由不等式的整数解个数求参数范围问题讲义-高一上学期数学人教A版

由不等式整数解个数求参数范围问题在高一不等式专题学习和月考练习题中，经常出现这类问题：若有且只有一个整数解x0,使得fx0＜0或者fx0＞，求参数的取值范围；若恰有几个整数x1，x2，x3…使得fx这类题步骤相对复杂，许多学生遇到这类题思路混乱，导致解题不够理想，为此，笔者结合教学实际，整理了直接求解不等式后确定参数的取值范围题型的具体解题步骤，供学生学习参考。概括讲，解这类题，具体分三步：第一步：化为含参数不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）。第二步：对含参不等式分解因式（一般式子能十字相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的两根。则方程ax2+bx+c=0的解为x1,x2.关于x的不等式ax2+bx+c＜0即（x+x1）(x+x2)＜0。第三步：含参分析方程根的情况。比较分析方程两根的大小，确定取值范围。例1.若x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围。解题步骤：解：第一步：化为含参数不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）关于x的不等式x2+（m+1）x+m＜0即（x+m）(x+1)＜0。第二步：对含参不等式分解因式（一般式子能十字相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的两根。令（x+m）(x+1)=0。则方程x2+（m+1）x+m的解为x1=1,x2=m.第三步：含参分析方程根的情况。比较分析方程两根的大小，确定取值范围。由x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有两个整数，需要对不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集进行讨论。要比较1与m的大小。分类讨论：（1）当1＞m时.即m＜1，函数图像fx=x2+（m+1）x+m的开口向上，不等式fx=x2+（m+1）x+m＜0的解集在图像与x轴交点的中间，即m＜x＜1。则不等式的整数解为2、3.所以端点m的取值在数轴上处于4与3之间，且m能取4不能取3.所以4≤m＜3，即3（2）当1＜m时.即m＞1，函数图像fx=x2+（m+1）x+m的开口向上，不等式fx=x2+（m+1）x+m＜0的解集在图像与x轴交点的中间，即1＜x＜m。则不等式的整数解为0、1.所以端点m的取值在数轴上处于1与2之间，且m能取2不能取1.所以1＜m≤2，即2综上所述，实数m的取值范围[2,1）⋃（3,4]̣例0＜b＜1+a，若关于x的不等式（xb）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，求实数a的取值范围。解题步骤：解：第一步：化为含参数不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）关于x的不等式（xb）2＞（ax）2即（xb）2（ax）2＞0（可根据（a2b2=(ab)(a+b）分解因式）即[(a+1)x-b]̣·[(a1)x+b]＜第二步：对含参不等式分解因式（一般式子能十字相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的两根。令[(a+1)x-b]̣·[(a1)x+b]=0。则方程[(a+1)x-b]̣·[(a1)x+b]=0的解为x1=-ba-1,x2=第三步：含参分析方程根的情况。比较分析方程两根的大小，确定取值范围。由x的不等式[(a+1)x-b]̣·[(a1)x+b]＜0的解集中恰有两个整数，需要对不等式[(a+1)x-b]̣·[(a1)x+b]＜0的解集进行讨论。要比较-ba-1与ba+1的大小。显然-ba-1＜ba+1，所以不等式解集的左端点为由于0＜b＜1+a，故ba+1＜1，所以解集里的三个整数解恰好为2、1、0，从而左端点在3与2之间，且端点能取3，不能取2.即3≤-ba-1＜2，即2a2＜b≤3a因为b＜1+a，所以2a2＜1+a,所以a＜3.综上所述，实数m的取值范围（1,3）例x的不等式（2x+1）2＜ax2的整数解恰有3个，求实数a的取值范围。解题步骤：解：第一步：化为含参数不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）由题意可知a＞0.关于x的不等式（2x+1）2＜ax2，即（4a）x2+4x+1＜0，[(2a)x+1]̣·[(2+a)x+1]＜第二步：对含参不等式分解因式（一般式子能十指相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的两根。令[(2a)x+1]̣·[(2+a)x+1]=0。则方程[(2a)x+1]̣·[(2+a)x+1]=0的解为x1=-12-第三步：含参分析方程根的情况。比较分析方程两根的大小，确定取值范围。由（4a）x2+4x+1＜0的解集中有三个整数解，需要对不等式（4a）x2+4x+1＜0的解集进行讨论。不等式二次项系数（4a）范围不确定，要对其区分大于零、等于零、小于零进行讨论。分类讨论：（1）当（4a）＜0即a＞4.因为若（4a）＜0，函数图像fx=（4a）x2+4x+1的开口向下，不等式fx=（4a）x2+4x+1＜0的（2）当a=4时，函数fx=（4a）x2+4x+1＜0，即4x+1＜0，x＜（3）当（4a）＞0即0＜a＜4.不等式（4a）x2+4x+1＜0的解集为有限集。根据方程[(2a)x+1]̣·[(2+a)x+1]=0的解为x1=-12-a,x2=-12+a.因为0＜a＜4，可知a＜2a+2可知-12+a＜-12-a，所以不等式（4a）x2+4x+1＜所以，解集为-12+a＜x＜-12-a。（分析：知道了取值情况，要确定端点的取值。而又因-12+a＜14，所以解集里三个整数解恰好为0、1、2，解集右