅2x7两边同时取对数可得：lg2所以x7⋅lg而139.5312所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.故选：C.变式练习1.(2024·安徽·模拟预测)科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=4kA．11 B．15 C．19 D．21【答案】A【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.【详解】n=4k即lgk+14=ln3故选：A【A组基础题】1.12lg2+lgA．12 B．1 C．lg5 【答案】A【分析】利用对数运算性质计算得解.【详解】12故选：A2.(2024·青海·模拟预测)若a=log35，5b=6，则A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】A【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.【详解】由5b=6⇒所以ab−log32=log35⋅log5故选：A3.已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10A．d=ac B．a=cd C．c=ab D．d=a+c【答案】B【分析】根据对数运算法则及换底公式，以及指对互化，对条件进行变化，即可求解.【详解】log5两式相除得log5又5d所以d=a故选：B.4.若实数a、b、c满足25a=403b=A．1a+2C．1a+1【答案】A【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出12a=log20195，1b=【详解】由已知，得52a=403b=2015c=2019，得2a=log52019而5×403=2015，则log2019所以12a+1故选A.5.(多选)(2024·贵州贵阳·一模)已知2x=3y=6，则实数A．x−1y−1=1B．x+y>4 C．1x【答案】ABD【分析】由条件求出x,y，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可.【详解】因为2x所以x=log26=1+所以x−1y−1x+y=2+log1x由1x+1故选：ABD.6.已知ex=2，则x=【答案】ln【分析】利用指数式与对数式的互化关系直接得解.【详解】由ex=2，得故答案为：ln7.已知3m=5n=k且1【答案】15【详解】3m=5∵1m+可得logk⁡15=2，8.求下列各式的值.(1)π−(2)log3【答案】(1)9(2)19【分析】(1)由指数函数，幂函数的运算性质化简即可(2)由对数函数，指数函数，幂函数的运算性质化简即可.【详解】(1)π=π==13(2)log=4+=4+=4+1−3+=199.已知a、b、c为实数，3(1)求证:2a(2)若不等式m2+2≤a+b【答案】(1)证明见解析(2)−【分析】(1)取对数表示a,b,c，利用换底公式及对数运算法则证明即可；(2)利用均值不等式求出a+bc【详解】(1)令3a=4则a=log3t，b=所以2a2c故2a(2)由(1)知，2a+1所以a+bc当且仅当ba=a由m2+2即m2≤3【B组提高题】1.(2024·重庆·三模)若正实数a，b满足lga2+lgb2【答案】100【分析】结合完全平方公式可得lga+lgb【详解】