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江苏省江阴市第二中学中考冲刺卷数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.A、B两地相距180km,新修的高速公路开通后,在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%,而从A地到B地的时间缩短了1h.若设原来的平均车速为xkm/h,则根据题意可列方程为A. B.C. D.2.下列各数中是有理数的是()A.π B.0 C. D.3.下列运算正确的是()A.a2+a3=a5 B.(a3)2÷a6=1 C.a2•a3=a6 D.(2+3)2=54.如图所示的几何体,上下部分均为圆柱体,其左视图是()A. B. C. D.5.在△ABC中,若=0,则∠C的度数是()A.45° B.60° C.75° D.105°6.在同一平面直角坐标系中,函数y=x+k与(k为常数,k≠0)的图象大致是()A. B.C. D.7.如图,数轴上的四个点A,B,C,D对应的数为整数,且AB=BC=CD=1,若|a|+|b|=2,则原点的位置可能是()A.A或B B.B或C C.C或D D.D或A8.若实数a,b满足|a|>|b|,则与实数a,b对应的点在数轴上的位置可以是()A. B. C. D.9.如图,数轴上的A、B、C、D四点中,与数﹣表示的点最接近的是()A.点A B.点B C.点C D.点D10.设0<k<2,关于x的一次函数y=(k-2)x+2,当1≤x≤2时,y的最小值是()A.2k-2B.k-1C.kD.k+1二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,矩形ABCD中,AD=5,∠CAB=30°,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ+QP的最小值是___________.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,⊙C的半径为1,点P是斜边AB上的点,过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点),则线段PQ的最小值为_____.13.如图,点A(m,2),B(5,n)在函数(k>0,x>0)的图象上,将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线,点A、B的对应点分别为A′、B′.图中阴影部分的面积为8,则k的值为.14.关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根是0,则k的值是______.15.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.做法中用到全等三角形判定的依据是______.16.八位女生的体重(单位:kg)分别为36、42、38、40、42、35、45、38,则这八位女生的体重的中位数为_____kg.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)某数学兴趣小组为测量如图(①所示的一段古城墙的高度,设计用平面镜测量的示意图如图②所示,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD、CD⊥BD,且测得AB=1.2m,BP=1.8m.PD=12m,求该城墙的高度(平面镜的原度忽略不计):请你设计一个测量这段古城墙高度的方案.要求:①面出示意图(不要求写画法);②写出方案,给出简要的计算过程:③给出的方案不能用到图②的方法.18.(8分)如图,∠BAO=90°,AB=8,动点P在射线AO上,以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C,CD∥BP交半圆P于另一点D,BE∥AO交射线PD于点E,EF⊥AO于点F,连接BD,设AP=m.(1)求证:∠BDP=90°.(2)若m=4,求BE的长.(3)在点P的整个运动过程中.①当AF=3CF时,求出所有符合条件的m的值.②当tan∠DBE=时,直接写出△CDP与△BDP面积比.19.(8分)如图1,□OABC的边OC在y轴的正半轴上,OC=3,A(2,1),反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式;(2)如图2,将线段OA延长交y=(x>0)的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点,①求直线BD的解析式;②求线段ED的长度.20.(8分)如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标.21.(8分)已知:a是﹣2的相反数,b是﹣2的倒数,则(1)a=_____,b=_____;(2)求代数式a2b+ab的值.22.(10分)当前,“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段,凡贫困家庭均要“建档立卡”.某初级中学七年级共有四个班,已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A1,A2,A3,A4,现对A1,A2,A3,A4统计后,制成如图所示的统计图.求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数;将条形统计图补充完整,并求出A1所在扇形的圆心角的度数;现从A1,A2中各选出一人进行座谈,若A1中有一名女生,A2中有两名女生,请用树状图表示所有可能情况,并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率.23.(12分)如图,矩形ABCD为台球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前在E点位置,AE=60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到D点位置.求BF的长.24.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC;请画出△ABC关于原点对称的△ABC;在轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】
直接利用在A,B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%,而从A地到B地的时间缩短了1h,利用时间差值得出等式即可.【详解】解:设原来的平均车速为xkm/h,则根据题意可列方程为:﹣=1.故选A.【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,根据题意得出正确等量关系是解题的关键.2、B【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数,结合无理数的定义进行判断即可得答案.【详解】A、π是无限不循环小数,属于无理数,故本选项错误;B、0是有理数,故本选项正确;C、是无理数,故本选项错误;D、是无理数,故本选项错误,故选B.【点睛】本题考查了实数的分类,熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键.3、B【解析】
利用合并同类项对A进行判断;根据幂的乘方和同底数幂的除法对B进行判断;根据同底数幂的乘法法则对C进行判断;利用完全平方公式对D进行判断.【详解】解:A、a2与a3不能合并,所以A选项错误;B、原式=a6÷a6=1,所以A选项正确;C、原式=a5,所以C选项错误;D、原式=2+26+3=5+26,所以D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查同底数幂的乘除、二次根式的混合运算,:二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.4、C【解析】试题分析:∵该几何体上下部分均为圆柱体,∴其左视图为矩形,故选C.考点:简单组合体的三视图.5、C【解析】
根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值,继而可得出A和B的度数,根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数.【详解】由题意,得
cosA=,tanB=1,
∴∠A=60°,∠B=45°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.
故选C.6、B【解析】
选项A中,由一次函数y=x+k的图象知k<0,由反比例函数y=的图象知k>0,矛盾,所以选项A错误;选项B中,由一次函数y=x+k的图象知k>0,由反比例函数y=的图象知k>0,正确,所以选项B正确;由一次函数y=x+k的图象知,函数图象从左到右上升,所以选项C、D错误.故选B.7、B【解析】
根据AB=BC=CD=1,|a|+|b|=2,分四种情况进行讨论判断即可.【详解】∵AB=BC=CD=1,∴当点A为原点时,|a|+|b|>2,不合题意;当点B为原点时,|a|+|b|=2,符合题意;当点C为原点时,|a|+|b|=2,符合题意;当点D为原点时,|a|+|b|>2,不合题意;故选:B.【点睛】此题主要考查了数轴以及绝对值,解题时注意:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.8、D【解析】
根据绝对值的意义即可解答.【详解】由|a|>|b|,得a与原点的距离比b与原点的距离远,只有选项D符合,故选D.【点睛】本题考查了实数与数轴,熟练运用绝对值的意义是解题关键.9、B【解析】
,计算-1.732与-3,-2,-1的差的绝对值,确定绝对值最小即可.【详解】,,,,因为0.268<0.732<1.268,所以表示的点与点B最接近,故选B.10、A【解析】
先根据0<k<1判断出k-1的符号,进而判断出函数的增减性,根据1≤x≤1即可得出结论.【详解】∵0<k<1,∴k-1<0,∴此函数是减函数,∵1≤x≤1,∴当x=1时,y最小=1(k-1)+1=1k-1.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的性质,熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0,b>0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、5【解析】
作点A关于直线CD的对称点E,作EP⊥AC于P,交CD于点Q,此时QA+QP最短,由QA+QP=QE+PQ=PE可知,求出PE即可解决问题.【详解】解:作点A关于直线CD的对称点E,作EP⊥AC于P,交CD于点Q.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴DQ⊥AE,∵DE=AD,∴QE=QA,∴QA+QP=QE+QP=EP,∴此时QA+QP最短(垂线段最短),∵∠CAB=30°,∴∠DAC=60°,在Rt△APE中,∵∠APE=90°,AE=2AD=10,∴EP=AE•sin60°=10×=5.故答案为5.【点睛】本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识,解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置,属于中考常考题型.12、.【解析】
当PC⊥AB时,线段PQ最短;连接CP、CQ,根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2,先求出CP的长,然后由勾股定理即可求得答案.【详解】连接CP、CQ;如图所示:∵PQ是⊙C的切线,∴CQ⊥PQ,∠CQP=90°,根据勾股定理得:PQ2=CP2﹣CQ2,∴当PC⊥AB时,线段PQ最短.∵在Rt△ACB中,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4,AC=2,∴CP===,∴PQ==,∴PQ的最小值是.故答案为:.【点睛】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用;注意掌握辅助线的作法,注意当PC⊥AB时,线段PQ最短是关键.13、2.【解析】试题分析:∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线,点A、B的对应点分别为A′、B′,图中阴影部分的面积为8,∴5﹣m=4,∴m=2,∴A(2,2),∴k=2×2=2.故答案为2.考点:2.反比例函数系数k的几何意义;2.平移的性质;3.综合题.14、2.【解析】试题解析:由于关于x的一元二次方程的一个根是2,把x=2代入方程,得,解得,k2=2,k2=2当k=2时,由于二次项系数k﹣2=2,方程不是关于x的二次方程,故k≠2.所以k的值是2.故答案为2.15、SSS.【解析】
由三边相等得△COM≌△CON,即由SSS判定三角全等.做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证.【详解】由图可知,CM=CN,又OM=ON,∵在△MCO和△NCO中,∴△COM≌△CON(SSS),∴∠AOC=∠BOC,即OC是∠AOB的平分线.故答案为:SSS.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质.要熟练掌握确定三角形的判定方法,利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力,要注意培养.16、1【解析】
根据中位数的定义,结合图表信息解答即可.【详解】将这八位女生的体重重新排列为:35、36、38、38、40、42、42、45,则这八位女生的体重的中位数为=1kg,故答案为1.【点睛】本题考查了中位数,确定中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数,中位数有时不一定是这组数据的数.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)8m;(2)答案不唯一【解析】
(1)根据入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD,由AB⊥BD、CD⊥BD可得到∠ABP=∠CDP=90°,从而可证得三角形相似,根据相似三角形的性质列出比例式,即可求出CD的长.(2)设计成视角问题求古城墙的高度.【详解】(1)解:由题意,得∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP=90°,∴Rt△ABP∽Rt△CDP,∴,∴CD==8.答:该古城墙的高度为8m(2)解:答案不唯一,如:如图,在距这段古城墙底部am的E处,用高h(m)的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度,过点D作DCAB于点C.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,tanα=,∴AC=αtanα,∴AB=AC+BC=αtanα+h【点睛】本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.18、(1)详见解析;(2)的长为1;(3)m的值为或;与面积比为或.【解析】
由知,再由知、,据此可得,证≌即可得;
易知四边形ABEF是矩形,设,可得,证≌得,在中,由,列方程求解可得答案;
分点C在AF的左侧和右侧两种情况求解:左侧时由知、、,在中,由可得关于m的方程,解之可得;右侧时,由知、、,利用勾股定理求解可得.作于点G,延长GD交BE于点H,由≌知,据此可得,再分点D在矩形内部和外部的情况求解可得.【详解】如图1,,,,、,,,≌,.,,,,,四边形ABEF是矩形,设,则,,,,,≌,,≌,,在中,,即,解得:,的长为1.如图1,当点C在AF的左侧时,,则,,,,在中,由可得,解得:负值舍去;如图2,当点C在AF的右侧时,,,,,,在中,由可得,解得:负值舍去;综上,m的值为或;如图3,过点D作于点G,延长GD交BE于点H,≌,,又,且,,当点D在矩形ABEF的内部时,由可设、,则,,则;如图4,当点D在矩形ABEF的外部时,由可设、,则,,则,综上,与面积比为或.【点睛】本题考查了四边形的综合问题,解题的关键是掌握矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理、三角形的面积等知识点.19、(1)B(2,4),反比例函数的关系式为y=;(2)①直线BD的解析式为y=-x+6;②ED=2【解析】试题分析:(1)过点A作AP⊥x轴于点P,由平行四边形的性质可得BP=4,可得B(2,4),把点B坐标代入反比例函数解析式中即可;(2)①先求出直线OA的解析式,和反比例函数解析式联立,解方程组得到点D的坐标,再由待定系数法求得直线BD的解析式;②先求得点E的坐标,过点D分别作x轴的垂线,垂足为G(4,0),由沟谷定理即可求得ED长度.试题解析:(1)过点A作AP⊥x轴于点P,则AP=1,OP=2,又∵AB=OC=3,∴B(2,4).,∵反比例函数y=(x>0)的图象经过的B,∴4=,∴k=8.∴反比例函数的关系式为y=;(2)①由点A(2,1)可得直线OA的解析式为y=x.解方程组,得,.∵点D在第一象限,∴D(4,2).由B(2,4),点D(4,2)可得直线BD的解析式为y=-x+6;②把y=0代入y=-x+6,解得x=6,∴E(6,0),过点D分别作x轴的垂线,垂足分别为G,则G(4,0),由勾股定理可得:ED=.点睛:本题考查一次函数、反比例函数、平行四边形等几何知识,综合性较强,要求学生有较强的分析问题和解决问题的能力.20、(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣2)、M2(﹣2,﹣2)、M3(﹣2,2)、M4(2,2).【解析】
(1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.
(2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.
(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.【详解】(1)∵OA=OC,∠OAC=60°,∴△OAC是等边三角形,故∠AOC=60°.(2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;∴AC=OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,而OC是⊙O的半径,故PC与⊙O的位置关系是相切.(3)如图;有三种情况:①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣2);劣弧MA的长为:;②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣2);劣弧MA的长为:;③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2,2);优弧MA的长为:;④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,2);优弧MA的长为:;综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣2)、M2(﹣2,﹣2)、M3(﹣2,2)、M4(2,2).【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解.21、2﹣【解析】试题分析:利用相反数和倒数的定义即可得出.先因式分解,再代入求出即可.试题解析:是的相反数,是的倒数,当时,点睛:只有符号不同的两个数互为相反数.乘积为的两个数互为倒数.22、(1)15人;(2)补图见解析.(3).【解析】
(1)根据三班有6人,占的百分比是40%,用6除以所占的百分比即可得总人数;(2)用总
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