2024年中考数学训练-对角互补模型综合应用（能力提升）（原卷版+解析）

05对角互补模型综合应用（能力提升）

1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分别是边BC,CD上的

点，且求证：EF=BE+FD.

2

2.如图.在四边形ABC。中，ZB+ZADC=180°,AB^AD,E、尸分别是边BC、C£）延

长线上的点，且求证：EF=BE-FD.

2

F.

3.(1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是边BC、CD

上的点，且求证：EF=BE+FD.

2

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+Z£>=180°,E、/分别是边8C、CD

上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成

2

立，请写出线段ERBE、如它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形A8C。中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、/分别是边8C、

CD延长线上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证

2

明；若不成立，请写出线段所、BE、出它们之间的数量关系，并证明.

A

E

4.(1)如图1,在正方形ABC。中，E、尸分别是8C,C。上的点，且/EAF=45°.直

接写出BE、DF,E尸之间的数量关系;

(2)如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是8C,CD

上的点，且求证：EF=BE+DF；

2

(3)如图3,在四边形A8C。中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,延长BC到点E,延

长a)到点凡使得/EAF=L/BAD,则结论跖是否仍然成立？若成立，请

2

证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明.

5.(1)方法感悟:

如图①，在正方形ABCD中，点及歹分别为。C、8C边上的点，且满足/胡尸=45°,

连接EF.将△">£绕点A顺时针旋转90°得至U△ABG,易证△GAPgZ\E4凡从而得到

结论：DE+BF=EF.根据这个结论，若CD=6,DE=2,求EF的长.

(2)方法迁移：

如图②，若在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+Z£>=180°,E、尸分别是BC、CD上的

点，且试猜想。E,BF,£尸之间有何数量关系，证明你的结论.

2

(3)问题拓展：如图③，在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+ZAZ)C=180°,E、F分

别是边BC、CD延长线上的点，且试探究线段EE、BE、FD之间的

2

数量关系，请直接写出你的猜想(不必说明理由).

6.(1)阅读理解：

如图①，在△ABC中，若A2=5,AC=3,求8C边上的中线的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长到点E使。再连接BE,这样就把48,AC,24。集中在△ABE中，利

用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围

是;

(2)问题解决：

如图②，在△ABC中，。是BC边的中点，DELDF于点力,DE交AB于点E,DF交

AC于点F,连接EF,此时：BE+CFEF(填“>”或“=”或“<”)；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABC。中，ZB+Z£>=180,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点

作Z£CF=70°，边CE,CF分别交AB,A。于E,歹两点，连接ER此时:BE+DFEF

(填“〉”或“=”或“<")；

(4)若在图③的四边形A8CD中，ZECF=a(0°<a<90°),ZB+Z£)=180,CB

=CD,且(3)中的结论仍然成立，则/BCZ)=(用含a的代数式表示).

7.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长

边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,

从而解决问题.

(1)如图b△ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，连结ZM、DB、DC,且

ZBZ)C=120°,探索线段D4、DB、0c之间的数量关系.解题思路：延长DC到点E,

使CE=B。，连接AE,根据/8AC+BOC=180°，则/A8O+/ACO=180°，因为/ACD+

ZAC£=180°nJvEZABD=ZACE,易证得△A3。g△&(?£1,得出是等边三角形，

所以从而探寻线段ZM、DB、OC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直

接写出ZM、DB、0c之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图2,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，Z

BDC=90°,探索线段D4、DB、OC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为2c机的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直

角边等于斜边一半，则尸0的长为cm.(结果无需化简)

8.如图，点P(3优-1,-2m+4)在第一象限的角平分线0c上，点A在无轴正

半轴上，点8在y轴正半轴上.

(1)求点尸的坐标.

(2)当NAP2绕点P旋转时，

①04+08的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值.

②请求出OI+OB?的最小值.

05对角互补模型综合应用（能力提升）

1.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZZ）=180°,E,尸分别是边BC,CD上的

点，且求证：EF=BE+FD.

2

【解答】证明：延长CB至使连接AM,如图所示:

VZABC+ZZ>=180°,ZABM+ZABC=180°,

：./ABM=ND,

在△ABM与△ADP中,

fAB=AD

-ZABM=ZD-

,BM=DF

/.AABM^AADF(SAS),

J.AF^AM,ZBAM=ZDAF,

'：ZEAF^^ZBAD,

2

ZDAF+ZBAE=-ZBAD=ZFAE,

2

：.ZBAM+ZBAE=ZEAF,

即/〃AE=NEAR

在与△AFE中，

'AI=AF

<ZMAE=ZFAE>

AE=AE

AAM£^AAF£(SAS),

：.EF=ME,

"：ME=BE+BM,

：.EF=BE+FD.

2.如图.在四边形ABCD中，ZB+ZADC=180°,AB^AD,E、尸分别是边BC、C£＞延

长线上的点，且NEAF=』/BA。，求证：EF=BE-FD.

2

【解答】证明：在BE上截取8G,使8G=QR连接AG.

VZB+ZA£)C=180°,ZA£>F+ZA£)C=180°,

ZB=ZADF.

在△ABG和△AD尸中，

'AB=AD

<ZB=ZADF-

BG=DF

/.AABG^AADF(SAS),

：.ZBAG^ZDAF,AG^AF.

：.ZBAG+ZEAD^ZDAF+ZEAD^ZEAF^—ZBAD.

2

：.ZGAE^ZEAF.

在AAEG和/中，

'AG=AF

-ZGAE=ZEAF>

AE=AE

A/\AEG^/\AEF(SAS).

：.EG=EF,

:EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

3.(1)如图1,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是边BC、CD

上的点，且求证：EF^BE+FD.

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+Z£)=180°,E、/分别是边8C、CD

上的点，且/外歹=工/胡。，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成

立，请写出线段EF、BE、包＞它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分别是边BC、

CD延长线上的点，且(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证

2

明；若不成立，请写出线段ERBE、ED它们之间的数量关系，并证明.

BECBE

图

图12

【解答】证明：(1)如图1,延长EB到G,使BG=OF,连接AG.

\,在△ABG与中，，

.".△ABG^AADF(SA5).

：.AG=AF,Z1=Z2.

：.Zl+Z3=Z2+Z3=ZEAF=^-ZBAD.

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易证aAEG丝△AEf.

BE

图1

：.EG=EF.

•；EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论EF=8E+FD仍然成立.

证明：如图2,延长CB至M,使8M=。尸，

VZABC+Z£>=180°,Zl+ZABC=180°,

.\Z1=ZZ>,

在△ABM与△AZ)/中，

.".AABM^AADF(SAS).

J.AF^AM,/2=N3.

'：ZEAF^^ZBAD,

2

：.Z2+Z4=-^-ZBAD=ZEAF.

2

：.Z3+Z4=ZEAF,即

在△4WE与△AFE中，

'AM=AF

-ZMAE=ZEAF>

AE=AE

/.AAM£^AAF£(SAS).

：.EF=ME,即EF=BE+BM.

：.EF=BE+DF.

(3)结论所=BE+fZ)不成立，应当是EF=BE-FD.

证明：在BE上截取BG,使8G=。凡连接AG.

'：ZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=1SO°,

：.ZB=ZADF.

•.,在△ABG与△A。/中，

.♦.△ABG之△AZ>/(SAS).

ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD^ZEAF=^ZBAD.

2

图3

：.ZGAE=ZEAF.

\'AE^AE,

易证aAEGg△AEF.

；.EG=EF

,:EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

4.(1)如图1,在正方形ABC。中，E、尸分别是BC,CD上的点，且/E4尸=45°.直

接写出BE、DF、所之间的数量关系；

(2)如图2,在四边形A8CZ)中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是8C,CD

上的点，且/EAE=2NBA£),求证：EF^BE+DF；

2

(3)如图3,在四边形A8CC中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,延长BC到点E,延

长CO到点「使得/胡F=工/氏4。，则结论是否仍然成立？若成立，请

2

证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明.

图1

【解答】解：(1)EF

如图1,将△的＞/绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得至QABP,

VZ£AF=45°,

AZEAF'=ZEAF=45°,

在△AEF和△AEP中,

AF=AF'

ZEAF7=ZEAF>

AE=AE

:.AAEF出AAEF'(SAS),

：.EF=EF',

又EF'=BE+BF'=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

(2)延长。3到G,使5G=F£>,连接AG,

VZABG=ZD=90°,AB=AD,

：.AABG^AADF(SAS),

：.ZBAG=ZDAF,AG=AFf

ZEAF=^ZBAD,

2

・•・ZDAF+ZBAE=ZEAFf

：.ZEAF=ZGAE.

：.AAEF^AAEG(SAS),

/.EF=EG=EB+BG=EB+DF.

(3)结论不成立，应为EF=BE-DF,

证明：在BE上截取3G,使BG=DF,连接AG.

VZB+ZAZ)C=180°,ZADF+ZADC=180°,

NB=ZADF.

9

：AB=ADf

：.AABG^AADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD

=ZEAF=^ZBAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

VAE=AE,

/.AAEG^AAEF(SAS).

：.EG=EF

9：EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

5.(1)方法感悟：

如图①，在正方形A5C。中，点及尸分

OC、5c边上的点，且满足NEA尸=45°,

EF.将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,易证AGAF之△EAR从而得到结论:

DE+BF=EF,根据这个结论，若CD=6,DE=2,求E尸的长.

(2)方法迁移：

如图②，若在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+Z£>=180°,E、尸分别是BC、CD上的

点，且试猜想DE,BF,跖之间有何数量关系，证明你的结论.

2

(3)问题拓展：如图③，在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZADC=180°,E、F分

别是边BC、CD延长线上的点，且试探究线段ERBE、尸。之间的

2

数量关系，请直接写出你的猜想(不必说明理由).

【解答】解：(1)方法感悟：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,

：.GB=DE=2,

AGAF^AEAF

：.GF=EF,

,:CD=6,DE=2

."£■=4,

'：EF2=CF2+CE2,

:q2=(8-EF')2+16,

：.EF=5；

(2)方法迁移：

DE+BF=EF,

理由如下：如图②，将绕点A顺时针旋转角度为NBA。的度数，得到△48”，

图②

由旋转可得，AH=AE,BH=DE,Z1=Z2,/D=/ABH,

'：ZEAF=^ZDAB,

2

：.ZHAF=Zl+Z3=Z2+Z3=^ZBAD,

2

：.ZHAF=ZEAF,

VZABH+ZABF=ZD+ZABF=\S0°,

:.点、H、B、/三点共线，

在△AEB和44毋'中，

，AH=AE

«ZHAF=ZEAF

AF=AF

:.△AEFgAAHF(SAS),

：.EF=HF,

,:HF=BH+BF,

：.EF=DE+BF.

(3)问题拓展：

EF=BE-FD,

理由如下：在BC上截取

图③

VZB+ZADC=180°,ZADC+ZADF=180°,

：.ZB=ZADF,KAB=AD,BH=DF,

:.△ABHHADF(SAS)

：.ZBAH=ZDAF,AH=AF,

,：ZEAF=-^ZBAD,

2

NDAE+NBAH=工NBAD,

2

：.ZHAE^—ZBAD^ZEAF,且AE=AE,AH^AF,

2

；.△”&£1三△硼E(SAS)

：.HE=EF,

:.EF=HE=BE-BH=BE-DF.

6.(1)阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=5,AC=3,求8C边上的中线4。的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长到点E使。E=A。，再连接BE,这样就把AB,AC,24。集中在△ABE中，利

用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围

是;

（2）问题解决：

如图②，在AABC中，〃是8C边的中点，DELDF于点D,DE交AB于点E,DF交

AC于点R连接ER此时：BE+CFEF（填“>”或“=”或“<”）；

（3）问题拓展:

如图③，在四边形ABC。中，ZB+Z£>=180,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点

作/ECF=70°，边CE,CP分别交A3,于E,尸两点，连接EF,此时:BE+DFEF

（填“>”或“=”或“<"）；

（4）若在图③的四边形A8CD中，ZECF=a（0°<a<90°）,ZB+Z£）=180,CB

=CD,且（3）中的结论仍然成立，则（用含a的代数式表示）.

【解答】解：（1）在△ADC与△ED8中，

AAA£>C^A£Z)B(SAS),

：.BE=AC=3,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即2cAE<8,

.\2<2AD<8,

.\1<AD<4,

故答案为：2cAE<8；1<AD<4；

(2)如图，延长尸。至点G,使。G=Z)尸，连接8G,EG,

:点。是BC的中点，

：.DB=DC,

；/BDG=/CDF,DG=DF,

；.ABDG丝ACDF(SAS),

:.BG=CF,

■:EDLFD,FD=GD,

:.EF=EG,

在△5EG中，BE+BG>EG,

：.BE+CF>EF,

故答案为：〉；

(3)BE+DF=EF,

如图，延长AB至点G,使5G=OR连接CG,

VZABC+Z£>=180°,NA8C+NC3G=180°,

：・/CBG=ND,

又,：CB=CD,BG=DF,

・••△CBG注ACDF(SAS),

:・CG=CF,NBCG=NDCF,

VZBCZ)=140°,NEC尸=70°,

：.ZDCF+ZBCE=70°,

：・/BCE+NBCG=70°,

：.ZECG=ZECF=70°,

又,：CE=CE,CG=CF,

:•△ECG空&ECF(SAS),

:.EG=EF,

•；BE+BG=EG,

:・BE+DF=EF,

故答案为：—；

(4)由(3)同理可得△CBG/Z^CDR

:・CG=CF,NBCG=NDCF,

若BE+DF=EF,

则EG=EF,

：./\ECF^/\ECG(SSS),

:・/ECG=NECF,

：.ZBCD=2ZECF=2a,

故答案为：2a.

7.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长

边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边

相等，从而解决问题.

(1)如图1,△ABC是等边三角形，点。是边下方一点，连结D4、DB、DC,且

/BDC=120。，探索线段D4、DB、。。之间的数量关系.解题思路：延长DC到点E,

使CE=BD,连接AE,根据NA4C+2OC=180°,则/ABO+NAC£)=180°,因为NACD+

NACE=180°可证ZACE,易证得△A3。丝△ACE,得出△ADE是等边三角形，

所以从而探寻线段ZM、DB、OC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直

接写出ZM、DB、0c之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图2,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边8C下方一点，Z

BDC=90。，探索线段ZM、DB、0c之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为2c机的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直

角边等于斜边一半，则尸。的长为cm.(结果无需化简)

VAABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

,:NBDC=120°,

：.ZBAC+BDC=180°,

AZABD+ZACD^180°,

VZACD+ZACE=180°,

ZABD^ZACE,

在△ABO和△&<?£1中，

J

AAABD^AACE(SAS),

：.AD=AEf/BAD=/CAE,

：.ZDAE=ZBAC=60°,

是等边三角形，

J.AD^DE,

：.DA=DE=DC+CE=DB+DC；

故答案为：DA=DB+DC；

(2)如DA=DB+DC,

理由如下：延长