云南省楚雄彝族自治州2024届高一下数学期末统考试题含解析

云南省楚雄彝族自治州2024届高一下数学期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，，且与夹角为，则（）A．3 B． C．2 D．2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C．-1 D．13．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知全集，则集合A． B． C． D．5．已知点，，则直线的斜率是（）A． B． C．5 D．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为（）A． B． C． D．8．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元9．已知直线，，若，则（）A．2 B． C． D．110．已知向量，满足：则A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．12．若点与关于直线对称，则的倾斜角为_______13．若为幂函数，则满足的的值为________.14．已知，若，则______.15．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.16．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在平面直角坐标系中，角和的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点、两点，点的纵坐标为.（Ⅰ)求的值；（Ⅱ)若，求的值.18．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.19．研究正弦函数的性质（1）写出其单调增区间的表达式（2）利用五点法，画出的大致图像（3）用反证法证明的最小正周期是20．已知数列满足，．（1）若，求证：数列为等比数列．（2）若，求．21．已知向量，的夹角为120°，且||＝2，||＝3，设32，2．（Ⅰ）若⊥，求实数k的值；（Ⅱ）当k＝0时，求与的夹角θ的大小．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．【详解】由题意若，，且与夹角为，可得，.故选：B．【点睛】本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.2、A【解析】

根据投影的定义和向量的数量积求解即可．【详解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．3、B【解析】

由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程，在圆上，在坐标满足方程，在圆上，则作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为与，由图可知，设两圆内公切线方程为，则，圆心在内公切线两侧，，可得，，化为，，即，，的取值范围，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.4、C【解析】

直接利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为全集，所以0，2属于全集且不属于集合A,所以集合，故选：C.【点睛】本题主要考查集合补集的定义，属于基础题.5、D【解析】

根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6、D【解析】

用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．7、C【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．考点：系统抽样.8、C【解析】分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的销售额.详解：设总的销售额为x,则.10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10时到11时的销售额为.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.9、D【解析】

当为,为,若,则,由此求解即可【详解】由题,因为,所以,即,故选:D【点睛】本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题10、D【解析】

利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．【详解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故选D．【点睛】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、32【解析】

根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【详解】如图所示，则△ABC的面积为，即ac=2a+2c，得，得，当且仅当，即3c=a时取等号；∴的最小值为32.故答案为：32.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.12、【解析】

根据两点关于直线对称，可知与垂直，利用斜率乘积为可求得，根据直线倾斜角与斜率的关系可求得倾斜角.【详解】由题意知：，即：又本题正确结果：【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是能够根据两点关于直线对称的性质求得所求直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求得结果.13、【解析】

根据幂函数定义知，又，由二倍角公式即可求解.【详解】因为为幂函数，所以，即,因为,所以，即，因为，所以，.故填.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.14、【解析】

由条件利用正切函数的单调性直接求出的值．【详解】解：函数在上单调递增，且，若，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，根据三角函数的值求角，属于基础题．15、512【解析】

由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.【详解】是等比数列，

，，

，，

和是方程的两个实数根，

解方程，

得，，

公比q为整数，

，，

，解得，

.故答案为：512【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.16、【解析】

先利用辅助角公式将函数的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数的解析式，即可计算出的值．【详解】，由题意可得，因此，，故答案为．【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为（或）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量上进行加减，考查计算能力，属于中等题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ)；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）由题意知的值，可求得和的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由题意知的值，由的值求得的值．【详解】（Ⅰ)由题意可得，，∴（Ⅱ)因为即，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为，圆的半径为，所以，以线段为直径的圆与轴相切．（Ⅱ）解法一：设，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因为，所以的取值范围是．解法二：设，，将代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，将代入（*）式，得，所以，．代入，得．因为，所以的取值范围是．考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题．19、（1）（2）见解析（3）见解析【解析】

（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解；（2）利用五点法作函数的图象即可；（3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证.【详解】（1）单调递增区间为，所以单调递增区间的表达式为（2）列表：描点，连线，可得函数图象如下：（3）证明：，假设存在，使得，即，令，则，即；再令，可得，得到矛盾，综上可知的最小正周期是.【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】

（1）证明即可；（2）化简，讨论，和即可求解【详解】因为，所以，所以．又所以数列是以3为首项，9为公比的等比数列．（2）因为，所以，所以：当时，当时，.当时，.【点睛】本题考查等比数列的证明，极限的运算，注意分类讨论的应用，是中档题21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用⊥，结