流体力学基本方程组

第三章流体力学基本方程组

物质体积分的随体导数

连续性方程

运动方程(动量方程)

能量方程6/10/20241

随体导数：（Ⅰ）

是内定义的标量函数(单位体积流体……)

证明:在流场中取控制体,设是内定义的标量函数,其体积积分为:,它随t变化（1）运动中,由流体从内流出,流场中亦有物质流进,因此,在上取值的在运动过程中也改变了它的数值.

例如,可以是流体的.

所以:（1）式c,下面研究它如何变化.

第一节物质体积分的随体导数6/10/20242体积分(1)的变化状况,即体积分(1)的随体导数：（2）据随体导数的定义：

（3）令：于是：（4）

控制体6/10/202434)式的意义:体积分(1)的变化由两部分组成,右边第一项表明随变化而引起,第二项代表由于流体体积改变了后所引起的参量变化,显然4)式右边第一项为:

（5）再看4）式右边第二项：因为：于是：（6）

6/10/20244将（5），（6）两式代入（4）得输运公式：（7）于是得下列主要结论:

体积分(1)的随体导数由两部分组成,第一项是函数对时间的偏导数沿流体的积分,第二项是函数通过表面的量。利用奥高公式：（8）则：（7）式变为：

（9）

6/10/20245第二节连续性方程

1.

积分形式的连续性方程

方程推导出发点：质量守恒在流体中取由一定流体质点组成的微团,其体积为,质量为.则:

据质量守恒定律,下式在任意时刻成立,

（1）据输运公式：令：，则（1）式为，

（2）

6/10/202462微分形式的连续方程据输运公式，

（1）式变为：（3）

假设被积函数连续,任意,则被积函数一定为0,于是

（4a）

或（4b）

（1）6/10/20247在直角坐标系中：（5）则：，

,

或

对一元稳定圆管u=v,

可压：沿A积分=常数,

不可压：6/10/20248第三节运动方程（动量方程）

积分形式的动量方程

微分形式的动量方程6/10/20249

一.

积分形式的动量方程流场中任意取一体积为的微元体积流体,它的边界,

根据：动量定律

受力分析：质量力,面积力(表面力).,单位质量上质力的分布函数.,作用在单位面积上面力的分布函数.

则：作用在和上的总质量力和面积力为:(1)

（2)

体积内流体的动量为：（3）6/10/202410于是动量定理可以写成：

（4）把随体导数的公式应用于上式，令：

（5）

--------积分形式的动量方程6/10/202411

二、微分形式的动量方程改写（4）式：

1）

{证明：

}（4）（6）6/10/2024122）又∵（7）∴（4）式变为：

（8）其中P是应力张量，则，

（9）

（10）

----------微分形式的动量方程。

6/10/202413直角坐标系中另外：（10）式还可以写成：

--------------（11）6/10/202414又因为：--------（12）

（11）+(12)﹒

，得：

-------（13）所以：其中，为动量通量张量。（11）6/10/202415第四节能量方程

令:----表单位流体所具有的内能;----表单位体积流体具有的内能;----表单位体积流体所有的动能;----表单位体积流体所包含的总能量.据能量守恒定律,体积τ内流体的动能和内能的改变率等于单位时间内质量力和表面力作的功加上单位时间内给与体积τ的热量.即：6/10/202416

1).单位时间内外力做功

fi-----体积力，Pij-----表面力张量。

2)单位时间热传导导入的热量：

其中：qi为热通量向量，“-”表示热通量与n的方向相反。