专题05 因式分解（教师版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题05因式分解考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.43一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023春•鼓楼区校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，则△ABC为等腰三角形．故选：A．2．（2分）（2022春•赣榆区期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2+1＝x（x+） D．a2b+ab2＝ab（a+b）解：A、（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，是整式的乘法运算，故此选项不符合题意；B、x2+2x+1＝x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；C、分母含有字母，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；D、a2b+ab2＝ab（a+b），是因式分解，故此选项符合题意．故选：D．3．（2分）（2021春•沭阳县期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2 C．ma+mb﹣1＝m（a+b）﹣1 D．8x3y2＝2x3•4y2解：A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；B、（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意；C、ma+mb﹣1＝m（a+b）﹣1，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D、8x3y2＝2x3•4y2，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；故选：A．4．（2分）（2023秋•平山县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2+1＝x（x+）解：A、（x+3）（x﹣3）+6x不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B、x2+3x﹣10不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C、等式右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故本选项正确；D、等式右边是分式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误．故选：C．5．（2分）（2023春•东台市月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（x+3）2＝x2+6x+9 B．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） C．3xy2＝3x•y•y D．x2+2x+2＝x（x+2）+2解：A．（x+3）2＝x2+6x+9，从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故选项不符合题意；B．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．3xy2＝3x⋅y⋅y，等式左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．x2+2x+2＝x（x+2）+2，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：B．6．（2分）（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．7．（2分）（2022春•高新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023＝x﹣x2﹣2x+2023＝﹣x2﹣x+2023＝﹣（x2+x）+2023＝﹣1+2023＝2022．故选：C．8．（2分）（2022春•江阴市期中）若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019解：设k是正整数，∴（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1以外，所有的奇数都是完美数，∴B，D选项都是完美数，不符合题意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4以外，所有能被4整除的偶数都是完美数，∴C选项是完美数，不符合题意，∵2022既不是奇数也不能被4整除，∴2022不是完美数，符合题意．故选：A．9．（2分）（2020春•高邮市期末）利用因式分解简便计算69×99+32×99﹣99正确的是（）A．99×（69+32）＝99×101＝9999 B．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900 C．99×（69+32+1）＝99×102＝10096 D．99×（69+32﹣99）＝99×2＝198解：69×99+32×99﹣99＝99（69+32﹣1）＝99×100＝9900．故选：B．10．（2分）（2023秋•海门市校级月考）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A． B． C．15 D．16解：∵长方形的周长为16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．联立①②，得，解得：，∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为48．解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，∴2（m+n）＝16，mn＝6，即m+n＝8，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝48，故答案为：4812．（2分）（2023春•盐都区期中）4a2b2c，6ab3的公因式为2ab2．解：4a2b2c，6ab3的公因式为2ab2．故答案为：2ab2．13．（2分）（2023春•姜堰区期末）如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是10．解：∵x2﹣y2＝8，∴（x+y）（x﹣y）＝8，∵x﹣y＝2①，∴x+y＝4②，①+②得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝1，把x＝3，y＝1代入x2+y2得：x2+y2，＝32+12，＝9+1，＝10，故答案为：10．14．（2分）（2023春•姜堰区期末）已知a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2b+ab2的值是30．解：a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣10）×（﹣3）＝3015．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝22023．解：∵x2﹣y2＝4，∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①，∴x﹣y＝2②，由①②解得：x＝2，y＝0，∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023．故答案为：22023．16．（2分）（2023春•高新区期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝6．解：图中阴影部分面积等于c2﹣b2＝a2+b2﹣b2＝a2，如图所示：AB＝c﹣b，AC＝c﹣a，DE＝a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c，∵（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣bc﹣ca+ab＝18，∴AB•AC＝18，即S矩形ACDB＝18，∵S阴影＝2S矩形ACDB+a2﹣（a+b﹣c）2＝a2，∴（a+b﹣c）2＝36，∵a+b＞c，即a+b﹣c＞0，∴a+b﹣c＝6，故答案为：6．17．（2分）（2022春•兴化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为﹣9．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝3，ab＝﹣1，∴ab（a+b）2＝﹣1×32＝﹣9．故答案为：﹣9．18．（2分）（2022春•海州区校级期末）若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值﹣2022．解：∵m2＝n+2022，n2＝m+2022，∴m2﹣n2＝n﹣m，∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∵m2＝n+2022，n2＝m+2022，∴m2﹣n＝2022，n2﹣m＝2022，∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2022m+2022n＝2022（m+n）＝2022×（﹣1）＝﹣2022．故答案为：﹣2022．19．（2分）（2023春•梁溪区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是等腰三角形．解：b2+2ab＝c2+2ac，a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，（a+b）2＝（a+c）2，a+b＝a+c，b＝c，所以此三角形是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．20．（2分）（2023春•鼓楼区校级月考）n为自然数，若9n2+5n﹣26为两个连续自然数之积，则n的值是2．解：9n2+5n﹣26＝（n+2）（9n﹣13），设两个连续自然数分别为m，m+1，∴，解得：，∴，解得：此情况不符合题意，舍去．∴n的值为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•秦淮区校级月考）分解因式（1）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；（2）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．解：（1）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）＝（9a2﹣1）（2x﹣y）＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24＝（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．22．（6分）（2023春•宿豫区期末）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2023、5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”；（3）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．当G（M）是整数，且P（M）＝3时，求出所有满足条件的M．解：（1）∵22+32＝13，20≠13，∴2023不是“勾股和数”，∵52+52＝50，∴5055是“勾股和数”；（2）例如：1323就是一个“勾股和数”；（3）由题意可知：0≤c≤9，0≤d≤9，是整数，，∴c+d＝9或18，10a﹣2cd+b＝9，∴当c＝0时，d＝9，cd＝0，10a+b＝9，当c＝1时，d＝8，cd＝8，10a+b＝25，当c＝2时，d＝7，cd＝14，10a+b＝37，当c＝3时，d＝6，cd＝18，10a+b＝45，当c＝4时，d＝5，cd＝20，10a+b＝49，当c＝5时，d＝4，cd＝20，10a+b＝49，当c＝6时，d＝3，cd＝18，10a+b＝45，当c＝7时，d＝2，cd＝14，10a+b＝37，当c＝8时，d＝1，cd＝8，10a+b＝25，当c＝9时，d＝0，cd＝0，10a+b＝9，当c＝0时，d＝0，cd＝0，10a+b＝9，当c＝9时，d＝9，cd＝81，10a+b＝171，综上可知：10a+b＝9或25或37或45或49或171，由题意可知：0＜a≤9，0≤b≤9，当10a+b＝9时，当a＝1，则b＝﹣1（不合题意舍去），当a＝2，则b＝﹣11（不合题意舍去），•••综上随着a的增大，b值越来越小，都是负数，不合题意，故舍去；当10a+b＝25时，当a＝1，则b＝15（不合题意舍去），当a＝2，则b＝5，当a＝3，则b＝﹣5（不合题意舍去），当a＝4，则b＝﹣15（不合题意舍去），当a＝5，则b＝﹣25（不合题意舍去），•••综上：符合题意的有a＝2，则b＝5；当10a+b＝37时，当a＝1，则b＝27（不合题意舍去），当a＝2，则b＝17（不合题意舍去），当a＝3，则b＝7，当a＝4，则b＝﹣3（不合题意舍去），当a＝5，则b＝﹣13（不合题意舍去），•••综上：符合题意的有a＝3，则b＝7；当10a+b＝45时，当a＝1，则b＝35（不合题意舍去），当a＝2，则b＝25（不合题意舍去），当a＝3，则b＝15（不合题意舍去），当a＝4，则b＝5，当a＝5，则b＝﹣5（不合题意舍去），•••综上：符合题意的有a＝4，则b＝5；当10a+b＝49时，当a＝1，则b＝39（不合题意舍去），当a＝2，则b＝29（不合题意舍去），当a＝3，则b＝19（不合题意舍去），当a＝4，则b＝9，当a＝5，则b＝﹣1（不合题意舍去），•••综上：符合题意的有a＝4，则b＝9；当10a+b＝171时，当a＝1，则b＝161（不合题意舍去），当a＝2，则b＝151（不合题意舍去），当a＝3，则b＝141（不合题意舍去），当a＝4，则b＝131（不合题意舍去），当a＝5，则b＝﹣1（不合题意舍去），•••综上：没有符合题意的；∴求出的四位数分别为：2518，2581（不是勾股和数），3772，3727（不是勾股和数），4536，4563（是勾股和数），4945，4954（不是勾股和数），∴符合G（M）是整数，且P（M）＝3的勾股和数M是：3772，3727．23．（8分）（2023春•新吴区期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是（a+2b）（a+b）；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，请你画出示意图，并根据该图写出对应的乘法公式．解：（1）由题意得，这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：2，3；（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）（a+b），∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案为：（a+2b）（a+b）；（4）如图所示，即为所求；对应的乘法公式为（2a+b）（a+3b）＝2a2+3b2+7ab．．24．（8分）（2023春•泗洪县期中）小明同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，分别标上记号．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个拼图的面积关系写出一个恒等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；当他拼成如图③所示的一个大长方形时，其长为（a+2b），宽为（a+b），仔细观察图形，可以完成因式分解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．（2）请你利用1张1号纸片，6张2号纸片和5张3号纸片，拼出一个长方形，在下面虚线区域画出图形并仿图③标出边长．（3）根据所画的图形，写出一个恒等式：（a+2b）（a+3b）．解：（1）正方形的面积＝（a+b）2，也等于各部分面积之和即：a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．由图可得：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+2b）（a+b）；（2）如图所示：（3）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）．故答案为：（a+2b）（a+3b）．25．（8分）（2023春•鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜测（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴122＝2×48+（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴该三角形是等边三角形．26．（8分）（2023春•江都区期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？解：（1）a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b