山东省东营市东营区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(-3)2的平方根是(

)A.-3 B.3 C.3或-3 D.92.下列运算正确的是(

)A.2x+3y=5xy B.(x-3)2=x2-93.如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是(

)A. B. C. D.4.如图所示，直线l1：y=32x+6与直线l2：y=-52x-2交于点A.x>-2

B.x≥-2

C.x<-2

D.x≤-25.某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端.已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角∠ACB为72°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为(

)A.3sin72°米 B.3sin72∘米 C.3cos72°米 6.将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF/​/BC，∠B=∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是(

)

A.15° B.20° C.25° D.30°7.如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是m．(

)A.42

B.5

C.308.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是

(

)A.360x=480140-x B.360140-x=9.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)，其对称轴为直线x=-12，结合图象分析下列结论：

①abc>0；

②3a+c>0；

③当x<0时，y随x的增大而增大；

④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13，x2=12；

⑤b2-4ac4aA.3个 B.4个 C.5个 D.6个10.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，OC、EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14④DF2+BE2

A.①②③④

B.①②③

C.①②④

D.③④二、填空题：本题共8小题，共28分。11.因式分解：x2y+2xy+y=______．12.1cm3空气的质量约为0.00000129千克，数据0.00000129用科学记数法表示为______．13.已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2______S乙2(填“>”、“=”、14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为

．

15.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是______16.如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)与y=-5x(x<0)的图象上，则tan∠BAO17.如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连接AP、BP、CP，若AP=6，BP=8，CP=10.则S△ABP+S△BPC=

18.如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线

三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

(1)计算：(-12)-2+2cos30°-|1-3|+(π-2019)020.(本小题8分)

在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t(单位：小时).把调查结果分为四档，A档：t<8；B档：8≤t<9；C档：9≤t<10；D档：t≥10.根据调查情况，给出了部分数据信息：

①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；

②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：

(1)求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；

(2)已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；

(3)学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．21.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5，BD=1，tanB=34，∠BAD=α．

(1)求AD的长；

(2)求sinα的值．22.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

(1)求证：直线CE是⊙O的切线．

(2)若BC=3，CD=32，求弦AD的长．

23.(本小题8分)

某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．

(1)求甲、乙商品每件各多少元？

(2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的45，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．24.(本小题10分)

问题背景：

如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．

问题提出：

在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长；

问题解决：

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接OQ，如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长；

方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ的长.请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

25.(本小题12分)

如图，直线y=-23x+c与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线y=-43x2+bx+c经过点A，B．

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”答案和解析1.答案：C

解答：解：(-3)2=9，

9的平方根是±3．

2.答案：D

解析：解：A、2x与3y不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、(x-3)2=x2-6x+9，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、x6÷x3=x3，原计算错误，故此选项不符合题意；3.答案：D

解答：

解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；

B、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；

C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；

D、主视图是长方形，左视图有可能是正方形，故本选项符合题意；

故选：D．4.答案：A

解析：解：由图象可知：当x>-2时，直线l1：y=32x+6在直线l2：y=-52x-2的上方，

即32x+6>-52x-2，

所以不等式32x+6>-52x-2的解集是x>-2．

故选：A．

利用函数图象写出直线l1：y=32x+6与在直线5.答案：A

解析：解：由题意可得，

∠ABC=90°，AC=3米，∠ACB=72°，

∵sin∠ACB=ABAC，

∴AB=AC⋅sin∠ACB=3⋅sin72°(米)，

故选：A6.答案：A

解答：

解：∵∠B=90°，∠A=45°，

∴∠ACB=45°．

∵∠EDF=90°，∠F=60°，

∴∠DEF=30°．

∵EF/​/BC，

∴∠BDE=∠DEF=30°，

∵∠ACB=∠BDE+∠CED，

∴∠CED=∠ACB-∠BDE=45°-30°=15°．

故选A．7.答案：C

解析：解：如图1，连接AO，

∵AB=AC，点O是BC的中点，

∴AO⊥BC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠ABO=∠ACO=45°，

∴AB=2OB=2×(8÷2)=42(m)，

∴BC=90360×2π×42=22π(m)，

∴将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：

28.答案：A

解答：

解：设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台(140-x)万元，

根据题意，可得：360x=480140-x，9.答案：C

解析：解答：

解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)，其对称轴为直线x=-12，

∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)和(2,0)，且a=b，

由图象知：a<0，c>0，b<0，

∴abc>0，

故结论①正确；

∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)，

∴9a-3b+c=0，

∵a=b，

∴c=-6a，

∴3a+c=-3a>0，

故结论②正确；

∵当x<-12时，y随x的增大而增大；当-12<x<0时，y随x的增大而减小，

∴结论③错误；

∵cx2+bx+a=0，c>0，

∴cax2+bax+1=0，

∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)和(2,0)，

∴ax2+bx+c=0的两根是-3和2，

∴ba=1，ca=-6，

∴cax2+bax+1=0，即为：-6x2+x+1=0，解得x1=-13，x2=12，

故结论④正确；

∵当x=-12时，y=4ac-b24a>0解析：解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，

∵∠MON=90°，

∴∠COM=∠DOF，

∴△COE≌△DOF(ASA)，

故①正确；

②∵∠EOF=∠ECF=90°，

∴点O、E、C、F四点共圆，

∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，

∴△OGE∽△FGC，

故②正确；

③∵△COE≌△DOF，

∴S△COE=S△DOF，

∴S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD，

故③正确；

④∵△COE≌△DOF，

∴OE=OF，

又∵∠EOF=90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴∠OEG=∠OCE=45°，

∵∠EOG=∠COE，

∴△OEG∽△OCE，

∴OE：OC=OG：OE，

∴OG⋅OC=OE2，

∵OC=12AC，OE=22EF，

∴OG⋅AC=EF2，

∵CE=DF，BC=CD，

∴BE=CF，

又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，

∴BE2+DF2=EF2，

∴OG⋅AC=BE2+DF2，

故④错误，

11.答案：y(x+1)解答：解：x2故答案为y(x+1)12.答案：1.29×10解析：解：0.00000129=1.29×10-6，

故答案为：1.29×10-6．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×1013.答案：>

解析：解：甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，

乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，

则x-甲=110×(6+7×3+8×2+9×3+10)=8，

x-乙=110×(6+7×2+8×4+9×2+10)=8，

∴S甲2=110×[(6-8)2+3×(7-8)2+2×(8-8)2+3×(9-8)2+(10-8)14.答案：4解答：

解：如图，连接OB，OC，

∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，

又∵BC=4，

∴BO=CO=22BC=22，

∴⊙O的直径为415.答案：k⩽54且解答：

解：∵抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点，

∴b2-4ac=(-1)2-4×(k-1)×1⩾0，解得：k⩽54，

又∵k-1≠0，

∴k≠1，

∴k16.答案：5解答：

解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，

则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)与y=-5x(x<0)的图象上，

∴S△BDO=52，S△AOC=12，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠DBO=∠AOC，

∴△BDO∽△OCA17.答案：24+16解答：

解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP'，

根据旋转的性质可知，

旋转角∠PBP'=∠ABC=60°，BP=BP'，

∴△BPP'为等边三角形，

∴BP'=BP=8=PP'；

由旋转的性质可知，AP'=PC=10，

在△APP'中，PP'=8，AP=6，

由勾股定理的逆定理得，△APP'是直角三角形，

∴S△ABP+S△BPC=S18.答案：(3×2解答：

解：∵一次函数y=2x+2，

∴M(-1,0)，A1(0,2)，

∵四边形AOBA1是菱形，

∴OA1垂直平分AB，

∴O1(1,0)，B(12,1)，把x=1代入y=2x+2得y=4，

∴A2(1,4)，

∵O1A2垂直平分A1B1，

∴O2(3,0)，B1(2,2)，

把x=3代入y=2x+2得y=819.答案：解：(1)(-12)-2+2cos30°-|1-3|+(π-2019)0

=4+2×32-(3-1)+1

=4+3-3+1-1

=4；

(2)解析：(1)先根据负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；

(2)先算括号里面的，再算除法，最后把m的值代入进行计算即可．

本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．20.答案：解：(1)由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，

因此A档共有：12-4=8人，

8÷20%=40人，

补全图形如下：

(2)1200×1640=480(人)，

答：全校B档的人数为480．

(3)用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，

因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，

所以P(2解析：(1)用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；

(2)先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；

(3)分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．

本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．21.答案：解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=34，AB=5，

∴可设AC=3x，BC=4x，

∵AC2+BC2=AB2，

∴(3x)2+(4x)2=52，

解得，x=-1(舍去)，或x=1，

∴AC=3，BC=4，

∵BD=1，

∴CD=3，

∴AD=CD2+AC2=32；

(2)过点D作DE⊥AB于点E，

在Rt△BED中，tanB=34解析：(1)根据tanB=34，可设AC=3x，得BC=4x，再由勾股定理列出x的方程求出x，最后放在Rt△ACD中由勾股定理求AD；

(2)要求sinα的值，想到把α放在直角三角形中，所以过点D作DE⊥AB，垂足为点E，然后放在直角三角形BDE中，利用tanB的值求出BE与DE，进而求得结果．22.答案：(1)证明：连接OD，如图，

∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，

∵OA=OD，∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，∴OD/​/AE，

∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

(2)连接BD．

∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，

∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴CDCA=CBCD=BDAD，

∴CD2=CB⋅CA，

∴(32)2=3CA，∴CA=6，

∴AB=CA-BC=3，

BDAD=解析：本题考查切线的判定和性质、平行线的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用相关定理及性质解决问题，属于中考常考题型．

(1)连结OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，又∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD/​/AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；

(2)由△CDB∽△CAD，可得CDCA=CBCD=BDAD，推出CD2=CB⋅CA，可得(32)2=3CA23.答案：解：(1)设甲商品每件x元，乙商品每件y元，

根据题意得：10x+15y=35015x+10y=375，

解得：x=17y=12．

答：甲商品每件17元，乙商品每件12元；

(2)设购买m件甲商品，则购买(30-m)件乙商品，

根据题意得：17m+12(30-m)≤46030-m≤45m，

解得：503≤m≤20，

又∵m为正整数，

∴m可以为17，18，19，20，

∴该单位共有4次购买方案，

方案1：购买17件甲商品，13件乙商品；

方案2：购买18件甲商品，12件乙商品；

方案3：购买19件甲商品，11件乙商品；

方案4：购买20件甲商品，10件乙商品．

选择方案1所需总费用为17×17+12×13=445(元)；

选择方案2所需总费用为17×18+12×12=450(元)；

选择方案3所需总费用为17×19+12×11=455(元)；

选择方案4所需总费用为17×20+12×10=460(元)．

解析：(1)设甲商品每件x元，乙商品每件y元，根据“购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买m件甲商品，则购买(30-m)件乙商品，根据“计划资金不超过460元，且购买乙商品的数量不超过甲商品数量的45”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)24.答案：解：方案一：连接OQ，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，AD=BC=5，

由作图知BO=OC=12BC=2.5，

由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∠APO=∠B=90°，

∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，

在△QPO和△QCO中

OP=OCOQ=OQ

∴△QPO≌△QCO(HL)，

∴PQ=CQ，

设PQ=CQ=x，则AQ=3+x，DQ=3-x，

在Rt△ADQ中，AD2+QD2=AQ2.即52+(3-x)2=(3+x)2，

解得x=2512，

∴线段CQ的长为2512；

方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，AD=BC=5，

由作图知BO=OC=12BC=2.5，

由旋转的不变性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°，

则∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°，

∴D、C、R共线，

由翻折的不变性，知∠BAO=∠OAQ，

∴∠OAQ=∠R，

∴QA=QR，

设CQ=x25.答案：解：(1)∵y=-23x+c与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，

∴0=-