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第四章随机变量的数字特征

§4.3协方差、相关系数本节要点：两个随机变量的协方差和相关系数矩一、两个随机变量的协方差和相关系数P1031、定义（一）协方差随机变量(X,Y)的数学期望和方差，从不同方面刻划了各自的特征。对于二维随机变量，在反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是协方差和相关系数设(X,Y)是二维R.V,若Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}X与Y

的协方差.即则称它为特殊地2、协方差的性质

COV(X,X)=DX若X1,X2,…,Xn两两独立，上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4）随机变量和的方差与协方差的关系D(aX+bY)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)计算协方差的一个简单公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)若X与Y独立，则Cov

(X,Y)=0若Cov(X,Y)≠0

，则X与Y不独立，即它们之间存在一定的关系。

例1、设(X,Y)的p.d.f为：x-110y解：=02002数三（3）设随机变量X和Y的联合概率分布为Y-10

1

00.070.180.1510.080.320.20X则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=-0.02解：cov(X2，Y2)=EX2Y2–EX2EY2EX2Y2=1×0.08+1×0.2=0.28EX2=1×0.6=0.6EY2=1×0.15+1×0.35=0.5cov(X2，Y2)=0.28-0.3=-0.02为随机变量X,Y的相关系数（二）相关系数1、定义注：是一个无量纲的量；称X,Y不相关,此时COV(X,Y)=0。若X,Y不相关，则：EXY=EXEY

2、相关系数的性质存在常数a,b使P{Y=a+bX}=13）若X，Y独立，则X,Y不相关。例7设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,求

(X,Y)解：E(X)=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0，因而

=0二、二维正态分布的协方差和相关系数定理3.5三、原点矩和中心矩定义：设X是随机变量，k为正整数，若E(X

k)存在，则称它为X的k阶原点矩，记为akak

=E(X

k)k=1,2,…特殊地a1=E(X)

定义：若E[X

-E(X)]k存在，则称它为X的k阶中心矩，记为bkbk

=E[X

-E(X)]kk=1,2,…特殊地b1=E[X

-E(X)]

定义：若E[X

-E(X)]k

[Y

-E(Y)]l

k,l=1,2,…存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.定义：对二维随机变量(X,

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