圆锥曲线复习教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

圆锥曲线复习课一、教学内容及其解析1.内容：本节课是一节圆锥曲线复习课，主要内容包括圆锥曲线与方程，选自选择性必修课程中的几何与代数主题，这些内容中蕴含着运动变化思想，数形结合思想，并在坐标法的应用过程中得到进一步的体现.2.内容解析：内容的本质：解析几何是在直角坐标系中通过代数的方法研究几何问题的一门学科，其研究对象是几何图形，高中阶段主要包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等图形.在初中阶段平面几何的学习中，学生通过直观感知、操作确认的方式，主要研究了直线和圆这两类基本几何图形的定性性质，是高中阶段直线和圆的方程这一章的研究基础.通过对直线和圆的方程的学习，学生基本形成了利用坐标法研究几何图形的认识，并初步掌握利用坐标和方程，对直线与直线、直线与圆、圆与圆相关的位置关系和度量关系问题进行定量研究.“圆锥曲线与方程”是在“直线和圆的方程”的基础上，进一步用代数方法，在平面直角坐标系中研究圆锥曲线的几何特征、性质及位置关系.与此同时，解析几何把变量引入到数学中，使得人们可以借助数学对客观现象中的运动变化规律进行定量分析，也为微积分的创立奠定了基础.本节课知识上下位关系如图：解析几何解析几何直线圆圆锥曲线直线方程圆的标准方程定义定义标准方程坐标法定义坐标法定义坐标法定义描述几何性质简单应用圆的一般方程点斜式斜截式两点式截距式一般式直线与圆的位置关系类比类比带着问题结合知识网络图回顾一下本章学习的知识内容吧！你能说说用坐标法研究圆锥曲线的具体过程吗？在椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的研究中，椭圆是研究的第一类圆锥曲线，对双曲线、抛物线的研究，我们采用的是类比的方法，你能说说具体的类比内容吗？圆锥曲线的“统一性”体现在哪些方面？你如何理解圆锥曲线的“统一性”？数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用，你能举例说明吗？蕴含的数学思想和方法：解析几何是将几何问题转化为代数问题，通过代数运算得出结果，再用代数结果解释几何问题的“方法论”，主要包括数形结合思想、方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、坐标思想、运动变化思想以及坐标法、类比法.育人价值：通过圆锥曲线复习课，让学生感受数学文化的美，学会运用类比猜想探究问题，培养学生数学抽象、逻辑推理，数学建模、数学运算、直观想象、数据分析核心素养.教学重点：圆锥曲线的统一定义；圆锥曲线的光学性质；数形结合思想方法.二、学情分析高二年级学生已经具备了研究三种曲线的方法体系，本节课将通过对三种曲线的共同特征的研究建立统一的定义，从知识上完善圆锥曲线的定义，从研究方法上系统领会解析几何的研究思路.表面上学生对三种圆锥曲线的了解有一定的基础，但是深层次的领悟与归纳上存在欠缺，因此本节课让学生经历提出问题，解决问题，提出猜想，验证猜想，应用理论的探究教学活动中培养数学素养，养成良好的思维习惯.学生的思维缺乏深度与广度，需要教师引导，通过问题串联本节课的知识内容，拓展学生的横向和纵向思维，引导学生探究圆锥曲线的统一性，更深层次的理解数学结合的思想方法的重要.三、教学目标及其解析目标达成目标的标志1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的“个性定义”．能够正确解答问题1，并会解决目标检测中的圆锥曲线的定义问题2.领会数形结合思想方法的重要性.能够顺畅地将几何条件翻译成代数语言，并能用代数结果解释几何问题3.了解圆锥曲线的光学性质.在教师的引导下能够得出圆锥曲线的光学性质，并能利用光学性质比较严谨地解释光学现象四、教学问题诊断分析认知基础与将要达到水平的差异难点解决难点的策略学生已经学习完圆锥曲线这一章的内容，能够比较熟练地进行几何语言代数语言之间的互相转化本节复习课的目的在于引领学生感受本章知识的整体性和贯穿本章的思想方法主线，对于模块知识学生是比较好掌握的，但经常缺少对知识网的梳理，也欠缺这样的能力体会本章知识的整体性和重点思想方法通过教师带领学生进行本章知识的再梳理、问题串的引领以及三个任务的完成来突破难点五、教学支持条件分析动画演示六、教学过程任务一：感悟圆锥曲线定义的发展1.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹是，轨迹方程是.2.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是则动点的轨迹是，轨迹方程是.答案1：设由题意有即：化简可得答案2：设由题意有即即：即：整理可得：两边同除可得：问题1：你还能提出什么样的问题，这里存在什么结论？预设：学生能够由此得出圆锥曲线的统一定义.设计意图：圆锥曲线的“个性定义”的几何特征非常突出，但是圆锥曲线的统一定义表明三种曲线之间的内在联系，是非常重要的，所以任务一的目的是引导学生再梳理圆锥曲线的联系性、统一性，再感知解析几何中蕴含的思想方法.任务二：利用数形结合思想方法解决问题设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为,,过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点.（1）求椭圆方程.（2）若,求的值.（3）是否存在实数，使直线平行于直线?证明你的结论.问题1：解决解析几何问题的三部曲是什么？预设：先将题目中的几何条件转化成对应的代数语言，然后进行代数运算，最后将代数结果翻译成所求.师生活动如何解决解析几何问题：完成表格并解决问题几何条件代数语言离心率为上、下顶点分别为,，即过点，且斜率为的直线直线与轴相交于点即直线与椭圆相交于两点设直线平行于直线若，则所以答案（1）由题意所以可得椭圆方程为（2）由题意可设直线方程为则点坐标为设所以由题意，则有则有又可解得：（3）由题意可得若，则所以即即即即所以即整理得，无解所以不存在实数，使直线平行于直线.设计意图：本章数形结合思想和坐标法统领全局，教师带领学生反复进行几何条件代数化的过程，进一步体会数形结合思想方法在解析几何部分的重要性.任务三：了解圆锥曲线的实际背景之光学性质问题2：当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即入射角等于反射角.当光线从圆锥曲线的一焦点射出，经曲线上的一点反射后，会发生什么现象？（观察动画）动画演示地址：s:///resource_web/course/#/805549s:///resource_web/course/#/805550s:///resource_web/course/#/805552预设：从椭圆一焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线会交于椭圆另一个焦点上；从双曲线一焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的的延长线会交于双曲线的另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线会平行于抛物线的对称轴.1.如图，圆的半径为定长,是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？预设：由于点在线段的垂直平分线上，由图可知，且，根据椭圆的定义，点的轨迹是以两点为焦点的椭圆.追问1：观察图形，你还有什么发现？预设：的垂直平分线与椭圆相切，是切点.追问2：你能给出证明吗？预设1：没思路预设2：根据相切定义：直线与椭圆只有一个交点.追问3：显然，点已经是直线和椭圆的交点了，你有什么想法？预设：那么只需要证明直线上除了点在椭圆上外，没有其它的点在椭圆上了.追问4：如何证明点是否在椭圆上？预设：用定义.：如图所示，设为上任意一点，由于为线段的垂直平分线，则有，当且仅当与的垂直平分线与椭圆相切，是切点.追问5:若过点作的垂线，该垂线是否平分？预设：可证.追问6：当直线l斜率不存在时，是否也成立？预设：此时三点共线，还是可以认为l的垂线平.追问7：由此你得到了一个关于椭圆的什么性质？学生经过讨论总结，教师板书：性质1设圆的两个焦点，点为椭圆上的任意一点，为过点且与椭圆相切的直线，则过点且与垂直的直线平分.问题3：你能否利用这个性质解释说明椭圆的光学性质？预设：如图，当光线从射入经椭圆上的点反射时，过点作椭圆的切线,过点作切线的垂线，则该垂线就是光线反射的法线，根据性质1，该垂线平分，故根据光的反射原理，光线从射入经点反射后会经过.折纸试验：按照上面的习题，先在圆内标记一点，再在圆上标记一点，折叠使得点与点重合，出现一条折痕，这条折痕就是习题中的直线，重复上述做法，若干条折痕围成的轮廓线就是椭圆，大家试一试吧.课后思考题1：将上述问题中的定点移动到圆外，其他条件不变，点的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？2.如图，为一定点，为不经过点的定直线，在直线上任取一点，过点作的垂线，连接，设线段的垂直平分线交的垂线于点,点的轨迹是什么？你还有什么发现？（可用几何画板再画一次图）预设：学生动手操作，发现点Q的轨迹为抛物线，经过小组讨论和论证，得到了一个关于抛物线的性质：性质2设为抛物线的焦点，点为抛物线上任意一点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，为过点与抛物线相切的直线，则平分.）问题4：你能否利用这个性质解释说明抛物线的光学性质？预设：如图，当光线从射入经抛物线上的点反射时，过点作抛物线的切线,过点作切线的垂线，则该垂线就是光线反射的法线，根据性质3，切线平分，故根据光的反射原理，光线从射入经点反射后的反射光线平行于抛物线的对称轴(垂直于抛物线的准线).解决下面数学问题，来数学地感受抛物线光学性质吧！若抛物线的焦点为,从点发出的光线经过抛物线的点反射，求证反射光线平行于抛物线的对称轴.求反射光线的流程：求过点的抛物线的切线方程求过点与垂直的直线方程求点关于对称的点求反射光线所在直线方程证明：显然过点的切线的斜率存在，设则有则有：化简可得：，即则切线方程为则过点与垂直的直线方程：则设点关于对称的点，则有所以反射光线方程为.课后思考题2：国家大剧院为什么设计成椭球形？汽车的内反光镜的镜面是双曲线形，为什么反光镜内的视野会更开阔？为什么卫星信号接收器的曲面要设计成抛物线面？设计意图：教科书中在明确提出要利用信息技术进行探究活动，而圆锥曲线的光学性质“数学含金量”非常高，一方面通过对圆锥曲线光学性质的探究加深对定义的理解，另一方面感受数学的应用价值，提高数学学习兴趣.【课堂小结】通过本节课的学习你能再回答一下本节课开篇的几个问题吗？你能说说用坐标法研究圆锥曲线的具体过程吗？在椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的研究中，椭圆是研究的第一类圆锥曲线，对双曲线、抛物线的研究，我们采用的是类比的方法，你能说说具体的类比内容吗？圆锥曲线的“统一性”体现在哪些方面？你如何理解圆锥曲线的“统一性”？数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用，你能举例说明吗？七、目标检测设计1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．2.点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，则|PM|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．3．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为（）A．11 B．12 C．13 D．144．已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.八、作业设计1．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线2．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙