山西省天一名校2024届高三下学期联考仿真模拟（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省天一名校2024届高三下学期联考仿真模拟（二模）数学试题一、选择题1.已知为虚数单位，，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，而，则，所以.故选：C2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗或，，所以.故选：D.3.已知向量与满足，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，解得，而，因此，又，则，所以向量与的夹角为.故选：A.4.已知焦点为的抛物线上有一点,准线交轴于点.若则直线的斜率（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由抛物线，故，，则，设，由，则，即，故故选：B.5.已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心，半径，设与直线平行且距离为2的直线方程为，则，解得，直线，，点到直线的距离，到直线的距离，由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，得圆与直线相交，且与直线相离，则，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，所以，所以，所以.故选：C.7.一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下面不正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能，对于A，表示第3次取出黑球，，A正确；对于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正确；对于C，，，所以，C正确；对于D，，所以，D错误.故选：D8.设，，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，设函数，则，设，则，所以在上单调递减，且，即，所以在上单调递减，则，即，所以.设，则，所以在上单调递增，且，即，得，所以，即，解得.综上，.故选：B二、选择题9.下列说法中正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据2，2，，5，7的平均数为4，则这组数据的方差是C.数据76，69，87，65，62，96，92，81，76，82的第70百分位数是82D.若样本数据的标准差为5，则数据，，，的标准差为20〖答案〗AB〖解析〗A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确；B选项，已知一组数据的平均数为4，则，解得，，则这组数据的方差是，故B正确；C选项，这10个数据从小到大排列为，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是84.5，故C错误；D选项，若样本数据的标准差为5，则的方差为25，设的平均数为，则，，又，故，则的标准差为，故D错误．故选：AB10.已知长方体的棱，，点满足：，，下列结论正确的是（）A.当时，点到平面距离的最大值为B.当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为C.当，时，到的距离为2D.当，时，四棱锥的体积为1〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，当时，，即，可得，所以点平面上，则点到平面距离的最大值为点或到平面的距离，连接交于点，因为为正方形，可得，又因为平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，因为正方形中，，所以，即点到平面距离的最大值为，所以A正确；对于B中，当时，，即，可得点在线段上，当点与点重合时，直线与平面所成角的正切值最大，在直角中，可得，所以B不正确；对于C中，当时，可得，即，可得点在线段上，在长方体，可得，所以点在线段的距离等于点在线段的距离，又由平面，且平面，所以，在直角中，可得，所以点到的距离为，所以C正确.对于D中，当时，可得，即，所以点在线段的中点，此时点到平面的距离为，所以，所以D正确.故选：ACD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（）A.为定值B.C.点到两条渐近线的距离之和的最小值为D.不存在直线使〖答案〗BD〖解析〗双曲线的渐近线为，对于A：因为，作直线，，且，分别交轴上方渐近线于，，交轴下方渐近线于，，有对称性可知：，此时，又因为定值，所以，即不是定值，故A错误；

对于B，由题意可知：直线不与y轴垂直，设直线的方程为，联立得，得，则，且,所以，联立，得，联立，得，所以，则，结合弦长公式可得，即，故B正确；对于C，设，则，渐近线为，所以P到两渐近线距离为：，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D，设，则，可得，由图可得，即恒成立，故不存在直线使，故D正确.

故选：BD.三、填空题12.的展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗对，有，则当时，有，当时，有，则有，故的展开式中的系数为.故〖答案〗为：.13.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为_______.〖答案〗〖解析〗令，又，，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故〖答案〗为：14.已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________.〖答案〗〖解析〗如图，取的中心为，连接，作于，连接，延长交于点，注意到底面三角形是等边三角形，所以，由正三棱锥的性质可得为高，因为底面边长为6，体积为，所以，所以，注意到底面三角形是等边三角形，所以为三角形外接圆的半径，所以由正弦定理有，所以，所以.因为面，面，所以，又因为，面，面，所以面，因为面，所以，因为，且，面，面，所以平面，因为平面，所以，又因为动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，所以点的轨迹为线段.在等腰三角形中，由余弦定理有，从而，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.已知函数在处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求的极值.解：（1）由已知可得，而直线的斜率为，所以；（2）由（1）得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故极大值为，极小值为.16.某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.（1）根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.（2）现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.（3）若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.参考数据：若，则，，.解：（1）有图可得，解得，；（2）的可能取值为、、、、、、，，，，，，，，则其分布列为：；（3），，则,又，故，，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为人.17.如图，四棱锥中,二面角的大小为,，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值.（1）证明：由，得，则，所以，即.由二面角的大小为，知平面平面，即平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：过作的垂线，交延长线于点H，连接AH，由平面平面，平面平面，平面，，所以平面，则为在底面内的射影，所以为直线与底面所成的角，即.由，知且为钝角三角形，设，得，，在中，，在中，，由余弦定理得，有，所以，过作，则底面，所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系，，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，则，所以，则，故所求二面角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，，，，分别是椭圆上不同的四点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与直线交于点，且，，求实数的最大值.解：（1）根据题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）因为，所以点在椭圆内，设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消得，设，则，所以，同理，所以，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，，综上所述，实数的最大值为.19.已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.（1）若，直接写出所有满足条件的集合；（2）若，且对任意，都有，求的最大值；（3）若且对任意，都有，求的最大值.解：（1）因为，则和的元素个数均为1，又因为，则，若，，则或；若，，则或；综上或或或.（2）集合共有32个不同的子集，将其两两配对成16组，使得，则不能同时被选中为子集，故.选择的16个含有元素1的子集:，符合题意.综上，.（3）结论:，令，集合符合题意.证明如下：①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，所以除外的子集至多有个，故.②若中没有一元集