福建省宁德市2023-2024学年高二年级上册期末质量检测数学试题（解析版）

宁德市2023-2024学年度第一学期期末高二质量检测

数学试题

一、单项选择题（木题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

一二1

1.双曲线3的渐近线方程是（）

A.y-+^-xB.y=+y/3xC.y-+3xD.y=±-x

.一33

【答案】B

【解析】

【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.

2

【详解】在双曲线必―彳_=1中，a=l,b=6因此，该双曲线的渐近线方程为y=土百x.

故选：B.

【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.

2.已知等差数列｛q｝中，％=4,%=12,则%等于（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】

【分析】求出等差数列｛4｝的公差，即可求得牝的值.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则〃=七幺=\4=2,

故4=%+5d=4+5x2=14.

故选：B.

3.直线x+ay+l=O与依+y—1=0互相平行，则实数。的值等于（）

A.1B.-1C.1或-1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行可得出关于实数。的等式与不等式，即可解得实数。的值.

a2=1

【详解】因为直线x+ay+l=O与公+y—1=0互相平行，贝"，解得a=l.

。丰—1

故选：A.

4.学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选

择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（）

A.4种B.24种C.64种D.81种

【答案】C

【解析】

【分析】利用分步乘法计数原理进行求解.

【详解】3个年级段均有4种选择，故不同的选择方法有43=64种.

故选：C

5.已知等差数列｛4｝的前几项和为S”.若&7<0,«6+«10>0,则当S“取最大值时，九的值为

（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的基本性质可知，当〃W8时，an>as>Q,当〃29时，an<a9<0,即可得出结

论.

【详解】因为等差数列｛4｝的前〃项和为S",舟=17（4「7）=]7为<0,可得。9<0，

又因为4+。10=2%>0，则数列｛。,｝的公差为d=。9一。8<0，

所以，数列｛4｝为单调递减数列，

则当〃W8时，an>as>0,当时，an<a9<0,

故当〃=8时，S”取最大值.

故选：B.

6.若CQ=C笠2,则c；+C；+C；++C；的值为（）

A.45B.55C.120D.165

【答案】D

【解析】

【分析】利用组合数的性质求出加的值，再利用组合数的性质可求得c；+c；+c：++cj的值.

【详解】因为C③=C笠2,则加+加+2=22,解得加=10,

故C；+C；+C；+L+C；o=C；+C；+C+L+C；o=C：+C；+L+C；0

=C；+C；++或=...=1+或=C；］=165.

故选：D.

22

7.已知P是椭圆上+上=1上一动点，。是圆（%+2）2+丁2=1上一动点，点”（5,4）,贝|

1612

IPQITPMI的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得圆（x+2）?+y2=l的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到

尸耳|+1=8—|%|+1=9—|尸闾,然后由|PQ|-|PM|V9-（忸闾+|「河|）即可求解.

【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为大（—2,0）,耳（2,0）,

则圆（％+2『+_/=1的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得归司=2a—归闾=8—|尸闾，所以

|尸《＜|尸制+1=8-|尸闾+1=9-|尸闾,

又"|=J（5-2『+（4_0/=5，

所以|PQ|—|PM|V9—（|尸闾+|PM|）V9—|9|=4.

故选：B.

8.在数列｛4｝中，如果存在正整数T,使得4+7=金，对于任意的正整数，”均成立，那么称数列｛4｝

为周期数列，其中T叫做数列｛4｝的周期.己知数列｛玉｝满足%+1=|%—%N2,〃eN),如果

士=1,%=a(awR，awO)，当数列｛七｝的周期最小时，该数列前2024项的和是()

A.674B.1348C.1350D.2024

【答案】C

【解析】

【分析】对周期从小到大分类讨论求得符合题意的周期，由此即可顺利得解.

【详解】若数列｛五｝的周期为1，则12=°=%=1,但工3=1*2=1。—1|=0=1，矛盾，

所以数列｛五｝的周期不可能为1.

若数列｛七｝的周期为2,则且七=昆-七|=|。-1|=石=1，

又〃。0,所以解得。=2,

而当。=2时，乂=|毛—々I=1。2=马，矛盾，

所以数列｛七｝的周期不可能为2,

若数列｛叫的周期为3,则％2=。,玉=1，

且％3=|%2一%|=|〃一1,%4--

所以=Q+］或二Q-1,

又〃。0,所以,

且此时有毛=|%4一%3|=|1_|〃_"=%2=a，

所以二］_Q或_1=］+〃，

又〃。0,所以,

解得。=1符合题意，

当。=1时，数列｛七｝为：1,1,0,1,1,0,...,满足题意，

止匕时玉+W+%3=I+I+O=2,

2022

所以该数列前2024项的和是(石+X2+%3)++(%2020+%2021+%2022)+%2023+%2024=2XF1+1=135。.

故选：C.

【点睛】关键点睛：关键是求得符合题意的周期，结合周期即可顺利求和得解.

二、多项选择题（本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.数列｛4｝是各项为正数的等比数列，其前〃项和为5“，则下列说法正确的是（）

A.数列｛4+1+%｝是等比数列B.数列,是等比数列

C.｛log?。,,｝是等差数列D.邑、“、用成等比数列

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用等比数列的定义可判断ABD选项，利用等差数列的性质可判断C选项.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,对任意的“eN*，«„>0,则q>0,

对于A选项，%+2+%+】（4：[）=4,则数列｛a〃+i+4｝是等比数列，A对；

aa

,l+i+n%（q+l）

11an1[11

对于B选项，———=1=一,则数列一是等比数列，B对；

an+lanan+lQ["及，

对于c选项，log2«„+i-log2a“=log24包=log2q为常数，则｛log2an｝是等差数列，C对;

an

对于D选项，&J".*"")二"吁L+",

S2%(1+q)%(i+q)

S6_“l+q+q2+q3+q4+q5)_q(l+q)(l+q2+q4)_]+/+44丰%

q(1+q+q-+q')q(l+q)(l+q~)]+q~S?

所以，邑、S,、&不成等比数列，D错.

故选：ABC.

10.已知(3x+2)°=%++qoxi°,贝U()

A.tzo=2'°B.%—q+—4+L+%。=1

C./+。2+。4+L+%0=1D.展开式中二项式系数最大的项为第5项

【答案】AB

【解析】

【分析】设/(x)=(3x+2)i°=ao+qx+a2/++//°,利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系

数的单调性可判断D选项.

【详解】设/(x)=(3x+2)°=%

10

对于A选项，ao=/(O)=2,A对；

对于B选项，CLQ—q+a,—%++Go=f(—1)=(—3+2)=1,B对；

/"(1)=a“+a+a,+应++=5"'

对于C选项，X一

j(-1J—UQ-%+a?一/++4o=]

所以，a0+a2+a4++%=。=5,c错；

对于D选项，展开式共11项，展开式中二项式系数最大的项为第6项，D错.

故选：AB.

11.已知圆G"2+y2_2x—2y=0,过直线/:x+y—6=0上一点p作圆C1的两条切线，切点分别为

A、2则()

A./为圆C1上一动点，则最小值为

兀

B./APS的最大值为一

2

C.直线A3恒过定点

D.若圆C2+9-〃w:-〃y=0平分圆G的周长，则根+〃=4

【答案】AD

【解析】

【分析】求出圆心C1到直线/的距离，结合圆的几何性质可求出的最小值，可判断A选项；求出ZAPQ

的最大值，可得出NAPS的最大值，可判断B选项；求出直线A5的方程，可求出该直线所过定点的坐标，

可判断C选项；求出圆C1、圆G的公共弦所在直线的方程，分析可知，圆心G在公共弦所在直线上，可判

断D选项.

【详解】圆C1的标准方程为(X—iy+(y—1)2=2,圆心为半径为r=

|1+1-6|

对于A选项，圆心G到直线/的距离为d==272,

0

所以，若M为圆C1上一动点，则|儿研最小值为d-r=2应-&=0，A对;

对于B选项，如下图所示:

连接AG、BC、,则AC】，PA,BCX±PB,由切线长定理可得|丛|=归到，

因为|AC=|§G|，|照=|尸@，|PG|=|PG|，则△PAG也

所以，NAPC]=NBPC[,且sinNAPC]=­；=-：----：<—产=—,

|PCj|PCj2V22

jr

由图可知，NAPC为锐角，则0<NAPG〈C，当且仅当PC1人/时，等号成立,

6

JTJT

故4423=2/42£的最大值为2*2=2,B错；

对于C选项，设点P（a,b）,则a+Z?=6,

2222222

|PA|=|PC1|-|AC1|=(tz-l)+(Z?-l)-2=a+Zj-2a-2&,

所以，以点P为圆心，为半径的圆的方程为(x—。)2+6一切2="+)2—2Q—2),

即%2+y2-2ax-2by+2a+2b-Q,

将圆P的方程与圆G的方程作差可得（2。—2）x+（2〃—2）y—2。—2〃=0,

即(a—-1)y—a—b=0,即(a—l)x+(6—a—l)y—6=0,

x-y=03

整理可得。（％-,）一（兀一5,+6）=0,由<可得x=y=一

[x-5y+6=02

33

所以，直线直线A3恒过定点,C错;

2；2

对于D选项，若圆G：%2+丁2—如一〃y=0平分圆的周长,

将圆G、圆G的方程作差可得（加—2）x+（〃—2）y=0,

则圆心G在直线（m—2）尤+（7z—2）y=0上，即加—2+〃—2=0,可得"z+”=4,D对.

故选：AD

【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下：

（1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；

（2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的

坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程；

（3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦

所在直线的方程.

12.已知曲线C:x|x|—23=1,9（々，兀）为。上一点，则以下说法正确的是（）

A.曲线。关于原点中心对称

B.%：+尤的取值范围为工+8）

C.存在点夕（々，兀），使得2/一%=一1

D."。-%+词的取值范围为（后2血+6

【答案】BD

【解析】

【分析】由题可得到曲线的不同方程，作出曲线的图形，结合所得方程可判断A；根据的几何意义结合条

件可判断B；根据双曲线的性质可判断C；根据椭圆方程及点到直线距离公式结合条件可判断D.

x2-^=l,x>0,^>0

【详解】曲线C的方程为《八〉,谷0,"0,

-x2+—=l,x<0,y<0

对于A,设（尤,y）在曲线C上任意一点，把点（―尤,—y）代入曲线C的方程，

得-x国+习凶=1,与原方程不一样，所以曲线。不关于原点中心对称，故A错误;

114

对于B,当点尸在必+匕=1,(x20,y<0)上时,y<0）,且。4/工1,

因为%；+y；=xo+4（1）=-+4,所以1<—3%；+4<4,即lV%：+y：<4；

22

当点尸在炉―（=1,（X20,丁20）上时，有焉一半=1,（%之0,丁20）,

且七21,因为其+尤=尤：+4（/：-1）=5%：-4,所以5%：—421,即％;+y；21；

22

当点p在——+?=1,（工<0,y<0）上时，有—年+牛=L（x<0,y<0），

且毛<0,因为/+券=苍+4（君+1）=5x；+424,即片+y；»4,

综上入；+y；的取值范围为口,+8）,故B正确；

22

对于C,若点P在曲线。：/+'=1,（%20,丁<0）上时，有片+?=1,此时2%—%〉0,不可能有

2%一%=T;

2

当点P在曲线。：/一,=1,（》20»20）上时，曲线C的渐近线方程y=2%,

2

当点P在—/+?=1,（工<0,y<0）上时，曲线C的渐近线方程y=2%,

如图，因为直线2x—y=-l与渐近线方程y=2无平行，所以不存在点？（%,%）,

使得2%一%=-1，故C错误；

对于D,因为|2玉1—%+J目可看作「（％,%）到直线2x—y+=0的距离的百倍，，

因为直线2x—y+JM=O与y=2x平行，且之间的距离为1,故|2%-%+逐,1,

由图可知，当点「（不，%）在曲线。：/+1=1,（%>0,丁<0）上时点P到直线2%—丁+450的距

离有最大值，设x=cosO.y-2sin9,(cos0>O.sin^<0),

点尸到直线2x—y+J5=0的距离为

|2cos"2sin6+喝28cos,+£]+有标0+国，

45-75V5

当且仅当35]夕+；]=1等号成立，即,o—2%+布上20+«,

所以|2x0—%+逐|的取值范围为（、后,272+75],故D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：首先讨论乂丁的符号得到曲线c的方程，再由各曲线的性质，结合图形逐项分析得

到答案.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）

13.直线/的一个方向向量为丫=。,-6）,则该直线的倾斜角为.

【答案】120

【解析】

【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.

【详解】设直线/的倾斜角为a,则o<«<180，

因为直线/的一个方向向量为丫=0,-6）,

则tana=f=-6，故a=120.

故答案为：120.

14.宁德北路戏是珍贵的国家非物质文化邀产.在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》、《反五关》、

《龙虎斗》、《宏理缘》、《旗王哭将》五个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，

则不同的节目安排种数为（用数字作答）.

【答案】72

【解析】

【分析】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序，然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两

个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个节目中形成的四个空位中的两个空位，利用插空法可

得结果.

【详解】先将《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》三个节目进行排序，

然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》、《反五关》、《龙虎斗》这三个

节目中形成的四个空位中的两个空位，

由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A；A；=6x12=72种.

故答案为：72.

15.已知数列｛。,｝的前〃项和为5“，满足=aa+i-Lq=2,贝iJS“=.

【答案】3x2"T—1

【解析】

【分析】根据题意结合an与之间的关系整理可得Sn+X+1=2（S„+1）,进而结合等比数列的定义与通项

公式分析求解.

【详解】因为S.=4M—l,q=2,贝

整理得S"+I+1=2（S“+1）,且S]+1=3/0,

可知数列｛S,,+1｝是以首项为3,公比为2的等比数列，

可得+1=3x2"。所以=3x2"T—1.

故答案为：3x2"-'-1.

22

16.已知双曲线。：=—斗=1（。>04>0）的左、右焦点分别为耳、B，过点耳作倾斜角为30的直线

ab

/与C的左、右两支分别交于点P、Q,若NP8Q的角平分线交牝于点£>,且|尸a=2]。2],则双曲

线C的离心率为.

【答案】y/2

【解析】

【分析】推导出。鸟，PQ,结合图象，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.

【详解】如图所示，因为若NP&Q的角平分线交于点O,且归。|=2|。0,

则。为尸。的中点，且/尸耳。=/。8。，

因为,即gpT讣07讣也/「7弘＞=!。月卜|跋忖11/08“

所以，忸鸟|=依闾，则_LPQ,

由题得耳（一。,0）,由（G。），设阊=〃，|QE|=s,|咫|=/,

在Rt△。耳区中，Z^DF2=90,ND可6=30,则/i=c,|。叫=辰,

—QF=|PQ|+(-S=2a

由双曲线性质可得2解得|PQ|=4a,

PF?—PF、=s—t=2a

22

^\PD\^\QD\=2a,所以在R3QD巴中，s=^c+(2a)，

又f=|。闻一俨。|=V§c—2a,s—t=2a,所以｛c?+(2a]=2a,

即"+伽『=&,整理得2a2=°2,所以6=：=也.

故答案为：V2.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、C的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于。、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步频.）

n

17.已知］炉+2］的展开式中的所有二项式系数之和为64.

X

（1）求”的值;

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）n=6

（2）240

【解析】

【分析】（1）利用二项式系数和可求得”的值；

（2）写出展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【小问1详解】

解：展开式中所有二项式系数之和为2"=64,解得"=6.

【小问2详解】

解：由（1）知〃=6

所以展开式通项为4+i《(炉厂仔］=TC"5(r=0,l,2,,6),

J

令12—3r=0,解得r=4,则7；=24(2：=16x15=240,

所以展开式中的常数项为240.

18.我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项

和的乘方规律.此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”.在此图中，从第三行开始，首尾两数为1,其

他各数均为它肩上两数之和.

（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1,3,6,10,15,…写出a”与

明eN*,“22）的递推关系，并求出数列｛«„｝的通项公式;

（2）求数列<二->的前〃项和S”.

【答案】（1）

_2n

⑵S”

n+\

【解析】

【分析】（1）找到递推公式=〃，借助累加法及等差数列的求和公式求和即可;

12J11）

（2）表示出一一-=2----------,利用裂项相消法求和即可.

ann（n+1）n+\）

【小问1详解】

由“杨辉三角”的定义可知：卬=1,〃之2时，4—4_]=〃，

aaa+att+

-'-n={n~n-l)(n-l~„-2)+(。2.4)+q=〃+(“-D++2+1=

）

贝n1^,二七n{n+’1.

【小问2详解】

由（1）知4;i

12

所以广;^=2|----

\nn+1

c111111ii2n

则S〃=—+—+—++—=2++

dyd?T+23nn+12T〃+1

19.在等腰梯形ABCD中，AD//BC,A（0,若），B（-1,O）,C（3,0）.

（1）求5。所在直线的方程；

（2）求过点C且被三角形ABD的外接圆所截得的弦长为2夜的直线/的方程.

【答案】⑴x-岛+1=0

（2）x+y-3=0或x—y-3=0

【解析】

【分析】⑴解法一：根据AD〃5C,设。（私6）,由|AB|=|CD|且忸C可求出用的值，可得出

直线5。的斜率，利用点斜式可得出直线3。的方程；

解法二：证明出AB1AC,计算出NACB的大小，推导出可得出的值，

可得出直线BD的斜率，利用点斜式可得出直线BD的方程；

（2）解法一：利用待定系数法求出△A3。的外接圆方程，利用勾股定理求出圆心到直线/的距离，对直

线/的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线/的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，即可得出

直线/的方程；

解法二：分析可知，△A3。的外接圆为一A5C的外接圆，求出该圆的方程，利用勾股定理求出圆心到直

线/的距离，对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线/的方程，利用点到直线的距离公式求出参

数的值，即可得出直线/的方程.

【小问1详解】

解：解法一：在等腰梯形ABCD中，因为A（0,V3）,C（3,0）,

则上8c=0，所以设。（私

[±||AB|=|CD|MICD|=^（m-3）2+3=2.即m=2或机=4,

又因为|">上的，即|小4,所以加=2,即。倒，9,所以即。=夸=#，

所以3。所在直线方程为y=[（x+1）,整理得x—Qy+1=0.

解法二：如图所示在等腰梯形ABCD中，

AD

R

因AD//BC,A（0,V3）,8（—1,0）,C（3,0）,则45=卜1,—6）,AC=（3,-73）,

所以，ABAC=-3+3=Q^则ABIAC,所以，ABC为直角三角形，

\AB\2J3

因为tanNACB=^~

\AC\2上3

TT

因为NACB为锐角，则NACB=：,

6

因为|AB|=|CD|,忸q=|CB|,ZABC=ZDCB,所以，AABC必DCB,

则/£>5。=4磁=6，所以凝D=tan《=#，

所以3。所在直线方程为y=¥（x+1）,整理得X—Gy+1=0.

【小问2详解】

解：设三角形45D外接圆的方程为f+y2+7汽+Ey+P=o,

3+6E+F=。m=-2

因为A(0,句，5(—1,0)，D[2网,则1—m+F=0解得＜E=0,

1+2m+j3E+F=0F=—3

所以三角形ABD外接圆的方程为三+丁—2x—3=0,即(％—I?+/=4,

故圆心坐标(1,0),半径r=2,

因为弦长2J5，所以圆心到直线/的距离/=JFW=V2，

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=3,此时，圆心到直线1=3的距离为2,不合乎题意,

所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为丁=左(X—3),即依->-3左=0,

所以d==A/2,解得k=+1,

收J+।i

所以直线/的方程为x+y—3=0或x—y—3=0.

解法二：因为四边形A5CD是等腰梯形，所以A、B、C、。四点共圆，

故△A3。的外接圆即.工5。的外接圆，

因为AB1AC,且线段的中点为(1,0),且忸。|=4,

由⑴可知，△A3。得外接圆以(1,0)为圆心，半径为r=2,

因为弦长2行，所以圆心到直线/的距离d=JF=5=、历，

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为1=3,此时，圆心到直线x=3的距离为2,不合乎题意,

所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为丁=左(1—3),即丘-丁-3左=0,

所以d=J।=A/2,解得k=±[,

VF+i

所以直线/的方程为x+y—3=0或x—y—3=0.

20.抛物线V=2Px(p>0)被直线y=2x—3截得的弦的中点M的纵坐标为1.

(1)求P值及抛物线的准线方程；

(2)过抛物线的焦点尸作两条互相垂直的直线小心直线人与抛物线相交于A,3两点，直线乙与抛物

线相交于C,D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值.

【答案】(1)p=2；准线方程为1=—1；

(2)32

【解析】

【分析】（1）解法一：联立y=2x-3与抛物线方程，得到两根之和，根据中点M的纵坐标得到方程，求出

P=2,得到准线方程；

解法二：点差法进行求解，结合直线斜率求出夕=2,得到准线方程；

（2）解法一：设直线A3的方程为1=阳+1,联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦

长公式计算出|A4,|cq表达出5=82+m2,利用基本不等式求出最值;

解法二：设直线A3的方程为丁=左（％-1）,联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公

式计算出,表达出s=812+Y+i],由基本不等式求出最小值.

【小问1详解】

解法一：设抛物线y2=2px与直线y=2x—3交于S（%,y）,T（x2,y2）.

y=2x-3,

〈2整理得,一—py—3P=0,

y=2px.

所以％+%=。，

因为y”="%=i

所以夕=2,

则抛物线方程为＞2=4x,准线方程为x=-l；

解法二：设抛物线产=2川与直线y=2x-3交于S（x»J,T（x2,y2）.

因为截得的弦的中点M的纵坐标为1，故石片々，%+%#0，

则

=2p%,

作差得u=q（%+%）=2p，

玉一%2%一%2

所以/-弓々=2'

因为％+为=2,所以p=2

则抛物线方程为F=4x,准线方程为x=—1

【小问2详解】

解法一：依题意设直线AB的方程为x=/ny+l,m^Q,4(%,%)，W%%).

x=my+l,.

联立方程组<2整理得V-4研-4=0,

7=4x,

%=4〃?

[%%=-4

所以|AB|=|AF|+1BF|=%+1+%4+1=加%+1+1+m丫4+1+1

=m(y3+%)+4=4加2+4

因为/R_LCD,直线CD的方程为》=—1y+l,

m

4

同理可得。。二丁+4

m

)2

所以S=-AB-CD=-(W+4-My+4=82+m+-^

22IZTZJIzzz

>82+2二32,

1八

当且仅当用9=—y,即加=±1时，取等号.

m

所以四边形A5CD面积S的最小值为32.

y

解法二：依题意设直线A3的方程为y=1),kwO,人(天,%)，3(%,%)•

'U'一"整理得上"(2%2+4卜+左2=0,

联立方程组《

X3+X4=2+g

故＜

*4=1

4

所以IAB|=|AF|+|BF|=X3+1+^4+1=4+—

因为

同理可得CD=442+4

所以S=LAB-CD=2+k2+

2

,1

当且仅当上2=9，即左=±1时，取等号.

所以四边形ABCD面积S的最小值为32.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值或范围.

21.已知数列｛%｝的前几项和为5“，数列］才j是公差为3的等差数列，数列|请1是公比为2的等比数

列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若2&<S2&,求正整数%的所有取值.

x

【答案】(1)an=n-T-

(2)1、2、3

【解析】

【分析】(1)解法一：根据题意可得出关于对、出的等式，解出对的值，再结合等差数列的定义可得出数

列的通项公式，进而可得出数列｛4｝的通项公式;

2"

解法二：根据题意可得出生=(+?、%=a/2"T,两个等式变形可得出(凡―〃?"，(〃―1)=0对

〃eN*均成立，即可得出数列的通项公式;

解法三：根据题意可得出关于4+1、4的等式组，即可解得数列｛4｝的通项公式；

(2)利用错位相减法可求得Sn，由<S2k可得出左2—4k+2—右<0,令/(x)=Y—4x+2—东

利用函数/(尤)的单调性可得出x"时，/(%)>0,即可出正整数左所有可能的取值.

【小问1详解】

解：解法一：因为《墨｝是公差为g的等差数列，是公比为2的等比数列.

所以2■一色=工且%■=2%,解得q=l,

4222

所以墨=与+(〃-l)x；=^,则

解法二：因为?是公差为g的等差数列,是公比为2的等比数歹！］.

4=4/T

所以①

2"-22

且2=o12"T,②

n

①x2"—②得•2"T)5—1)=0对“eN*均成立，所以%=〃•2"-】；

解法三：因为才是公差为g的等差数列,是公比为2的等比数列.

所以羽-①，且缶£=2②

2(“+1””代入①力+i4=(♦+1)。“〃・4=1

由②得4+1

n'2n+,2"-T-n2n-n~2

解得%=〃」2"T.

【小问2详解】

解：由(1)得2=4,所以a“=〃」2"T,

22

S„=1+2X2+3X22++n-2n-1,

2S„=2+2X22+3X23++n-2n,

1_2"

两式相减得—S,=l+2+22+23++2'T_".2"=----------n-2n=(l-n]2n-1,.

"1-2'7

所以S“=(〃—l)2"+l,则S2*=(2左—1)22"+1,2说=k?"i,

由2a；＜S2〃得左2.22i＜(2左一1)22^+1,即左？一4左+2一97r＜。，

令/(x)=x2—4x+2——，

因为函数y=必一4x+2,丁=—0二在（2,+8）上都是增函数，

所以函数/（力=/—以+2-了二在（2,+“）上是增函数，

13117

由/⑴=1—4+2-]=-：＜0,/（2）=4-8+2--=-y＜0,

"3）=9—12+2一；/（4）=16—16+2—卜2—?＞。,

贝IJ当xZ4时，/（X）＞O,

所以若24＜$2/,正整数％的所有取值为1、2、3.

22.点P在单位圆必+J=1上运动，点M的横坐标为点p的横坐标的2倍，纵坐标相同.

(1)求点M的轨迹「的方程；

(2)已知A、3为曲线「与x轴的左、右交点，动直线/交曲线「于C、£>两点(均不与A、3重合)，

记直线AC的斜率为左AC，直线3。的斜率为左B»，且心c=34BD，试问动直线/是否恒过定点?若过，求

出该点坐标：若不过，请说明理由.

2

【答案】(1)^+/=1

4-

(2)直线/恒过定点(—1,0)

【解析】

【分析】⑴设尸点坐标为(不，%)，/点坐标为(x,y),可得出X；+¥=1,由已知可得出Xo=^,yo=y,

代入等式君+北=1化简可得出曲线r的方程；

(2)解法一：分析可知，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为1=7肛+乙设点C(%,%)、

£>(七,%)，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据心c=3凝0结合斜率公式、韦达定理求

出/的值，化简直线/的方程，即可得出直线/所过定点的坐标；

解法二：分析可知，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为1=冲+乙设点C(%，x)、D(x2,y2),将

该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，推导出心C《BC=—；，结合心c=34可得出

2*42

(m+12)yiy2+m(t-2)(yi+y2)+(t-2)=0,代入韦达定理求出f的值，简直线/的方程，即可得出

直线/所