广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.是“L<2”的（）

2a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（）

A.21B.24C.27D.30

3.ZVIBC的内角A,5c的对边分别为a,6,c,若A=60。力=10,则结合。的值，下列解三

角形有两解的为（）

A.Q=8B.〃=9C.Q=10D.Q=11

4.1i+g］（i+xy展开式中了3项的系数为（）

A.42B.35C.7D.1

5.已知函数/'（xhln必工⑴>0,〃>0）是奇函数，则L+2的最小值为（）

1—n—xmn

A.3B.5C.3+20D.3+4收

6.在复数范围内，下列命题是真命题的为（）

A.若zW0,则z-z是纯虚数

B.若z2=-|z「，则z是纯虚数

C.若z：+z；=0,则Z1=0且Z2=0

D.若Z］、Z2为虚数，则4Z2+Z/2eR

7.已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线&L与SB互相垂直,△SAB的面积为8,出L与

圆锥底面所成的角为30。,则（）

A.圆锥的高为1

B.圆锥的体积为24兀

C.圆锥侧面展开图的圆心角为也

3

D.二面角S-AB-O的大小为45。

8.如图，设耳、工分别是椭圆的左、右焦点，点P是以片鸟为直径的圆与椭圆在第一象

限内的一个交点，延长「工与椭圆交于点。，若归国=4|。耳卜则直线「工的斜率为（）

■>

X

二、多项选择题

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的

成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计

算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90,100）内

的同学成绩方差为10.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：机、1、s；；小i、

.记样本平均数为石，样本方差为?,?=田+（亍一同2］+卜;+（5_万广.

m+n'-Jm+ri'-」

，频率/组距

O\5060708090100成绩/分

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

10.已知函数/（X）=cos2x-cos（2x+t）—手，则（）

A.曲线y=/（%）的对称轴为x=左兀-3左eZ

B./(x)在区间弓1］上单调递增

C./(x)的最大值为g

D./(%)在区间［0,2兀］上的所有零点之和为8K

11.如图,是连接河岸与OC的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一

座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求：

①新桥与河岸垂直；

②保护区的边界为一个圆,该圆与相切,且圆心M在线段04上；

③古桥两端。和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.

4

经测量，点A,C分别位于点O正北方向60m、正东方向170m处,tanZBCO=—.根据图中

3

所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是()

A.新桥的长为150m

B.圆心〃可以在点A处

C.圆心舷到点0的距离至多为35m

D.当0暇长为20m时，圆形保护区的面积最大

三、填空题

12.在一组样本数据(和必),小，%)，…，(七，＞")(〃22，西，尤2，一-，居不全相等)的散点图中，

若所有样本点(x,,y)(i=l,2,…/)都在直线尸gx+1上，则这组样本数据的样本相关系

数为.

四、双空题

13.已知CAABC外接圆的半径为1,圆心为点。，且满足40C=-2OA-308,则

cosZ.AOB—,AB-OA—.

14.如图，在正方体ABCD-agGA中不是棱CG的中点，记平面与平面反。的

交线为I,，平面A〃E与平面ABB^的交线为4，若直线AB分别与lAJ2所成的角为,则

tantz=,tan(cr+力)=.

五、解答题

15.已知数列｛%｝和｛2｝,其中2=2%,〃eN*,数歹!]｛an+bn｝的前〃项和为Sn.

⑴若a“=2〃,求54；

(2)若｛4｝是各项为正的等比数歹U,S〃=3”,求数列｛4｝和仍“｝的通项公式.

16.已知函数/(x)=ax-L-(a+l)liu(aeR).

X

⑴当a=-1时,求曲线y=/(可在点(e,/(e))处的切线方程；

(2)若/(%)既存在极大值，又存在极小值,求实数a的取值范围.

17.如图,三棱台A3C-A用G中,侧面四边形ACG4为等腰梯形，底面三角形回。为正

三角形，且AC=24G=2.设。为棱AG上的点.

(1)若。为AC的中点，求证：AC±BD；

一

(2)若三棱台ABC-A^C,的体积为7,，且侧面ACQA，底_面ABC,试探究是否存在点D,

8

使直线与平面BCC4所成角的正弦值为巫？若存在，确定点。的位置；若不存在,

说明理由.

2

is.已知点M®,九）为双曲线V=i上的动点―

⑴判断直线号-%y=l与双曲线的公共点个数,并说明理由；

（2）①如果把⑴的结论推广到一般双曲线,你能得到什么相应的结论？请写出你的结论,

不必证明；

22

（ii）将双曲线C:二-当=1（。〉0涉〉0）的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为

ab

22

2-方=0,请利用该方程证明如下命题：若为双曲线C上一点，直线/：

绊—?=1与C的两条渐近线分别交于点P,Q,则T为线段PQ的中点.

ab

19.2023年H月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学

在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田

洋，，进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番

石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因

为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后

什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到〃颗番石榴（不妨设〃颗番石榴的大小各不

相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘

到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前人（1W左＜〃）颗番石榴，自第

k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴,否则就摘最后一颗.

设左=仅，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.

⑴若〃=4,左=2,求P；

（2）当〃趋向于无穷大时,从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.

,而111,n.

（取一+---++----=ln-）

kk+\n-1k

参考答案

1.答案：A

解析：因为2a>10工<2,而工<2推不出a〉工,例如a=—1满足l<2,但a〉工

2aa2a2

不成立，

所以“a〉!”是“-<2”的充分不必要条件，

2a

故选：A.

2.答案：C

解析：令插入的3个数依次为%,%，%，即3,%/5成等差数列，

因止匕2%=3+15,解得g=9,

所以插入的3个数之和为4+4+%=3a2=27.

故选：C.

3.答案：B

解析：由正弦定理可得，^=上,所以sinB=M4=——2-=速，

sinAsinBaaa

因为三角形有两解，所以sin5<l,且Z?>a,因此由选项知，只有a=9符合.

故选：B.

4.答案：A

解析：(1+力7的展开式通项为<+i=C>/(厂=0,1,2,,7),

因为++»=(l+x)7+尸(1+,,

在C；•，r=0,l,2,,7)中，令厂=3,可得/项的系数为c；=35；

在尸C。4=&""3(左=0j,2,,7)中，令0-3=3,得左=6,可得「项的系数为C；=7.

所以,11+3}1+耳7展开式中/项的系数为35+7=42.

故选：A.

5.答案：C

解析：令'>0,得(％+M)(％-1+〃)vO,故函数/(%)的定义域为

1-n-x

^x|(x+m)(x-l+n)<0}.

因为/(x)是奇函数,则其定义域关于原点对称，

可得一加+1—〃=0,即m+n=1,

止匕时/(x)=In在土'，可得/(%)+于(-尤)=In—+%+In'--=lnl=0,

m—xm—xm+x

可得fM是奇函数，即加+〃=1符合题意；

,,12(\2V__n2m__/r-

故—I—=—I—(m+n)=3---1--->3+2y/2,

mnymn)mn

当且仅当〃=经,即加=行-1,〃=2-行时等号成立，

mn

19r-

故上+士的最小值为3+2行，

mn

故选：C.

6.答案：D

解析：对于A选项，取z=l,则z=l,所以,z-z=0,此时,z-z不是纯虚数,A错；

对于B选项，取z=0,则z2=-|z|2成立，但z不是纯虚数,B错；

对于C选项，取4=i,Z2=1,则z；+z；=0,但且Z2wO,C错；

对于D选项，若Z]、Z2为虚数，设Z]=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),

则z1=a-bi,z2=c-di,

所

以，

ZjZ2+ZjZ2=(a+Z>i)(c—di)+(a—Z>i)(c+di)=(ac+Z>d)+(Z>c—")i+(ac+bd)+(M—Z?c)i

=2(ac+Z?d)GR,D对.

故选：D.

7.答案：D

解析：对于A选项，因为SO与底面垂直,为底面圆的一条半径，则SO±OA,

所以,&L与圆锥底面所成的角为NS4O=30。，

又因为所以,△$短的面积为工&4。3=工*&42=8,解得&4=4,

22

所以,该圆锥的高为5。=&4后1130。=4/=2小错；

2

对于B选项，该圆锥的底面半径为。…A->4=2收

故该圆锥的体积为V=；71XOA2XSO=9X(2G『X2=8TI,B错;

对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为0,

底面圆周长为2兀乂40=4后,则。=犯况=勺包=氐,€：错；

SA4

对于D选项，取的中点E,连接OE、SE,

因为&L=S5,E为A3的中点，则SELAB,由垂径定理可得

所以,二面角S-AB-O的平面角为NSEO,

因为SO，平面Q4E,OEu平面49E,则SO±OE,

因为&L，SB,=SB,则△SAB为等腰直角三角形,

则AB=ds^+S炉=742+42=4夜,所以,SE=工A3=2后,

2

所以,《必£。=也=冬=也,

SE2722

因为0。WZSEO<90。,故ZSEO=45。,所以,二面角S-AB-O的大小为45°,D对.

故选：D.

8.答案：C

解析：连接尸耳、。耳，由P在以大名为直径的圆上，故P耳，PB，

P、Q在椭圆上，故有归耳|+|尸闾=》,回耳|+以图=2。,

设|QK|=m，则|「耳|=4|QR|=4m,

则有|P@—2a—4m+m—2a—3m,\Fl^=2a-m,

即可得（4加『+（2«-3m）2=（24-机）2,解得。=3m，

\pp

故归闾=2a—4机=2根，则tan/Pg片==2,

故kpF?=tan（兀一NP&耳）=-tanNPg耳=一2.

故选：C.

9.答案：BCD

解析：对于A选项,在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

则（2a+3a+7a+6a+2a）x10=200a=1,解得a=0.005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为（2a+3a）xl0=50a=0.25<0.5,

前三个矩形的面积之和为（2a+3a+7a）xl0=120a=Q6>0.5,

设计该年级学生成绩的中位数为打则mc（70,80）,

根据中位数的定义可得0.25+（m-70）x0.035=0.5，解得m«77.14,

所以,估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

6ax85+2ax95=87.5分,C对；

6a+2a6a+2a

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

3r9~|1-

-12+(87.5-85)+-：10+(87.5—95)2=3025,D对.

4LL」4-

故选：BCD.

10.答案：BC

V3_1.G)_A/3

解析：由题意可得:7(x)=cos2x-cos2x+—------=coscos2x——sin2x

I6

427

6201.°661.1(,71

=——cos2x——sin02xcos2x------=——cos4Ax——sin2Qx=—cos4Ax+—

224442(6

对于选项A：令4x+“=E,左EZ,解得%=蛆一■—eZ,

6424

所以曲线y=/(x)的对称轴为x若故A错误；

对于选项B：因为以若；则4%+台已，引，

且y=cosx在［V，段)内单调递增，所以“可在区间仁］上单调递增，故B正确;

对于选项C：当4x+W=2bi,左eZ,即xq-会上eZ时,/(%)取到最大值为:，故C

正确;

对于选项D：令4犬+巴=左兀+巴，上eZ,解得x若+自左cZ,可知/(%)的零点为

62

_knn

X----1--，左£Z,

412

则/(%)在区间［0,2可上的零点为•，…，野，共8个，结合A可知，这些零点均关于直

线》=也

24

所以“可在区间［0,2可上的所有零点之和为4x2x||兀彗兀，故D错误;

故选：BC.

11.答案：AC

解析：如图，以OC,为轴建立直角坐标系，则C(170,0),A(0,60),

44

依题意，直线BC的斜率kBC=-g,直线方程为：y=-|(x-170),

133

直线AB的斜率左.=——=二,贝1)直线48方程为丫=士工+60,

kBC44

4

y=-j(x-170)

x=80122

由V，解得,即5(80,120),\BC\=7(80-170)+120=150,A正

"=120

y=-x+60

-4

确;

设OM=/,即M(0/)(0</W60)，直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,

,_.,,._\it-680|=皿r-t^.80,/日3

圆〃的半z径为r=J---------L,显然，由0</<60,得r=136-乙,

5[r-(60-0>805

3

136—-t-t>80

则5解得10W/<35,即长的范围是10wQM<35,B错误,C正

3

136--r-(60-0>80

确；

当"10,即长为10m时，圆般的半径厂最大，圆形保护区的面积最大,D错误.

故选：AC.

12.答案：1

解析：由已知，这组样本数据的样本完全正相关，故其相关系数为1.

13

13.答案：一/0.25；——/-0.75

44

..___22____2

解析：由4OC=—2Q4—303两边平方得：16OC=4OAr+9OB+12OAOB,

依题意,16=4+9+12cosZAQB,所以COSZAO3=L

一一一一一一一-23

ABOA=(OB-OA)OA=OBOA-OA=cosNAQB—1=——.

故答案为：—；.

44

141

14.答案：-/0.5；-/I-

233

解析：在正方体A3CD-AgG。中,E是棱CG的中点，

延长DXE与DC延长线交于点£连接AF，则直线AF即为直线l「a=ZBAF,

由CE//DD〉得CF=DC,又ABHCD，于是tan«=tanZAFD=1,

由平面CDD1G〃平面平面•平面A3与A=4,平面平面

CDD'C、=D]E,

则DxEHl2，又CQi//A5,因此B=NCQE,tan/=g,

1__1I__

所以tan(a+0=tana+tan/=』^=±

1-tanatan/?3

~22

故答案为：—；—.

23

15.答案：⑴S“=/+〃+々4"-1)

3

(2)%=1也=2

解析：(1)当九C2时,an-唠=2〃-2(〃-1)=2，从而｛an｝是等差数列,an=2n,

A9册

^=£=2。，厂%=4,所以｛2｝是等比数列，

又4=2叫=2?=4,则2=4X4〃T=4",

皿、1°〃(2+2”)4x(1—4")24"，八

所以S”==--------+-------=n+n+-(4;,-l).

21-43

⑵他,｝是各项为正的等比数列，设其首项为乙，公比为q,

鼠

由bn=2册，可得an=log2bn，则an+l-a“=log2-log?bn=log2q,（定值）

则数列｛«„｝为等差数列，设其首项为%，公差为d,

由数列｛a„+bn｝的前n项和=3〃,

a1+Z?1=3

-2

1+〃+厢［3,整理得］d+bq_丽=0

可得方程组x

ax+2d+bxq=3d+bd—b】q2—0

3

%+3d+bxq=3

解得：—I)'=0,•/4H0,4片0,.\q=l且d=0,

由％+2的=3，可得%=1，则b、=2,

则数列｛aJ的通项公式为an=l；数列｛或｝的通项公式为bn=2.

19

16.答案：(l)y=(。—1)元—士

ee

(2)(0,1)1(1,+a))

解析：⑴当a=-1时，函数/(x)=-x-士求导得/'(x)=±-1,则/'(e)=2-1,而

xxe

/(e)=-e--,

e

所以曲线y=/(x)在点(e"(e))处的切线方程为y-(-e-，)=(5-1)(%-e),即

12

y=(—~l)x——.

ee

(2)函数/(x)=取-工-(a+1)Inx的定义域为(0,+oo),

X

求导得广⑴=a+4-3=以2—"l)x+l=(以吁―1),

XXXX

当时，依一1<0,由―(%)>0,得由f\x)<0,得x>1,

则函数/⑺在(0,1)上递增，在(1,80)上递减，函数/(%)只有极大值/⑴，不合题意;

当。>0时，由尸(x)=0,得％=1或%=工，

a

①若0<工<1,即a>l,由/'(x)>0,得0<x(工或x>l,由/'(x)<0,得L<X<1,

aaa

则函数/(%)在(0,-),(1,y)上递增，在(-,1)上递减

aa

因此函数/（X）的极大值为了山,极小值为了⑴，符合题意;

a

②若,〉1,即0<a<l,由/'(x)>0,得0<x<l或x〉L,由/'(x)<0,得l<x<L,

aaa

则函数f(x)在(0,1),(-,+00)上递增，在(1,-)上递减

aa

因此函数/(X)的极大值为了⑴，极小值为符合题意;

a

③若工=1,即a=1,由f\x)20在(0,+8)上恒成立，得/(%)在(0,+oo)上递增,

a

函数/(X)无极值，不合题意,

所以。的取值范围为(0,1)..(1,+«)).

17.答案：(1)证明见解析

(2)存在,。与人重合，理由见解析

解析：⑴取AC中点M连结。暇、BM,fll]AC1DM,AC±BM,

由。M3加=加，。1公创/<=平面皮羽,得4。，平面皮羽,又皮)匚平面5£加?\

(2)取AG中点N,连结肱V,由⑴得NWB为二面角平面A-AC-3的平面角,

由平面ACG4，平面ABC得：/附e=90。,即％70，5/0,

以M为原点，直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

+8+#)/=:,得人当

则A（1,O,O）,B（0,百,0）,c（—L0,0）,G,0,争。=（1，Ao）,CG=（；,0,争

设平面B5CC的法向量为〃=（x,y,z）,

CB-n=x+6y=0

则i、万，取x=6,得〃=（6,-

CC.-n=-x+—z=O

1122

设£>=«,0，¥）（-gW/wg），则BD=（「"¥）,

于是lcosCBD/小皿包」"：2।=巫解得或D（舍去）

“向6旧26

所以存在点。满足条件，此时。与4重合.

18.答案：（1）1个，理由见解析

22

⑵⑴过双曲线会十=1（。〉0/>0）上一点（%,%）的切线方程为学-苦=1

（ii）证明见解析

222

解析：⑴由点加（%为）在双曲线秋-V=i上，得洋-云=1，即

2

贝！Jx-2XQX+%：=0,显然A=4%Q-4XQ=0,

所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.

⑵①由⑴知,直线券-%y=l与双曲线］-y2=l相切于点（xo，yo）,

22

所以过双曲线与-%=1（。〉0/〉0）上一点（九0，为）的切线方程为誓-誓=1.证明如

下：

22

显然与-甘=1,即方君—冷：=a2b2,

ab

-%%——

—1

2i2

b

由彳消去y得:2

~^------xox+b~+yl-0,

工上aa

L2b2~=1

于是A=璋-"（"+城=研/君-嗔〜2/）=°,

aaa

22

因此直线学-等=1与双曲线》-