四川省大学考联盟2024届高三三模联考数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省大学考联盟2024届高三三模联考数学试题（文）一、选择题1.已知复数是纯虚数，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，故，若是纯虚数，则，解得，故，显然，故B正确.故选：B.2.已知集合则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，令，解得，显然，故C正确.故选：C.3.已知抛物线C:，则C的准线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗若，则可化为标准形式，故，故C的准线方程为，故A正确.故选：A.4.已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，两边同时平方得，设夹角为，故，且是单位向量，故化简可得，，故，则夹角余弦值为，故D正确.故选：D5.如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得当时，，当时，，显然是单调递增函数，当时，解得(另一个根舍去)，当时，解得(另一个根舍去)，故，故B正确.故选：B6.在等差数列中，为其前项和，若，则（）A.10 B.13 C.16 D.81〖答案〗B〖解析〗由等差数列下标和性质得，故，而，故，且，设公差为，显然，故，故B正确.故选：B.7.已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗如图，在长方体中，设取为直线，取为平面，取为直线，满足但，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A8.已知函数，则曲线上一点处的切线方程为（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，即，所以，所以，，则，所以曲线上一点处的切线方程为，即.故选：C.9.定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为奇函数，所以，即，故的对称中心为，即，由于函数与的图象关于直线对称，且关于对称点为，故的对称中心为.故选：D10.在区间上随机取一个数，使直线与函数的图象有两个公共点的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线过定点，函数，即表示以原点为圆心，为半径的上半圆，由图可知，要使直线与函数的图象有两个公共点，则，即，所以所求概率为.故选：C.11.已知则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设则在上单调递增,则有即故，显然，而，则在上单调递减，即，故令，显然，故，而，令，可得，故在上单调递增，若，则，综上一定成立，故A正确.故选：A12.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接在和中，利用角平分线定理可得由等比定理可得从而.故椭圆的短轴长为，故B正确.故选：B二、填空题13.2024年2月，教育部办公厅印发通知，就实施银龄教师支持民办教育行动有关工作进行部署.明确组织遴选一批优秀退休教师，面向各级各类民办学校，特别是民办高校开展支教、支研.某省现有符合条件的退休教师人，随机编号为，现采用系统抽样方法抽取人参加对口支教活动，分组后在第一组随机抽得的编号为，则在第五组中应抽取的编号为______.〖答案〗106〖解析〗在系统抽样中，首次抽到号，且以后每隔个号抽到下一个人，故抽到号构成以为首项，以为公差的等差数列，且设该数列为，故，显然.故〖答案〗为：10614.已知函数对任意的，都有，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗，因为，所以，所以，则，又因为，所以的最小值为.故〖答案〗为：.15.已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为，则正四棱台的体积___〖答案〗〖解析〗设外接球的半径为，则，，设正方形和正方形的中心分别为，外接球的球心为，则在线段上，如图，在等腰梯形中，，则，所以，即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积.故〖答案〗为：.16.数列满足，若不等式恒成立，则正整数的最大值为______.〖答案〗35〖解析〗由得由得两边平方得则是以1为首项，1为公差的等差数列，即因为所以那可得则正整数的最大值为35.故〖答案〗为：35三、解答题（一）必考题17.为了提高某海洋公园的知名度，吸引更多游客游玩.公园管理团队决定进行自媒体直播，线上与线下同时进行门票销售，助力该海洋公园的发展.团队在前7个月的直播中，门票销售额如下表所示：时间代码x（单位：月）1234567.销售额y（单位：万元）0.841.372.764.435.497.668.94对数据进行处理后，得到如下统计量的值（符合线性回归关系）：4.5165.2140参考公式：（1）根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）若直播当月销售额超过12万元，能被相关部门评选为“优秀管理团队”，请预测该团队在直播后的第几个月能被评选为“优秀管理团队”.解：（1）由题意，，则（2）由题意可得因为，则第10个月能被评选为“优秀管理团队”.18.正方体的棱长为2，分别是的中点.（1）求证：面；（2）求点到平面的距离.（1）证明：连接，因为分别是的中点，由中位线定理得，又，所以，所以四点共面，由于是AD的中点，则且那么四边形为平行四边形，从而，又面面故面，（2）解：由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离.易得，利用余弦定理得则设点到平面的距离，利用等体积法，可得，即点到平面的距离为.19.三角形中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若边上的中线长为2，求的最小值.解：（1）由，得，即，所以，即，又，所以；（2）设的中点为，则，平方得，即，所以，当且仅当时取等号，由余弦定理得，因为，所以，即的最小值为，当且仅当时取等号.20.已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为（1）求双曲线C的方程；（2）过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点.（1）解：由题意可得，解得，从而，所以双曲线C的方程为；（2）证明：，直线，当直线的斜率不为零时，设方程为，联立，得，则，所以，设，则，直线的方程为，令，则，即，设直线交轴于点，由于三点共线，则，，那么，故，当直线的斜率等于0时，直线与轴重合，必过定点，综上所述，直线QN过x轴上一定点.21.已知函数.（1）记函数，求函数的极大值点;（2）记函数，讨论函数的零点个数.解：（1），，因为函数在上都是减函数，所以函数在上是减函数，又因为，则当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值点为；（2），，①当时，，所以函数在上单调递增，又，所以函数只有一个零点，②当时，令，则，所以函数在上单调递减，当时，，则当时，，即，所以函数在上单调递增，当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，所以函数只有一个零点，当时，显然存在唯一的实数上使得，当时，，即，所以函数在上单调递增，当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，又当时，，当时，，所以此时函数必有个零点，综上所述，当或时，函数有个零点；当且时，函数有个零点.（二）选考题[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C围成的图形的面积.解：（1）将两边同乘得,即,则曲线C的直角坐标方程（2）曲线C围成的图形如图可见，利用对称性知曲线C围成的图形的面积等于的图形的面积的4倍.而的图形是圆心在,半径为的圆在第一象限的部