2023-2024学年高一下学期 期末数学模拟卷二

试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page33页，共=sectionpages44页2023级高一下学期期末模拟卷二班级：___________姓名：___________一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．3．年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（

）A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多4．已知向量，，，若，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．下列结论正确的是（

）A．函数的最小值为2B．若为实数，则恒成立C．函数的值域为D．函数的最小值为26．（）A． B． C． D．7．依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（

）A．与为对立事件B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件D．与为互斥事件8．已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（

）A．B．C． D．二、多选题9．已知函数，点，是曲线的两个相邻的对称中心，则（

）A．的最小正周期为 B．在区间上的最大值为2C．直线是曲线的一条对称轴 D．在区间上有3个零点10．正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是（

）A．棱长为B．两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°C．表面积为D．外接球的体积为11．设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“卫界函数”，若函数，则（

）A． B．的值域为C．在上单调递减 D．函数为偶函数三、填空题12．.13．甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交换的概率为14．已知平面向量，，，满足，，则的最小值．四、解答题15．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．16．已知函数．(1)求的值；(2)若，求的值域；(3)若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值．17．已知在中，D为BC边的中点，且．(1)若的面积为，，求；(2)若，求的周长的最大值．18．已知函数是定义在上的偶函数．(1)求函数的解析式；(2)对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．(1)证明：平面．(2)证明：平面平面．(3)若，求二面角的正切值．答案第=page22页，共=sectionpages88页答案第=page11页，共=sectionpages88页2023级高一下学期期末模拟卷2参考答案：1．D2．B3．D4．D5．D6．A【详解】.7．C【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：，共36个样本点．则事件包括，共6个，，事件包括，共18个，，事件包括，共5个，，事件包括，共6个，.对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；对于B，事件包括，则，又，，所以，即与不相互独立，故B错误；对于C，事件包括，则，又，，所以，即与相互独立，故C正确；对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.故选：C.8．B【详解】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称，所以为奇函数.令，则，所以为偶函数，对于，有，所以在上单调递增，所以在上单调递减.由，得，，当时，变形为，即，解得；当时，变形为，即，解得，综上，不等式的解集为.故选：BABC【详解】对于选项A：设的最小正周期为，且，由题意可知：，可得，，故A正确；对于选项B：由选项A可知：，当时，则，可知当，即时，取到最大值2，所以在区间上的最大值为2，故B正确；对于选项C：由选项B可知：当时，取到最大值2，所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；对于选项D：因为的最小正周期为，且在一个周期长度内至多只有2个零点，故D错误；故选：ABC.10．AC【详解】如图所示：该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半，故该等腰直角三角形的直角边长度为1，从而该几何体的每条棱的长度都是，A正确；若为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱，则，平行于，异面且，这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，B错误；该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，边长均为，故每个正方形的面积都是，每个正三角形的面积都是，故表面积为，C正确；设正方体的中心为，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，故到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的倍，即.这意味着以为球心，半径为的球是该几何体的外接球，从而外接球的体积，D错误.从而全部正确的结论是AC.AD【详解】由，解得或，则，对于A，，A正确；对于B，当或时，，在上递减，在上递增，，的值域为，B错误；对于C，当时，，在上不单调，C错误；对于D，，令，当或时，，当时，，即，，因此函数是偶函数，即函数为偶函数，D正确.故选：AD12．/【详解】.13．【详解】四位同学的所有换位情况如下图所示：由图知甲和乙的座位恰好交换的情况只有一种，故甲和乙的座位恰好交换的概率为，故答案为：14．【详解】如图所示的平面直角坐标系中，设，，，不妨取在第一象限，则在直线，上，

，，取，，则，，故，故在如图所示的关于轴对称的两段圆弧上，取在第一象限，则，，故，圆的半径为，圆心到直线的距离为，（也可用三角函数计算，Q到OB的垂线垂足为H,计算QH-r），的最小值为，故答案为：.15．(1)，63(2)【详解】（1）由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为，因为，设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．16．(1)1(2)(3)【详解】（1），．（2）因，取则，因在上单调递增，在上单调递减，而，故．则，的值域为．（3）如图，因的周期为，由题意可知：，代入得：．由，，可得，．由，，代入，解得，．，，当时，，；当时，，故的值为．17．(1)(2)【详解】（1）解：因为的面积为，且为的中点，可得，又因为，可得，所以在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理，可得，因为且，可得，即为钝角，所以为锐角，所以.（2）解：设，分别在和中，由余弦定理，即，同理可得，所以，可得，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以周长的最大值为．18．(1)(2)【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，，可得恒成立，即，因为在上不恒成立，，所以的解析式为.（2）由（1）知，当时，令．不等式恒成立，等价于恒成立，恒成立，则，令，任取，则，因为，所以，所以为增函数，所以当时.所以的取值范围为.19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，所以．因为，所以△ABC为正三角形．因为N为AB的中点，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，因为，平面，所以平面．（2）取