第1章 有理数（单元提升卷）（解析版）

第1章有理数（单元提升卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（2023•天长市校级二模）的倒数是（）A． B．﹣4 C． D．4【分析】根据互为倒数的两数之积为1，可得出答案．【解答】解：的倒数为﹣4．故选：B．【点评】此题考查了倒数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握互为倒数的两数之积为1．2．（2022秋•包河区期末）2022年10月12日，“天空课堂”第三课顺利开讲，感受航天科技魅力，激发青少年探索宇宙的奥秘，其中水球变“懒”实验，当天在新华网上点击率约达到13000次，数据13000用科学记数法表示为（）A．13×103 B．1.3×104 C．1.3×103 D．0.13×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：13000＝1.3×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3．（2022秋•亳州期末）整数2023的绝对值是（）A．﹣2023 B．2023 C． D．﹣【分析】利用绝对值的意义求解．【解答】解：因为负正数的绝对值是它本身，所以2023的绝对值等于2023．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的含义，掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是关键．4．（2022秋•定远县校级月考）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（）A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的定义进行解答即可．【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，∴该圆的周长为π，∴当圆沿数轴向左滚动1周时，点B表示的数是﹣π﹣1；将圆沿数轴向右滚动1周时，点B表示的数是π﹣1．故选：D．【点评】本题考查实数与数轴的特点，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系是解答本题的关键．5．（2020秋•金安区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：若n＝49，则第2020次“F运算”的结果是（）A．152 B．19 C．62 D．31【分析】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2020÷6＝336…4，则第2020次“F运算”的结果是31．故选：D．【点评】本题考查了有理数的混合运算，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．6．（2022秋•肥西县校级期中）定义a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（）①2⊕（﹣1）＝﹣5；②（﹣3）*（﹣2）＝﹣7；③若a*b＝b*a，则a＝b；④（2*3）⊕（2⊕3）＝﹣80．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，可以分别计算出各个小题中的式子是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，2⊕（﹣1）＝（﹣1）﹣22＝﹣5，故①正确，符合题意；（﹣3）*（﹣2）＝3×（﹣3）+（﹣2）＝﹣11，故②错误，不符合题意；若a*b＝b*a，则3a+b＝3b+a，可得a＝b，故③正确，符合题意；（2*3）⊕（2⊕3）＝（3×2+3）⊕（3﹣22）＝（6+3）⊕（3﹣4）＝9⊕（﹣1）＝（﹣1）﹣92＝（﹣1）﹣81＝﹣82，故④错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．7．（2022秋•南陵县期中）已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，则xy的值为（）A．6或﹣6 B．﹣5或﹣1 C．5或1 D．﹣6或﹣5【分析】根据|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，可以确定x、y的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，∴x＝3或x＝﹣3，y＝2或y＝﹣2，∵x+y＞0，∴x＝3，y＝2或y＝﹣2，当x＝3，y＝2时，xy＝6；当x＝3，y＝﹣2时，xy＝﹣6；综上，xy的值为6或﹣6，故选：A．【点评】本题考查有理数的加法、绝对值、有理数的乘法，解题的关键是能根据题目中的信息确定x、y的值．8．（2021秋•怀宁县期中）有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（）A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．a﹣b＞0 D．a+b＞0【分析】根据数轴上绝对值所表示的含义作答．【解答】解：由图象可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：B．【点评】本题考查数轴上绝对值的意义及有理数比较大小，解题关键是熟练掌握有理数及绝对值的意义．9．（2022秋•花山区校级期中）a，b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列5个式子：①a﹣b＜0，②a+b＜0，③ab＜0，④（a+1）（b+1）＜0，⑤（a﹣1）（b+1）＜0中一定成立的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】利用有理数的乘法，有理数的加减，数轴的知识计算并判断．【解答】解：由图可知，a＜﹣1，b＞﹣1，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，a+b＜0，①②一定成立；a、b有可能同号有可能异号，③不一定成立；a+1＜0，b+1＞0，a﹣1＜0，∴④⑤一定成立．∴①②④⑤一定成立．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加减，数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则，有理数的加减运算法则，数轴的相关知识．10．（2022秋•湘潭期中）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（）A．m2﹣2n的值一定小于0 B．|3m+n|的值一定小于2 C．的值可能比2000大 D．的值不可能比2000大【分析】根据m、n的取值范围，这个选项进行判断即可．【解答】解：由题意得，0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴m2＞0，﹣2n＞0，∴m2﹣2n＞0，因此选项A不符合题意；∵0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴﹣2＜m+n＜0，0＜2m＜2，∴﹣2＜3m+n＜2，因此选项B符合题意；m﹣n＝m+（﹣n）＞1，∴＜1，因此选项C不符合题意；的值无穷大，而﹣1＜＜﹣，因此+可能大于2000，因此选项D不符合题意，故选：B．【点评】考查数轴表示数的意义，非负数的意义等知识，确定代数式的取值范围是正确判断的前提．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（2022秋•池州期末）已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|＝2，且|c﹣5|+|d﹣3|＝0，式子a﹣b﹣c+d的值为5或1．【分析】根据有理数的概念求出a，根据绝对值的性质求出b的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到c、d，将a、b、c、d的值代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵a是最大的负整数的相反数，∴a＝1，∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝﹣2，∴b＝﹣2或b＝﹣6，∵|c﹣5|+|d﹣3|＝0，∴c﹣5＝0，d﹣3＝0，解得c＝5，d＝3，∴a＝1，b＝﹣2或﹣6，c＝5，d＝3，∴a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣2）﹣5+3＝1+2﹣5+3＝1，或a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣6）﹣5+3＝1+6﹣5+3＝5，∴a﹣b﹣c+d的值为5或1．故答案为：5或1．【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了绝对值的性质和有理数的概念．12．（2021秋•庐阳区校级期中）近似数6.05×104精确到百位．【分析】近似数6.05×104，精确到0.01×104位，即百位．【解答】解：近似数6.05×104，精确到百位．故选：百．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．13．（2022秋•宣城期末）比较大小：﹣8＜﹣7（填“＜““＞“）【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．【解答】解：∵|﹣8|＝8，|﹣7|＝7，∴﹣8＜﹣7，故答案为：＜．【点评】本题考查了有理数的大小比较和绝对值的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．14．（2022秋•包河区期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是a≤7．【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，x＝﹣1时，y＝7，x＝1时，y＝7，x＝2时，y＝9，可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，当x＜﹣3时，y＞11，当1≤x＜2时，7≤y＜9，当x≥2时，y≥9，综合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．从而a的取值范围为a≤7．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（2022秋•庐阳区校级期末）计算：（1）﹣7.3+8.2﹣5.1+1.2；（2）23﹣（﹣3）2×÷6．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减，即可解答本题．【解答】解：（1）﹣7.3+8.2﹣5.1+1.2＝﹣（7.3+5.1）+（8.2+1.2）＝﹣12.4+9.4＝﹣3；（2）＝＝8﹣1＝7．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．16．（2022秋•亳州期末）计算：（1）|﹣4|﹣（﹣3）×（﹣11﹣2）；（2）．【分析】（1）先做括号和绝对值内的运算，再计算乘法，最后计算减法；（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用．【解答】解：（1）|﹣4|﹣（﹣3）×（﹣11﹣2）＝4+3×（﹣13）＝4﹣39＝﹣35；（2）＝﹣8×÷﹣12×+12×＝﹣5×9﹣3+8＝﹣45﹣3+8＝﹣40．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（2022秋•肥西县校级期中）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2各单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示是﹣3，已知A、B是数轴上的点，请参照如图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示的数是﹣2，将点A向右移动5个单位长度到点B，那么点B表示的数是3．A、B两点间的距离是5．（2）如果点A表示的数是4，将点A向左移动8个单位长度，再向右移动3个单位长度到点B，那么点B表示的数是﹣1，A、B两点间的距离是5．（3）如果点A表示的数是m，将点A向左移动n个单位长度，再向右移动p个单位长度到点B，那么点B表示的数是m﹣n+p．【分析】（1）先根据向右移为加，向左移为减，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可；（2）先根据向右移为加，向左移为减，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可；（3）先根据向右移为加，向左移为减，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可．【解答】解：（1）∵﹣2+5＝3，∴B表示的数为3，A、B两点间的距离为3﹣（﹣2）＝5，故答案为：3，5；（2）∵4﹣8+3＝﹣1，∴B表示的数为﹣1，A、B两点间的距离为4﹣（﹣1）＝5，故答案为：﹣1，5；（3）根由题得：点B表示的数为m﹣n+p；故答案为：m﹣n+p．【点评】本题主要考查数轴、两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．18．（2022秋•涡阳县校级月考）观察下面算式的演算过程：1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝．…（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：＝；＝；1＝．（n为正整数）（2）根据规律计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）．【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果；（2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）1+＝＝＝，1+＝＝＝，1+＝＝，故答案为：，，；（2）（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）＝××××…××＝＝＝．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（2022秋•合肥月考）[概念学习]现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）写作（﹣5）④，读作“（﹣5）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．[初步探究]（1）直接写出计算结果：3②＝1；（﹣）③＝﹣3．[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣4）⑤＝（﹣）3；（）⑥＝74．（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33．【分析】（1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值；（2）根据题意，可以计算出所求式子的值；（3）根据题意，可以求出所求式子的值．【解答】解：（1）由题意可得，3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，故答案为：1，﹣3；（2）（﹣4）⑤＝（﹣）3；（）⑥＝74．故答案为：（﹣）3；74；（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27＝144÷9×﹣81÷27＝16×﹣3＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．20．（2022秋•合肥月考）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）﹣7﹣12﹣130﹣17+40+9（1）请求出这7天平均每天行驶的路程．（2）若该汽车平均每百公里耗油9升，汽油8.8元/升，计算小亮家这7天的汽油费用．【分析】（1）利用正负数的意义计算表格中各数据的代数和，再加上50×7，即可得出结论；（2）依据题意列出算式解答即可．【解答】解：（1）50×7+（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝350﹣[﹣（7+12+13+17）+（40+9）]＝350﹣（﹣49+49）＝350（km），350÷7＝50（km），答：这7天平均每天行驶的路程50km．（2）350÷100×9×8.8＝3.5×9×8.8＝277.2（元），答：小亮家这7天的汽油费用为277.2元．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，依据题意列出算式解答是解题的关键．六、（本题满分12分）21．（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可；（2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程求得答案即可；②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）P点表示的数是＝8；（2）①如图，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，则2t+4＝20﹣6t，解得t＝2，M表示2×4＝8．A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．②如图①，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），∴t＝，∴点M表示×4＝；如图②，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝2t+4t﹣20＝6t﹣20，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（6t﹣20），∴t＝，∴点M表示×4＝．【点评】此题考查数轴，一元一次方程的实际运用，利用图形，得出数量关系是解决问题的关键．七、（本题满分12分）22．（2022秋•鲤城区校级期中）阅读以下内容，并解决所提出的问题．我们知道，23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以：23×25＝（2×2×2）×（2×2×2×2×2）＝28．（1）根据上述信息，试计算填空：53×56＝5（），a2•a5＝a（），am•an＝a（），（2）已知2m＝3，2n＝5，试根据（1）问的结论计算：2m+n+1的值．【分析】（1）利用题中的方法求出所求即可；（2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解