圆的方程高频考点精练（解析版）2024年高考数学一轮复习（艺考生基础版）

圆的方程(精练)

A夯实基础

一、单选题

1.(2022,山西,朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习)一个圆的标准方程为尤2+(尹1)2=9,

则此圆的圆心与半径分别是()

(1,0),9(-1,0),3

(0,1),9(0,-1),3

【答案】D

【详解】圆Y+(y+iy=9的圆心坐标为(0,—1),半径为3.

故选：D.

2.(2022•江苏南通•高二期中)已知圆M：%2+y2-6x+2y+5=0,则该圆的圆心坐标为

()

A.(-3,1)B.(-3,-1)C.(3,1)D.(3,-1)

【答案】D

【详解】圆/+/一6了+2、+5=0化为标准方程得

(x-3)2+(y+l)2=5,

所以圆心坐标为(3,-1),

故选：D

3.(2022•河南•驻马店市第二高级中学高二阶段练习)圆(x+2y+(y-12)2=4关于直线

尤-y+6=0对称的圆的方程为()

A.(尤+6)~+(y+4y=4B.(x-4y+(y+6了=4

C.(.r-4)2+(y-6)2=4D.(x-6)2+(y-4)2=4

【答案】D

【详解】由圆的方程(工+2)2+(〉-12)2=4可得，圆心坐标(-2,12)半径为2,

由题意可得关与直线x-V+6=0对称的圆的圆心为(-2,12)关于直线对称的点，半径为2,设

〃一2Z7+12/

-----------+6=0

22

所求圆的圆心为(外切，则,解得〃=6,。=4,

b-12«

故圆的方程为(x—6)2+(y_4)2=4

故选：D

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4.(2022・海南•琼山中学高二期中)已知方程f+y2+J赢+2y+2=0表示圆，则实数机

的取值范围为()

A.(1,+«>)B.(2,+oo)C.(3,+oo)D.(4,-H»)

【答案】D

【详解】因为方程/+9+诟x+2y+2=0表示圆，

所以(而了+22-4X2>0,解得机>4.

故选：D

5.(2022•北京•清华附中朝阳学校高二期中)若直线2x+y-l=0是圆/+,2-2依+“2_1=0

的一条对称轴，则()

11

A.—■B.C.1D.—1

22

【答案】A

【详解】由圆丁+/一2四+/-1=0,整理可得(x-a/+y2=l,则圆心为(a,0),

由题意，直线2无+，-1=。过圆心(a,0),贝1]2。+0-1=0,解得a=g,

故选：A.

6.(2022•天津益中学校高二期中)已知圆的方程必+/+2办+9=0圆心坐标为(5,0),则

它的半径为()

A.734B.16C.5D.4

【答案】D

【详解】由题意，x2+y2+2<xv+9=0,(x+a)2+y2=-9+a2,圆心坐标为

(-67,0),.-.-67=5,0=-5,半径为J-9+=4:

故选：D.

7.(2022,浙江•元济高级中学高二期中)若点4(。,2)不在圆(x-l)2+(y+I)2=5a的外部，

则实数。的取值范围为()

A.[1,5]B.[2,5]C.[3,5]D.[4,5]

【答案】B

【详解】解：因为点A(a,2)不在圆(尤-1产+(丫+1)2=5.的外部,

所以(a—1)"+(2+1)-<5a且a>0,

化简得：a2-7a+10<0

解得：2<a<5.

故选：B.

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8.（2022•宁夏•吴忠中学高二期中（理））若直线双十力=2（，〉0/>0）经过圆

14

犬+y2—2x—2y+l=0的圆心，贝!J一+7的最小值是（）

ab

79

A.-B.4C.5D.-

22

【答案】D

【详解】圆V+y2—2%—2y+l=0的圆心为（1,1）,

b4a

则a+b=2,14）（a+6）“丁屋5+24_9,

abab2222

24

当且仅当。=申6=3时等号成立，

故选：D

二、多选题

9.（2022•新疆•乌鲁木齐市第70中高二期中）已知圆C：/+y-4丈-14丫+45=0及点。（-2,3）,

则下列说法正确的是（）

A.直线依-y-2左+1=0与圆c始终有两个交点

B.圆C与x轴不相切

C.若点尸（九"Z+D在圆C上，则直线PQ的斜率为。

D.若M是圆C上任一点，则|"。|的取值范围为［2忘,6拒］

【答案】BD

【详解】依题意，圆。：。一2）2+（丫-7）2=8,圆心C（2,7）,半径一20，

对于A,直线米-y-2A+l=0恒过定点（2,1）,而点（2,1）在圆C外，则过点（2,1）的直线与圆

C可能相离，A不正确；

对于B,点C（2,7）到x轴距离为7,大于圆C的半径，则圆C与无轴相离，即圆C与x轴不

相切，B正确；

对于C,点尸（九7〃+1）在圆C上，则（加一2）2+（加-6）2=8,解得加=4,而点。（一2,3）,

m—21

则直线尸。的斜率为y=c不正确；

m+23

对于D,|CQ|=40，点。在圆C外，由|CQ|一r〈阿。4仁@+厂得：20W|M2|=60,D

正确.

故选：BD

10.（2022・广东广州•高二期中）在同一直角坐标系下，直线方+勿+c=0与圆

的位置可能为（）

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【详解】对于ABC,由圆的图象知圆心（。乃）位于第一象限，.b>0,

直线依+勿+。=。斜率女=一£<0,则A正确，BC错误；

b

对于D,由圆的图象知圆心位于第四象限，.二a〉。，b<0,

厂.直线ax+Z?y+c=0斜率左=一£>0,贝！JD正确.

b

故选：AD.

11.（2022•甘肃•敦煌中学高二期中）已知点打1,2）在圆C:Y+y2+依+4y+^+i=。的外

部，则上的取值可能是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】AC

）t2+16-4（^2+l）>0

【详解】由题意可得解得-2<左<2,

1+4+左+8+k2+1>0

故选：AC.

12.（2022•全国•高二）已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的

是（）

A.圆M的圆心为（4,—3）B.圆M经过点（3,2）

C.圆M的半径为25D.圆M不经过第二象限

【答案】AD

【详解】对于选项A、C,

圆M的一般方程为尤2+y2-8x+6y=0,

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则圆的标准方程为（尤一4）2+（y+3）2=25.

所以圆的圆心坐标（4,-3）,半径为5.

所以选项A正确，选项C不正确；

对于选项B,将（3,2）代入圆的方程，不满足，所以选项B错误；

对于选项D,令（x-4>+（y+3）2=25中的x=0,

得（y+3）2=9,；.y+3=±3,;.y=0或y=-6,

所以圆M被y轴截得的弦长为6,所以选项D正确.

故选：AD.

三、填空题

13.（2022・上海・复旦附中高二期中）已知点尸（2,1）在圆x+2加+Q0外,

则实数A的取值范围是

【答案][-'|'g]u（l'+00）

【详解】由题意题设方程表示圆，贝U（4-1）2+4万一44>。，2<g或

3

点尸在圆外，贝I」4+1+2(%—1)+2/1+2>。，A>--,

综上，丸的范围是（-]3，?1（1，+8）.

,31

故答案为：.

14.（2022・湖北•十堰市员邸日区第二中学高二期中）点”,N在圆f+丁+区+2y+4=0上,

且点关于直线％-y+l=。对称，则该圆的半径是.

【答案】1

【详解】由》2+/+日+2〉+4=0=>5+|02+(>+1)24-3,该圆的圆心坐为（-■|,-1

因为点在圆/+丁+田+2y+4=o上，且点关于直线x-y+l=0对称,

所以圆心卜•|,T）在x_y+l=0上，即_与_（_1）+1=0=%=4,

所以该圆的半径为若-3=后二=1，

故答案为：1

15.（2022•四川省科学城第一中学高二期中（理））若实数x、y满足/+产+4尤-2〉-4=。,

则产+产的最大值是.

【答案】14+675##6A/5+14

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【详解】将方程Y+y2+4x-2y-4=0化为(x+2y+(y-l)2=9,表示以(-2,1)为圆心，半径

为3的圆，

旧+9=7(x-0)2+(y-0)2表示圆上的点与原点之间的距离,

故始+产表示圆上的点与原点之间的距离的平方，

由(0+2)2+(0-1)2<9可知原点go)在圆内，且原点与圆心之间的距离为J(_2)2+F=占,

所以JV+y?的最大值为6+3,

所以三+产的最大值为即+3『=14+6技

故答案为：14+6省.

16.(2022•陕西•渭南市瑞泉中学高二阶段练习)若直线〃优+"丁=1为圆C：

14

%2+y2—4x—2y+i=o的一条对称轴，且加>0,K>0,则丁+—的最小值为___________.

2mn

【答案】9

【详解】•；V+y2-4x-2y+l=0,即(x-2『+(y-l)2=4,则圆C的圆心为C(2,l),

由题意可得：C(2,l)在直线2+利=1上，则痴+72=1,

14z,/14、n8m=.In8m=八、”口，r、“n”上年口

—+-=(2m+n)—+-卜——+——+5>2——x——+5=9,当且仅当——=—时等号

2mn12mn)2mn\2mn2mn

成立，

14

故2的最小值为9.

2mn

故答案为：9.

四、解答题

17.(2022•青海•西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司高二阶段练习)求满足下列

条件的圆的方程：

⑴经过点4(3,2),8(2,@,圆心在x轴上；

(2)经过直线2尤+y+l=O与x-2y+3=0的交点，圆心为点C(-2,l).

【答案】⑴(彳-3『+丁=4

(2)(x+2)2+(y-l)2=l

(1)

,、2。，(3-m)'+4=r2\m—3

设圆的方程为(尤-机)一+产=/，由题意得：，,解得：一，所以圆的方

(2-m)+3=r[r-2

程为(％-3)2+y2=4；

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(2)

\X=-1、/、

联立2x+y+l=0与x-2y+3=0,解得：,所以交点为,则圆的半径为

7(-1+2)2+(1-1)2=1,所以圆的方程为(x+2)2+(y—l)2=l.

18.(2022•辽宁实验中学高二期中)已知：40,5),B(l,-2),C(-3,-4)

(1)求ABC的面积；

(2)求ABC的外接圆方程.

【答案】⑴15

(2)(x+3)2+(y-l)2=25

【详解】(1)由题意可得：直线AB的斜率k=牛m=-7,\AB\=^(0-1)2+(5+2)2=5后,

则直线A3的方程为y=-7%+5,即7%+y—5=0,

点C(-3,-4)到直线AB的距离d=片："5|=3夜，

<72+12

故，ABC的面积为5=3恒目、1=15.

(2)设ABC的外接圆方程为/+9+m+政+尸=0,

"25+5E+/=0fD=6

则可得<5+D-2E+F=0,解得，£=一2,

25-3D-4£+F=0[F=-15

故ABC的外接圆方程x~++6x-2y-15=0,即(尤+3)+(y-1)=25.

B能力提升

19.(2022,北京市怀柔区第一中学高二期中)在平面直角坐标系中，已知点40,3),8(4,0),

M(-l,0),W.0),。为原点，以为直径作圆C.

(1)求圆C的方程；

⑵设尸是圆c上的动点，求S=|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.

【答案】(l)f+丁=1

⑵最大值为37,最小值为17

【详解】(1)M(-l,0),N(l,0)的中点为。(0,0)

则，以为直径的圆C的半径为厂=|。河|=1

所以圆C的方程为：x2+y2=l

(2)设尸(x,y),贝"2+/=1,Tg?=C°Sa(O<«<2^)

[y=sma

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贝！JS=|M+附2=X2+(y_3)2+(x_4)2+y2=2(%2+y2)_(6y+8x)+25

=27-(6)+8x)=27-(6sina+8cosa)

/\4

=27—lOsin(a+0),其中tan°=—

当sin(a+°)=-l时，S=|PA「+|P3「有最大值37.

当sin((z+0)=l时，S=|PA「+|P5「有最大值17.

20.(2022•天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中)已知点口2,0),圆C的圆心在直线

尤-y-5=0上且与y轴切于点M(0,-2),

⑴求圆C的方程；

(2)若直线/过点P且被圆C截得的弦长为40，求直线/的方程；

⑶设点。在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程.

【答案】⑴原一3产+(丫+2产=9

(2)3x+4y-6=0或x=2

S9

⑶(%-5)2+。+1)2