2023北京西城区高二（下）期末数学试卷和答案

高中PAGE1高中北京西城高二（下）期末数学2023.7本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．等差数列，1，4，…的第10项为（）A．22B．23C．24D．252．设函数，则（）A．1B．C．0D．3．某一批种子的发芽率为．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（）A．B．C．D．4．记函数的导函数为，则（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数5．在等差数列中，若，，则当的前项和最大时，的值为（）A．5B．6C．7D．86．某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（）A．80万吨B．90万吨C．100万吨D．120万吨7．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（）A．B．C．D．8．在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（）A．6B．3C．4D．29．设随机变量的分布列如下：12345则下列说法中不正确的是（）A．B．当时，C．若为等差数列，则D．的通项公式可能为10．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。11．函数的定义域为________．12．在等比数列中，若，，则________．13．若函数在处的切线与直线平行，则________．14．抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为________．15．已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：①可能为等差数列；②中最大的项为；③不存在最大值；④的最小值为36．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值．17．（本小题13分）已知等比数列的公比，，且，的等差中项等于．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，证明：数列为等差数列．18．（本小题14分）某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（Ⅰ）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）19．（本小题15分）某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元．（Ⅰ）设该轮船航行速度为，试将其每小时的运输成本表示为的函数；（Ⅱ）当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？20．（本小题15分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数存在两个不同的极值点，，证明：．21．（本小题15分）设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．（Ⅰ）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明）①等差数列：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…．（Ⅱ）已知数列具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；（Ⅲ）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。1．D2．B3．C4．B5．A6．B7．D8．A9．D10．C二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分。11．12．13．014．15．③④注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题：本大题共6小题，共85分。其他正确解答过程，请参照评分标准给分。16．（本小题13分）解：（Ⅰ）由，得．2分则，，4分所以曲线在点处的切线方程为．6分（Ⅱ），，由，得x=0或．7分随着的变化，，的变化情况如下：2-0+极小值9分所以的单调递增区间为，单调递减区间为．从而的最小值，解得．11分又因为，，所以在区间上的最大值．13分17．（本小题13分）解：（Ⅰ）由，的等中项等于，得，2分所以，即．4分解得或（舍）．6分由，得．7分所以．9分（Ⅱ）因为，11分所以，．所以数列是首项为3，公差为的等差数列．13分18．（本小题14分）解：（Ⅰ）共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，1分所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为．3分（Ⅱ）由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为；4分从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为．5分由题设，的可能取值为0，1，2．6分且；；．9分所以的分布列为：01210分的数学期望．11分（Ⅲ）．14分19．（本小题15分）解：（Ⅰ）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元），则，其中．2分由题意，得，解得，故．4分所以每小时的运输成本，其中．6分（Ⅱ）该轮船每千米的运输成本，8分求导，得，其中．10分令，解得．11分由，解得；故在区间上单调递增；由，解得；故在区间上单调递减．13分所以当时，取得最小值．故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为9.6元．15分20．（本小题15分）解：（Ⅰ）函数的定义域为，1分且．3分由，得．4分随着的变化，，的变化情况如下：2-0+极小值6分所以的单调递增区间为，单调递减区间为．7分（Ⅱ）由题意，得，．由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根，即方程存在两个不同的正实数根，，9分所以，即．10分又因为，，，，所以．12分令，其中，13分由，得在上单调递增，所以，即．15分21．（本小题13分）解：（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质．3分（Ⅱ）由数列具有性质，得，所以，即，所以数列：，，，…，，…是等差数列．4分又因为，，所以数列的公差，同理，得数列：，，，…，，…是等差数列，公差．5分①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是，所以数列的最小项为1，这与矛盾；②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾；6分③若且，则为递减数列，为递增数列．由，得3为数列中的项，所以只能是，且；同理，可得0为数列中的项，所以只能，．此时，的通项公式为．8分④若，，类似③的讨论可得，．此时，的通项公式为．综上，的通项公式为或．9分（Ⅲ）由数列1，1，2，2，3，3，…，，，，，，，…不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且．类似地，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，，，，…不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得．所以的最小值大于或等于5．11分以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”．因为具有性质，即，所以对于，是等差数列；同理，由具有性质，得对于，是等差数列．12分由，，，，，，…为等差数列（记公差为），且，，，，，，…为等差数列（记公差为