专题02 方程与不等式（39题）（解析版）

专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【分析】先计算Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1），得到Δ＞0，然后根据△的意义进行判断即可．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1）＝12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A． B． C． D．．【分析】根据每行驶1千米纯燃油费用与纯用电费用间的关系，可得出每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元，利用行驶路程＝总费用÷每行驶1千米所需费用，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，且每行驶1千米纯用电的费用为x元，∴每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元．根据题意得：＝．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．+1＝0 D．【分析】利用根的判别式判断A、B，利用二次根式的性质判断C，利用解分式方程判断D．【解答】解：方程x2+2x+1＝0的根的判别式Δ＝3＞0，故选项A中方程有实数根；方程x2+x+1＝0的根的判别式Δ＝﹣3＜0，故选项B中方程无实数根；∵≥0，∴选项C中方程无实数根；方程＝无解，故选项D中方程无实数根；故选：A．【点评】本题主要考查了无理方程、分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、无理方程及分式方程的解法是解决本题的关键．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＞﹣1．【分析】根据“关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：Δ＝4+4m＞0，解得：m＞﹣1，故答案为：m＞﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为c＜．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，解得c＜，即c的取值范围为c＜．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．【分析】根据根的判别式的意义得到32﹣4m＝0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，解得m＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是1≤x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1，由2x﹣3＜x得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3，故答案为：1≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是﹣2≤x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由3x﹣2＜x得：x＜1，由≤x+1得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，故答案为：﹣2≤x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为4．【分析】由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，计算求解即可．【解答】解：由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝2．【分析】先移项得到＝1+x，再把方程两边平方得到x+7＝（1+x）2，接着解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：﹣x＝1，移项，得＝1+x，两边平方，得x+7＝（1+x）2，整理得x2+x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，方程左边＝﹣2＝1＝右边，则x＝2为原方程的解；当x＝﹣3时，方程左边＝﹣（﹣3）＝5≠右边，则x＝﹣3不是原方程的解；所以原方程的解为x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是﹣3＜x＜2．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜2，则不等式组的解集为：﹣3＜x＜2．故答案为：﹣3＜x＜2．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是k＞．【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣3）2﹣4×1×k＜0，解得k＞．故答案为：k＞．【点评】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．14．（2023•金山区二模）方程的解是﹣1．【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验即可．【解答】解：原方程可化为：﹣＝0，去分母得，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1是原分式方程的增根，当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2，故x＝﹣1是原分式方程的根．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是解分式方程，解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，在解得未知数的值时一定要验根．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是x＝0．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：x＝x2，解方程的：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，方程的左边＝右边＝0，∴x＝0为原方程的根当x2＝1时，原方程不成立，故舍去．故答案为：x＝0．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是x＝1．【分析】本题要先平方化简后才能求出x的值．【解答】解：＝x，两边都平方得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，∴x＝1．【点评】本题要先平方化简后，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．才能求出x的值．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝11．【分析】先把方程两边平方得到一元一次方程，再解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：＝3，两边平方，得x﹣2＝9，解得x＝11，检验：当x＝11时，左边＝＝3＝右边，则x＝11是原方程的解，所以原方程的解为x＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≥﹣1．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，解得m≥﹣1，即m的取值范围是m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是，．【分析】由①得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，求出两方程组的解即可．【解答】解：，由①得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以原方程组的解是，．故答案为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝﹣1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝0，解得：k＝﹣1，∴k的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是x＞4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，解不等式x﹣2＞2，得：x＞4，则不等式组的解集为x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤4．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：Δ＝16﹣4k≥0，解得：k≤4．故答案为：k≤4．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有25人．【分析】设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意得：，解得：，即大和尚有25人，故答案为：25．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，依题意得：，故答案为：．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、数字常识等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．【分析】先用完全平方公式把方程②左边因式分解，得（x﹣y）2＝4，从而推得x﹣y＝±2，再分类讨论，即可求解．【解答】解：由②得（x﹣y）2＝4，∴x﹣y＝±2，当x﹣y＝2时，得x＝2+y④，把④代入①得2+y﹣3y＝5，∴﹣2y＝3，∴y＝﹣，把y＝﹣代入④得x＝2﹣＝，∴是原方程组的一个解，当x﹣y＝﹣2时．得x＝y﹣2⑤，把⑤代入①得（y﹣2）﹣3y＝5，∴﹣2y＝7，∴y＝，把y＝代入⑤得x＝﹣2＝∴是原方程组的一个解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了二次二元方程组，关键是将二元二次方程组转化为二元一次方程组．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别解两个不等式得到x≥﹣3和x＜1，则利用大小小大中间找确定不等式组的解集为﹣3≤x＜1，然后利用数轴表示其解集．【解答】解：，解①得x≥﹣3，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，用数轴表示为：【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．29．（2023•松江区二模）解方程组：．【分析】先变形②得出x+y＝2，x+y＝﹣2，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由方程②得：（x+y）2＝4，x+y＝2，x+y＝﹣2，即组成方程组或，解这两个方程组得：或，即原方程组的解为：或．【点评】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．31．（2023•金山区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x﹣y）2＝4，求出x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣y）2＝4，x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：，解不等式①得：x＜8，解不等式②得x≥，∴不等式组的解集为≤x＜8，则不等式组整数解有2、3、4、5、6、6、7．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．【分析】由②得出y＝2x﹣5③，把③代入①得出4x2﹣（2x﹣5）2＝15，求出x，再把x＝2代入③求出y即可．【解答】解：，由②得：y＝2x﹣5③，把③代入①，得4x2﹣（2x﹣5）2＝15，解得：x＝2，把x＝2代入③，得y＝﹣1，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成4x2﹣（2x﹣5）2＝15是解此题的关键．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．【分析】变形方程组中的②，用含y的代数式表示x，代入①得关于y的一元二次方程，先解一元二次方程求出y，再代入③求出x．【解答】解：由②，得x＝y+1③，把③代入①，得（y+1）2﹣2y2﹣y＝﹣1，整理，得y2﹣y﹣2＝0，解这个方程，得y1＝2，y2＝﹣1．把y1＝2，y2＝﹣1代入③，得x1＝3，x2＝0．∴原方程组的解为，．【点评】本题考查了解方程组，掌握一元二次方程和方程组的解法是解决本题的关键．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞，所以不等式组的解集为＜x≤，则不等式组的正整数解为1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x+2y）（x﹣y）＝0，求出x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x+2y）（x﹣y）＝0，x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成方程组，，解得：，，所以原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数表达式为为y＝﹣x+80．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60．答：销售单价应定为每千克40元或60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【分析】（1）根据购买衣服及鞋子的原价，结合商场给出的两种促销活动，可分别求出选择两种促销活动需支付的费用，比较后可得出结论；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价