高考数学第一轮复习复习第8节　函数与方程（讲义）

第8节函数与方程[课程标准要求]1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.1.函数的零点(1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.1.(必修第一册P155T2改编)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(B)x123456y126.115.15-3.9216.78-45.6-232.64A.2 B.3 C.4 D.5解析:由表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.2.(2022·湖北武汉期末)函数f(x)=3x+x-2的零点所在的一个区间是(A)A.(0,1) B.(1,2)C.(-2,-1) D.(-1,0)解析:f(0)=-1,f(1)=2,故f(0)f(1)<0,由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).3.已知函数f(x)=2xA.2 B.-2,0 C.12 解析:当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=124.(2022·北京大兴区三模)已知a>0,若函数f(x)=x+A.(0,1e2)C.(1e2,+∞)解析:x+a=0,x=-a<a,则x=-a是函数f(x)的一个零点,由lnx+2=0,解得x=1e要使得f(x)有两个不同的零点,则a∈(0,1e5.函数f(x)=x·2x-kx-2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围是.

解析:令f(x)=0,所以x·2x-kx-2=0,即k=2x-2x即y=k与(x)=2x-2x,x∈(1,2)的图象有交点,又(x)=2x-2x在(1,2)上单调递增,且(1)=0,(2)=3,所以0<k<3.答案:(0,3)函数零点存在定理的应用1.(2022·天津一模)函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是(C)A.(3,4) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:易知f(x)=ex+2x-6是R上的增函数,且f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2).2.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则实数m的取值范围为(D)A.(-4,0)B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-∞,-4]∪(0,+∞)D.[-4,0)解析:因为f(x)=log2(x+1)+3x+m在区间(0,1]上单调递增,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,所以f(0)3.(2023·湖南长沙调研)设函数f(x)=13A.在区间(1eB.在区间(1eC.在区间(1eD.在区间(1e解析:令f(x)=0得13作出函数y=13显然y=f(x)在(1e4.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.

解析:因为2<a<3<b<4,所以0<loga2<1,loga4>loga3>1,f(2)=loga2+2-b<3-b<0,f(3)=loga3+3-b>4-b>0,f(4)=loga4+4-b>0,所以f(2)·f(3)<0,x0∈(2,3),所以函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2.答案:2确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.函数零点个数的确定[例1](1)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)=(12)A.0 B.1 C.2 D.3(2)函数f(x)=4x-4x2的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3(3)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析:(1)令g(x)=f(x)-12即有f(x)=12当x≤0时,(12)x=1当x>0时,|log2x|=12,解得x=2或x=2所以g(x)的零点有2个.故选C.(2)函数f(x)=4x-4x2的零点个数,即函数y=4x与函数y=4x2的图象的交点个数,根据指数函数与二次函数的性质可知,当x<0时,y=4x单调递增,值域为(0,1),y=4x2单调递减,值域为(0,+∞),两个函数有1个交点;当x>0时,f(1)=41-4×12=0,f(2)=42-4×22=0,函数f(x)有2个零点.综上所述,函数f(x)=4x-4x2的零点个数为3.故选D.(3)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数⇔方程|log0.5x|=12x=(12)x的根的个数⇔函数y=|log0.5x|与y=(1求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点;(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.[针对训练]1.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:法一因为f(0)·f(1)=(-1)×1=-1<0,函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.故选B.法二设y1=2x,y2=2-x3,在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.故选B.2.函数f(x)=x2A.3 B.2 C.1 D.0解析:法一(直接法)由f(x)=0得x≤0,解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.故选B.法二(图象法)函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.故选B.函数零点的应用根据零点的个数(或范围)求参数[例2](1)已知函数f(x)=ex,xA.(1e,ln2) C.(ln2,1) D.(1e(2)已知函数f(x)=exA.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,1]解析:(1)因为函数F(x)=f(x)-a的两个零点分别在区间(-1,0)和(12,1)内,所以F(-1)·F(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上,0<a≤1.故选A.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)形如g(x)=f(x)-m的含参数函数零点问题可转化为f(x)=m求解.(2)根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思想求解.求函数零点之和[例3]已知函数f(x)=lgg(x)=x3,则方程f(x)=g(x-1)的所有根的和等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析:作出函数f(x)=lgg(x-1)=(x-1)3的图象如图所示.函数y=f(x),y=g(x-1)的图象都关于点(1,0)对称,并且两个函数图象有三个交点,所以方程f(x)=g(x-1)的所有根的和为3.故选C.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数本身关于点的对称、直线的对称等)求和.二次函数的零点分布问题[例4]已知方程x2-mx-m+3=0.(1)若方程不相等的两根都在[-4,0]内,求实数m的取值范围;(2)若方程不相等的两根都小于5,求实数m的取值范围;(3)若一根大于1,一根小于1,求实数m的取值范围.解:令f(x)=x2-mx-m+3,则函数的图象是开口向上的抛物线.(1)若x2-mx-m+3=0的不相等的两根都在[-4,0]内,则Δ解得m>2或(2)x2-mx-m+3=0的两根都小于5,则Δ解得m<-6或2<m<143(3)若x2-mx-m+3=0的一根大于1,一根小于1,则f(1)=1-2m+3<0,解得m>2.若二次方程的根在一个区间上,则要考虑方程判别式Δ≥0,方程对应的二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号和开口方向;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号和开口方向.[针对训练]1.已知函数f(x)=|lnA.(0,1) B.(0,1]C.[0,1] D.[1,+∞)解析:令g(x)=f(x)-a=0,得f(x)=a,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=a的图象,如图所示.由图象知,若g(x)=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围是(0,1).故选A.2.(2023·黑龙江大庆模拟)已知定义域为R的偶函数满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=e1-x-1,则方程f(x)=1|A.8 B.7 C.6 D.5解析:因为f(2-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,令h(x)=1|作出函数f(x)与h(x)在区间[-3,5]上的图象,如图所示,由图可知,h(x)与f(x)的图象在区间[-3,5]上共有8个交点,且两函数关于直线x=1对称,所以方程f(x)=1|x-3.函数f(x)=x2-mx+9的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是()A.m∈(2,6) B.m∈(6,8)C.m∈(6,10) D.m∈(6,+∞)解析:因为函数f(x)=x2-mx+9的两个不同的零点均大于1,所以f(因为(6,8)(6,10).故选B.[知识链接]函数的零点是命题的热点,常与函数的性质等相关问题交汇.对于判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时,可采用换元法,先令g(x)=t,求解当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时,x的值的个数即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合,侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析.一、嵌套函数零点的个数问题[典例1](2022·湖南长沙质检)已知函数f(x)=ex,x<0A.4 B.5 C.6 D.3解析:当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导数为f′(x)=12x2-12x,当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,可得f(x)在x=1处取得最小值,最小值为-1,且f(0)=1,作出函数f(x)的图象,如图所示,g(x)=3(f(x))2-10f(x)+3,可令g(x)=0,t=f(x),可得3t2-10t+3=0,解得t=3或13当t=13,即f(x)=1当t=3时,可得f(x)=3有1个实根,即g(x)有1个零点.综上,g(x)共有4个零点.故选A.二、由嵌套函数零点的个数求参数的范围[典例2](2023·河南安阳模拟)已知函数f(x)=|2|x|-2|-1,且关于x的方程f2(x)+mf(x)+n=0有7个不同的实数解,则实数m,n满足()A.m>0,且n>0 B.m<0,且n>0C.0<m<1,且n=0 D.-1<m<0,且n=0解析:令u=f(x),作出函数u=f(x)的图象如图所示,由于方程u2+mu+n=0至多两个实根,设为u=u1和u=u2,由图象可知,直线u=u1与函数u=f(x)图象的交点个数可能为0,2,3,4,由于关于x的方程f2(x)+mf(x)+n=0有7个不同实数解,则关于u的二次方程u2+mu+n=0的一根为u1=0,则n=0,则方程u2+mu=0的另一根为u2=-m,直线u=u2与函数u=f(x)图象的交点个数必为4,则-1<-m<0,解得0<m<1,所以0<m<1,且n=0.故选C.(1)解含参数的嵌套函数方程问题,应注意让参数的取值“动起来”,解题时要抓临界位置,动静结合.抓住两点:①转化换元;②充分利用函数的图象.(2)作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等,尤其当作图比例较大时,由于画的是局部图象,若关注度不够或疏忽,就会导致错误.[拓展演练]1.已知函数f(x)=x+1A.3 B.2 C.0 D.4解析:y=f(f(x))-1=0,即f(f(x))=1.当f(x)≤0时,f(x)+1=1,即f(x)=0时,此时log2x=0,计算得出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1.当f(x)>0时,log2f(x)=1,即f(x)=2时,若x+1=2,计算得出x=1(舍去),若log2x=2,计算得出x=4.综上所述,函数y=f(f(x))-1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.2.已知函数f(x)=-x,x≤0,A.(-2,-12) C.(-98,-12) D.(-98解析:函数f(x)的图象如图所示,令t=f(x),则要使方程f2(x)+bf(x)+18=0有六个相异实根,只需要t2+bt+18解得-98<b<-2[例1]已知x1是函数f(x)=2x+x-2的零点,x2是函数g(x)=log2(