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文档简介

2024年中考数学高频考点突破—圆的切线的证明

1.如图,已知AB为「。的直径,点C为外一点,AC=BC,连接OC,DF^AC

的垂直平分线,交OC于点尸,垂足为点E,连接AD、CD,S.ZDCA=ZOCA.

⑴求证:AD是。的切线;

⑵若CD=6,OF=4,求cos/ZMC的值.

2.如图,ABC内接于O,AB是。的直径,作N3CD=NA,8与AB的延长线

交于点。,DE1AC,交AC的延长线于点E.

⑴求证:CD是。的切线;

(2)若CE=2,DE=4,求AC的长.

3.如图,点E在以为直径的圆。上,点C是BE的中点,过点C作C。垂直AE,

交AE的延长线于点。,连接8E交AC于点

⑴求证:8是圆。的切线.

4

⑵若cosNCAO=g,BF=15,求AC的长.

4.如图,AB是〈。的直径,尸为一O上一点,AC平分交(。于点C.过点C作

8,Ab交项的延长线于点。.

⑴求证:8是,:。的切线.

(2)若0c=6,AB=13,求"的长.

5.如图,Rt^ABC中NBC4=90。,AE2=ADxAC,点。在AC边上,以8为直径

(1)求证48是。的切线;

(2)若5=00=1,求BE的长度.

6.如图,在.ABC中,AE是它的角平分线,NC=90。,48=30。,。在A8边上,A£>=4,

以AO为直径的圆O经过点E.

(2)求图中阴影部分的面积;

7.如图,在RtAABC中,ZACB=90°,。是3C边上一点,以。为圆心,0B为半径

的圆与相交于点O,连接C。,且CD=AC.

试卷第2页,共6页

A

⑴求证:8是:。的切线;

⑵若NA=60。,AC=2抬,求80的长.

8.如图,在.ABC中,点。是8c中点,以。为圆心,8C为直径作圆,刚好经过A点,

延长8C于点。,连接AD已知NCAO=NB.

(1)求证:是。。的切线;

⑵若BD=8,tanB=g,求。。的半径.

9.如图,。是.A3C的外接圆,A8为一。的直径,点E为。上一点,跖〃AC交

48的延长线于点尸,CE与交于点O,连接BE,^ZBCE^^ZABC.

⑴求证:EF是t。的切线.

3

(2)若跖=2,sinZBEC=-,求O的半径.

10.如图,在半径为10c根的。。中,A2是。。的直径,C。是过。。上一点C的直线,

且AZ)J_OC于点。,AC平分/BA。,点E是8c的中点,OE=6cm.

D

⑴求证:C。是。。的切线;

⑵求的长.

11.如图,在RfAABC中,ZC=90°,ZB=30°,点。为边AB的中点,点。在边BC上,

以点。为圆心的圆过顶点C,与边AB交于点D.

A

(1)求证:直线AB是。。的切线;

(2)若AC=g,求图中阴影部分的面积.

12.如图,AB为。。的直径,弦。0,至于£,连接AC,过A作Ab_LAC,交。。

于点尸,连接。R过8作尸,交。尸的延长线于点G.

(1)求证:BG是。。的切线;

(2)若NDE4=30。,DF=4,求/G的长.

13.如图,AC是。。的直径,。。与。。相交于点8,ZDAB=ZACB.

ci)求证:是。。的切线.

(2)若/AD3=3O。,DB=2,求直径AC的长度.

试卷第4页,共6页

c

14.如图①,AB是,;O的弦,OEJLAB,垂足为P,交AB于点E,且OP=3PE,AB=4A/7.

(I)求i。的半径;

(H)如图②,过点E作二。的切线CO,连接。2并延长与该切线交于点。,延长。4

交CD于C,求0c的长.

15.如图,以A3为直径作半圆。,C是半圆上一点,/ABC的平分线交,O于点E,

D为3E延长线上一点,且DE=FE.

(1)求证:AD为IO的切线;

(2)若AB=20,sin/E3A=0.6,求Cb的长.

16.如图,AB为0O的直径,C为BA延长线上一点,CD是。。的切线,D为切点,

0FLAD于点E,交CD于点F.

(1)求证:ZADC=ZA0F;

(2)若sinC=g,BD=8,求EF的长.

17.如图,AB、8是。。中两条互相垂直的弦,垂足为点E,且AE=CE,点、F是BC

的中点,延长FE交于点G,已知AE=1,BE=3,OE=6.

(1)求证:XAED父ACEB;

(2)求证:FGA.AD;

(3)若一条直线/到圆心。的距离”=正,试判断直线/是否是圆。的切线,并说明

理由.

18.如图,。。是△ABC的外接圆,为直径,过点。作OO〃8C,交AC于点D

(1)求/A。。的度数;

(2)延长。。交。。于点E,过E作。。的切线,交CB延长线于点R连接。尸交

于点G.

①试判断四边形CDEF的形状,并说明理由;

②若BG=2,AD=3,求四边形CDEB的面积.

试卷第6页,共6页

参考答案:

1.(1)证明见解析

⑵典

6

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得COLAB,由线段垂直平分线的性质可得

NZMC=NDC4,由ZDC4=NOC4可得ZDAC=NOC4,证明AD〃OC,从而可得结论;

(2)连接相,由线段垂直平分线的性质可得AF=AD=CD=CF=6,再由勾股定理求出相

关线段长即可.

【详解】(1)证明•••。为圆心,

OA=OB,

AC^BC,

:.CO_LAB,即/COA=ZCOB=90°,

DF是AC的垂直平分线,

:.AD—CD,

:.ZDAC=ZDCA,

•:ZDCA=ZOCA,

:.ZDAC=ZOCA,

:.AD//OC,

:.ZDAO=ZCOB=90°,即AO_LAB,

又AB是圆。的直径,

/.是'O的切线;

(2)解:连接AF,如图,

答案第1页,共60页

由(1)知,AD=CD,AE-CE,

・.・ZDCA=/OCA,DF_LAC,

:.CD=CF,AF=AD.

:.AF=AD=CD=CF=6,

在RtAO尸中,AF=6,OF=4,AO2+OF2=AF2,

AO=YIAF2-OF2=A/62-42=2石>

在RtAOC中,AO=2如,CO=CP+。尸=6+4=10,

AC2=AO2+OC2,

•*-AC=yjAO2+OC2=7(2^)2+102=2病,

/.AE=-AC=y[30,

2

•AEA/30

••cosZDAC=cosZDAE=-----=------.

AD6

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,切线的判定,勾股定

理以及求锐角余弦值,熟练运用相关知识解答本题的关键.

2.(1)见解析

(2)6

【分析】(1)如图,连接OC,则NAC3=90,ZA=ZACO,因为/3CD=NA,所以

ZBCD=ZACO,于是可证/OC£>=90,所以8是。的切线;

(2)由(1)结论及已知易证NACB=NDEC,所以BC//DE,再求证,AEDDEC,所以

DFFC

专=需,进而解得AC=6-

AEDE

【详解】(1)证明:如图,连接OC,

是:。的直径,

ZACB=90,

・•・ZACO+ZOCB=90°

OA=OC,

.\ZA=ZACO,

■:ZBCD=ZA

答案第2页,共60页

:./BCD=ZACO,

:.ZBCD+ZOCB=90°9即NOC£>=90,

0C是。的半径,

:./DEC=90,

ZACB=90,

・•・ZACB=NDEC,

s.BCHDE,

:./EDC=/DCB,

ZBCD=ZA,

:.ZEDC=ZA,

又ZE=ZE,

/.AEDDEC,

.DEEC

・・瓦―Bi'

._4__2

**AE~4"

:.AE=8,AC=AE-CE=8-2=6.

【点睛】本题主要考查切线的判定定理、平行线的判定、相似三角形的判定及性质;根据题

意作出过切点的半径是(1)问的关键;结合题意及审图发现相似三角形是(2)的关键.

3.(1)见解析

⑵16

【分析】(1)连接OC,根据垂径定理的推论可知班,根据直径所对的圆周角为90

度可知班,进而得出仞〃OC,根据AD_LCD可得OC_LCD;

答案第3页,共60页

(2)连接5C,根据直径所对的圆周角为90度可知NACB=90。,根据圆周角定理可证

4

ZCBE=ZCAD=Z.CAB,进而可得cosNCBE=cosZCAD=cosZCAB=g,在RtAABC中,

我4

设AC=43AB=5k,则BC=3左,再根据cosNC3E=——=一=—求出左值即可.

BF155

【详解】(1)证明:连接OC,如图所示,

点。是5E的中点,

/.CE=BC,

OCLBE,

是一。的直径,

:.AD±BE,

:.AD〃OC,

ADLCD,

/.OC1CD,

二.CD是圆。的切线.

(2)解:连接5C,如图所示,

是。的直径,

ZACB=90°f

点C是班的中点,

答案第4页,共60页

:.CE=BC,ZCAD=ZCAB,

/CAD=/CBE,

,/CBE=/CAD=/CAB,

4

cosNCBE=cosACAD=cosZCAB=—,

在中,设AC=43AB=5k,

则5C=,W2__g=3”

CLBC3k4

••cosNCBE==—=—,

BF155

k=4,

,\AC=4k=16.

【点睛】本题考查锐角三角函数,垂径定理,圆周角定理,切线的判定,勾股定理等,解题

的关键是掌握直径所对的圆周角为90度,同弧或等弧所对的圆周角相等.

4.(1)见详解

(2)5

【分析】(1)根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论;

(2)连接交AC与点E,首先借助圆周角定理证明四边形CETO为矩形,由矩形性质

可得EF=CD=6,OCYBF,利用垂径定理即可推导班-=12;然后在RrAB尸中,由勾

股定理计算"的长即可.

【详解】(1)证明:连接OC,如下图,

VACWZE45,

AFAC=ACAO,

":AO=CO,

答案第5页,共60页

ZACO^ZCAO,

:.ZFAC=ZACO,

:.AD//OC,

*.•CD±AF,

:.CDLOC,

*/OC为半径,

是。的切线;

(2)解:连接所,交AC与点E,如下图,

;A5为二。的直径,

ZAFB=90°,

:.ZDFE=180°—ZAFB=90°,

":CD.LAF,CD.LOC,

:.NFDC=NDCE=90°,

四边形CEED为矩形,

EF=CD=6,ZCEF=90°,即CEJL3尸,

•:OC为O半径,

BF=2EF=2x6=12,

...在如AB歹中,由勾股定理可得A7?=JAB?一所2='132-12?=5-

【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线

的判定与性质、勾股定理等知识,正确作出辅助线,灵活运用相关知识是解题关键.

5.⑴见解析

⑵6

答案第6页,共60页

【分析】(1)根据人彦=ADXAC得出=,ZA=ZA,得出:AEDs^c,可得

ADAE

ZAED=ZACE,由OC是直径,可得ZDEC=90。,则NDEO+/OEC=90。,又OD=OE,

得出NOEC=NOCE,等量代换可得NAED+NOED=90。,即可得证;

(2)在RCAOE中,勾股定理求得AE,证明AOEs6ABe,根据相似三角形的性质求

得的长,即可求解.

【详解】(1)解:如图,

AE2=ADXAC,

,AEAC

••一,

ADAE

又:ZA=ZA,

,AED^AEC,

ZAED=ZACE,

即/1=N2,

,/DC是直径,

ZDEC=90°,

即Z3+Z4=90°,

又OD=OE,

/•Zl=/4,

.*.12=14,

Z2+Z3=90°,

即OE_LAB,

:0E是半径,

.♦.AB是。的切线;

(2)VAD=DO=EO=OC=1,

答案第7页,共60页

AO=2,OE=1,AC=AD+CD=l+2=3,

在RtA4OE中,AE=^AO2-OE2=V3>

VABM。的切线,

・•.OE±AB,

:.ZAEO=ZACB,

又ZA=ZA,

;・AOESjABC,

.AO_AE

•・AB-AC?

即2_=旦

AB3

••AB=2^/^>

/.BE=AB-AE=j3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,勾股定理,切线的判定,掌握相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

6.(1)证明见解析

⑵mT

【分析】(1)直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出NC4E=NOE4,进而得

出NO£B=90。,即可得出答案;

(2)首先求出E。,8E的长,进而利用阴影部分的面积等于SEOB-S扇相⑺,进而得出答

案;

【详解】(1)证明:连接0E;

•・•AE平分/C4B

・・・ZCAE=ZEAB

,:AO=EO

・・・ZOAE=ZAEO

:.ZCAE=ZOEA

:.AC//EO

;ZC=90°

答案第8页,共60页

ZOEB=90°

,BC是,。的切线;

(2)解:,;/B=30°,ZOEB=90°

EO=-BO,ZEOB=60°

2

,/AD=4

:.EO=2,DO=2

:.30=4

/.BE=273

故图中阴影部分的面积为:

-EO.BE-60兀乂22网2兀

23603

【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法,正确得出BE的长是解题关

键.

7.(1)见解析

4

⑵丁

【分析】(1)连接OD由等腰三角形的性质及圆的性质可得NA=NAOC,/B=NBDO.再

根据余角性质及三角形的内角和定理可得/ODC=180。-(ZADC+ZBDO)=90°.最后由

切线的判定定理可得结论;

(2)根据等边三角形的判定与性质可得/OCO=/ACB-ZAC£)=30°.再由解直角三角形

及三角形内角和定理可得的度数,最后根据弧长公式可得答案.

【详解】(1)证明:连接OD

答案第9页,共60页

A

9:AC=CD,

:.ZA=ZADC.

•:OB=OD,

:.ZB=ZBDO.

丁ZACB=90°,

・•・ZA+ZB=90°.

・•・ZA£>C+ZBZ)O=90°.

:.ZODC=180°-(/ADC+NBDO)=90。.

又是OO的半径,

・・・CD是的切线.

(2)解:•:AC=CD=26,NA=60。,

・•・△AC0是等边三角形.

,ZACD=60°.

:.ZDCO=ZACB-ZACD=30°.

在RSOC£)中,OZ)=CZ)tanNZ)CO=2百.tan3()o=2.

VZB=90°-ZA=30°,OB=OD,

:.ZODB=ZB=30°.

:.ZBOD=180°-(NB+NBDO)=120。.

【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式,正确作出辅助线

是解决此题的关键.

8.(1)见解析

(2)。。的半径为3.

答案第10页,共60页

【分析】(1)连接AO,由等腰三角形的性质及圆周角定理得出/D4O=/CW+/CAO=90。,

则可得出结论;

(2)根据相似三角形的判定方法由相似三角形的性质推出

CDAC1

AD=W==求出。c=2,则可得出答案.

BD

【详解】(1)证明:连接AO,

・・・5C是直径,

・•・ZBAC=90°,

JZB+ZACO=90°,

*:OA=OC,

:.ZACO=ZOAC,

*:ZCAD=ZB.

:.ZDAO=ZCAD+ZCAO=90°,

:.OA±ADf

・・・AO是。。的切线;

(2)解:VZCAZ)=ZB,ZADC=ZBDAf

:.AACD^ABAD,

.ADCDAC

"BD~AD~AB9

*.*tanB=—,

2

・AC1

••一-,

AB2

.ADCDAC_1

••茄—AO_AB―2,

VBD=8,

.AD_1

••一,

82

答案第11页,共60页

:.AD=4,

CD=—AD=—x4=2,

22

:.BC=BD-CD=8-2=6,

的半径为3.

【点睛】此题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质以及圆周角定理.解决问

题的关键:(1)熟练掌握切线的判定方法;(2)正确证得

9.(1)过程见解析

(2)3

【分析】⑴连接OE,先根据圆周角定理及已知条件得出进而得出OE〃3C,

再由於〃。,根据平行线的性质得出/尸£。=/4。8,然后根据直径所对的是直角,即可得

出答案;

(2)先说明丫碗:NACB,再设的半径为r,并表示R9,AB,BC,然后根据对应

边成比例得出PO丝=—F0,根据比例式求出半径即可.

BCAB

【详解】(1)证明:连接0E.

,/NBCE=-ZABC,ABCE=-NBOE,

22

ZABC=ZBOE,

:.OE//BC,

:.ZOED=ZBCD.

':EF//CA,

:.ZFEC=ZACE,

:.ZOED+ZFEC=ZBCD+ZACE,

^ZFEO=ZACB.

,:AB是直径,

答案第12页,共60页

・•・ZACB=90°,

:.NFEO=90°,

:・FE1EO.

・・・EO是。的半径,

;,EF是:。的切线.

(2)EF//AC,

:・VFEO:NACB.

3

*:BF=2,sinZBEC=~.

设的半径为r,

6

:.F0=2+r,AB=2r,BC=-r.

5

..E0__F0_

・茄一茄

r2+r

解得r=3,

.••OO的半径是3.

【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定,解直角三角形,熟练掌握相关定理是解题的关

键.

10.⑴见解析

【分析】(1)连接OC,由AC平分NBA。,OA=OC,可得/D4c=/OC4,AD//OC,根

据AOLOC,即可证明CD是。。的切线;

ADACAD17

(2)由是AABC的中位线,得AC=12,再证明△ZMCs^cAB,U=即把=上,

ACAB1220

从而得到

【详解】(1)证明:连接。C,如图:

答案第13页,共60页

D

〈AC平分NBA。,

:.ZDAC=ZCAO,

*:OA=OC,

:.ZCAO=ZOCA,

:.ZDAC=ZOCA,

:.AD//OC,

':AD.LDC,

:.COLDC,

TOC是。。的半径,

・・・CO是。。的切线;

(2)解:,・・万是5。的中点,且04=03,

・・・0£1是△A5C的中位线,AC=20E,

•・,0E=6,

:.AC=n,

TAB是。。的直径,

'ZACB=90°=ZADC,

又/DAC=/CAB,

:.ADAC^ACAB,

.ADACAD12

••=f艮nn=,

ACAB1220

:.AD=—.

5

【点睛】本题考查圆的切线的判定定理,相似三角形的判定及性质等知识,解题的关键是熟

练应用圆的相关性质,转化圆中的角和线段.

11.(1)见解析

⑵3十

答案第14页,共60页

【分析】(1)连接0,CD,根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=gAB,求出

ZA=90°-ZB=60°,根据直角三角形的性质得出求出AD=AC,根据等边三

角形的判定得出AAOC是等边三角形,根据等边三角形的性质得出NAOC=NACO=60。,求

出/OOC=4DCO=30。,求出再根据切线的判定得出即可;

(2)求出B£)=AC=6,BO=2DO,根据勾股定理得出8。2=0»+8。2,求出再分别求

出AB。。和扇形DOE的面积即可.

【详解】(1)证明:连接。。,CD,

:.AC=-AB,ZA=90°-ZB=60°,

2

•.•。为AB的中点,

:.BD=AD=-AB,

2

:.AD=AC,

:./vine是等边三角形,

ZADC=ZACD=60°,

,/ZACB=90°,

NZ)CO=90°-60°=30°,

,?OD=OC,

:.ZODC=ZDCO=30°,

:.ZADO=ZADC+ZOZ)C=60°+30o=90°,

即OD±AB,

答案第15页,共60页

:。。过圆心o,

直线A2是。。的切线;

(2)解:由(1)可知:AC=AD=BD=-AB,

2

又•:AC=6,

BD=AC=y[3,

VZB=30°,ZBDO=ZADO=90°f

:.ZBOD=60°,BO=2DO,

由勾股定理得:BO2=OD2+BD2,

即(20。)2=0。2+(6)2,

解得:0。=1(负数舍去),

所以阴影部分的面积x1x6-盟正=走一2.

236026

【点睛】本题考查了切线的判定,直角三角形的性质,圆周角定理,扇形的面积计算等知识

点,能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键.

12.(1)见解析;(2)FG=2

【分析】(1)由题意根据切线的判定证明半径08,5G即可BG是。。的切线;

(2)根据题意连接CR根据圆周角定理和中位线性质得出=尸,进而依据等边三角

形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长.

【详解】解:(1)证明:;C,A,D,尸在。。上,ZCAF=90°,

:.ZD=ZCAF=90°.

VABLCE,BGLDF,

:.ZBED=ZG=90°.

:.四边形BEDG中,ZABG=90°.

:.半径0B_L8G.

/.3G是。。的切线.

(2)连接CF,

答案第16页,共60页

c

w

A------d~~G

ZCAF=90°,

・•・b是。。的直径.

・•・OC=OF.

•・•直径A5_LCD于E,

・•・CE=DE.

・・・OE是ACOb的中位线.

OE=-DF=2.

2

VAD=AD^/AFD=30。,

・•・ZACD=ZAFD=30°.

:.ZG4E=90°-ZACE=60°.

•・•OA=OC,

・・・△AOC是等边三角形.

•.*CE±ABf

JE为AO中点,

・•・OA=2OE=4903=4.

BE=BO+OE—6.

ZBED=ZD=ZG=90°,

/.四边形BEDG是矩形.

DG=BE=6.

:.FG=DG-DF=2.

【点睛】本题考查圆的综合问题,熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边

三角形和矩形性质是解题的关键.

13.(1)见解析;(2)AC=4.

答案第17页,共60页

【分析】(1)根据//山。=90。和〃45=408证明ZOAD=90°,再根据经过半径外端点

并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定;

(2)根据(1)中的结论和/4。2=30。来说明在04。中,直角边0A等于斜边的一

半,又因为。4=08,所以。4=。8=。8=2,所以AC=2OA=4.

【详解】(1)证明:是。。的直径,

ZABC=90°,

ZACB+ZCAB=90°,

又:ZAC4NDAB,

:.ZDAB+Z.CAB=9Q°,即/Q4ZA90。,

是。。的半径,

是。。的切线;

(2)解:由(1)可知NOAZA90。,

ZADB=30°,

:.OA=Or>=1(OB+BD),

VO^OB,DB=2,

:.OAF=2,

:.AC=2OA=4.

【点睛】这道题考查的是切线的判定和30。所对直角边是斜边一半的概念.对圆相关概念、

性质,以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键.

32

14.(1)8;(II)—

3

【分析】(I)已知由垂径定理可得AP=2,\设尸E=X,则0P=3X,

OA=OE=4x,在RrZXQ4P中,由勾股定理可得16/=9尤?+28,解方程求得x的值,即可

求得半径Q4的值.

(II)由切线的性质可得OELCD.再由可得AB〃CD,根据平行线分线段成

比例定理可得三;=W=;,由此即可求得oc=一.

OCOE43

【详解】(I)':OE±AB,

:.AP=-AB=2/7.

2

设PE—x,贝!JOP=3x,OA=OE-4x,

答案第18页,共60页

在RtAOAP中,OA2=OP2+AP-,

即16x2=9/+28,

解得x=2,(负舍)

4x=8,

・•・半径。4为8.

(II)•:CD为。的切线,

:.OE.LCD.

又〈OELAB,

:.AB//CD,

OP=3PE,

.OAOP_3

OC-OE-4?

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理及平行线分线段成比例定理,熟练运用相关定理是

解决问题的关键.

15.(1)见解析;(2)CF=4.2.

【分析】(1)根据圆周角定理得到/C=/A班=90。,求得NO=NA即,根据角平分线的定

义得至1]NABD=NCBF,求得NZMB=90。,根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)根据圆周角定理得到/C8F=/CAE=/E8A,解直角三角形即可得到结论.

【详解】(1)证明:•••A8为的直径,

/.ZC=ZAEB=90°,

*.•DE=FE,

:.AD=AF,

:.ZD=ZAFD,

ZAFD=ZBFC,

:.ZD=NBFC,

8。平分/ABC,

?.ZABD=NCBF,

:.ZCBF+ZBFC=ZABD+ZD=90°,

答案第19页,共60页

ZZMB=90°,

;•AD为:_。的切线;

(2)解:,/NCBF=ZCAE=ZEBA,

AkFF「F

:.sinZEBA=sinZCBF=sinZCAE=—=——=—=0.6,

ABAFBF

':AB=20,

AE=12,

V—=0.6,AF2=AE2+EF2,

AF

:.AF2=122+(O.6AF)2,

・•・AF=15,

:・EF=9,

,­*BE=YIAB2-AE2=V202-122=16,

・•・BF=BE-EF=16-9=7,

CF

,:——=0.6,

BF

:.CF=0.6x7=4.2.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质,三角函数的定义,勾股定理,等腰三角形的判定和

性质,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.

16.(1)见解析;(2)2.

【分析】(1)连接OD,根据CD是。O的切线,可推出/ADC+NODA=90。,根据OFJ_AD,

ZAOF+ZDAO=90°,根据OD=OA,可得NODA=NDAO,即可证明;

(2)设半径为r,根据在RtAOCD中,sinC=1,可得C©=r,OC=3r,AC=2r,由AB

为。O的直径,得出NADB=90。,再根据推出OF,AD,OF〃BD,然后由平行线分线段成

比例定理可得堡=空=工,求出OE,—,求出OF,即可求出EF.

BDAB2BDBC4

【详解】(1)证明:连接OD,

答案第20页,共60页

〈CD是。O的切线,

AODXCD,

・•・ZADC+ZODA=90°,

VOF±AD,

・•・ZAOF+ZDAO=90°,

TODOA,

.\ZODA=ZDAO,

JNADC=NAOF;

.OD1

••—―,

OC3

:.OD=r,OC=3r,

VOA=r,

.'.AC=OC-OA=2r,

TAB为。O的直径,

.\ZADB=90o,

又・・・OF_LAD,

・・・OF〃BD,

.OE_OA_1

••BD~AB~2’

AOEM,

..OF_OC

•BD~BC~4,

:.OF=6,

EF=OF-OE=2.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,锐角三角函数,切线的性质,直径所对的圆

答案第21页,共60页

周角是90。,灵活运用知识点是解题关键.

17.(1)见解析;(2)见解析;(3)直线/是圆。的切线,理由见解析

【分析】(1)由圆周角定理得/A=/C,由ASA得出母4££)g/k(7功;

(2)由直角三角形斜边上的中线性质得由等腰三角形的性质得

ZB,由圆周角定理和对顶角相等证出NA+/AEG=90。,进而得出结论;

(3)作OH_LAB于H,连接OB,由垂径定理得出AH=BH=;AB=2,则EH=AH-AE=\,

由勾股定理求出OH=1,OB=下,由一条直线/到圆心。的距离』=石等于。。的半径,

即可得出结论.

【详解】(1)证明:由圆周角定理得:ZA=ZC,

在反4皮>和△CEB中,

'/A=/C

<AE=CE,

ZAED=ZCEB

:.AAED^ACEB(ASA);

(2)证明:9CABLCD,

:.ZAED=ZCEB=90°,

:.ZC+ZB=90°f

・・,点厂是5C的中点,

;.EF=gBC=BF,

:.ZFEB=ZB,

VZA=ZC,NAEG=NFEB=NB,

:.ZA+ZAEG=NC+N3=90。,

ZAGE=90°,:.FG±AD;

(3)解:直线/是圆。的切线,理由如下:作0HLA3于H,连接08,如图所示:

答案第22页,共60页

\'AE=1,BE=3,

:.AB=AE+BE=4,

'JOHLAB,

:.EH=AH-AE=1,

0H=^OE1-EH2=J(扬2_仔=1,

OB=^JBH2+OH2=V22+l2=Vs,即。。的半径为百,

•••一条直线/到圆心O的距离1=6=。。的半径,

直线/是圆。的切线.

【点睛】本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的

判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识;本题综合性强,

熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.

27

18.(1)90。;(2)①四边形CDEF为矩形,理由见解析;②万

【分析】(1)由圆周角和平行线的性质求出结论.

(2)根据矩形的判定定理得出结论.

(3)根据全等三角形和勾股定理得到方程,联立方程组求出OA的长度,即可求出矩形的

面积.

【详解】(1)为直径,

;.NC=90。.

':OD//BC,

:.ZADO=ZC=90°.

(2)①四边形CDEP为矩形,理由如下:

:NC=90°,OD//BC,

答案第23页,共60页

・•・ZODC=180°-90°=90°.

•・・M与。。相切于点E,

・•・ZOEF=90°.

VZC=ZODC=ZOEF=90°,

・・・四边形CO跖为矩形.

②如图,连接AE,OC,

*:OA=OC,OD±AC,

:.AD=DC=3.

由①知四边形COM为矩形,

:.DE=CF.

又丁ZADE=ZDCF=90°f

:.AADE^ADCF(SAS).

:.ZOEA=ZCFD.

9:DE//CF,

:.ZCFD=ZODG,

:.ZODG=ZOEA.

:.DG//AE,

:.ZOGD=ZOAE.

又由O4=0E知NQA石二NOEA,

:.ZODG=ZOGD,

:.OD=OG.

设04=%,贝!JO5=OE=x.

■:BG=2,

OG—x-2

OD=OG=x-2.

又,.,A£>=3,

13

・••在R3ADO中,32+(x-2)2=x2,解得x=一,

4

OE=x=—,OD=x-2=3,

44

答案第24页,共60页

9

:.DE=OD+OE=-.

2

927

,矩形CZ)E尸的面积为:DCDE=^-=—.

【点睛】本题考查了切线的性质,矩形的判定和性质,圆周角定理,勾股定理,全等三角形

的判定和性质,找准全等三角形是解题的关键.

初中数学圆的有关性质解答题专题训练含答案

姓名:班级:考号:.

一、解答题(共15题)

1、如图,丝是。。的直径,切是。。的一条弦,且切,四于点£.

(1)求证:NBCO=/D;

②)若BE=8cm,CD=6cm,求.。0的半径.

2、如图,加是“欧的外接圆。的直径,点。在半圆上,DC与AB交

于点E,过点。作CF±DC交DB的延长线于点尸,交圆。于点G.

(1)求证:dABCsaDCF;

(2)当N1=N2,DF=1G旧,AE:EC=\x2时,求圆0的

半径.

答案第25页,共60页

(3)在(2)的条件下,连接DG交BC于点M,则工小:<皿=(直接

写出答案).

3、如图,©0的半径为1,点力是。。的直径BD延长线上的一点,C

为。。上的一点,AD=CD,ZA=30°.

(1)求证:直线力。是。0的切线;

(2)求△]a'的面积;

(3)点£在上运动(不与B、D重合),过点。作"的垂线,与

EB的延长线交于点F.

①当点£运动到与点。关于直径劭对称时,求冲的长;

②当点£运动到什么位置时,切取到最大值,并求出此时6F的长.

4、aABC内接于。0,点。在弧AC上,弦劭交AC边于点£,且庞=

AE.

(1)如图1,求证:BE=CE

(2)如图2,作射线CO,交弦BD于点F,连接AF并延长月尸,交。

0于点G,连接CG,/BFG=/FCG,求/ACB的度数.

答案第26页,共60页

ADAD

(Fx)

图i

5、已知:如图,出是的直径,C,。是8上两点,过点C的切线

交Q4的延长线于点E,1CE,连接仃,,口,

(1)求证:-灰=2—4日二;

tmZADC»-

(2)若'一W,求的半径.

6、在口中,灰为直径,「为。上一点.

(I)如图①,过点C作G。的切线,与43的延长线相交于点P,若

•匚”=•;,,,求「F的大小;

(n)如图②,。为优弧〃,.上一点,且D的延长线经过水,的中点

E,连接口与相交于点儿若.求一口三的大小.

答案第27页,共60页

D

7、如图,O。中,弦-狂与,力相交于点S,加=”,连接回、PC.

求证:⑴苑=旷;

(2)AE=CE.

8、如图,而是□「的直径,点。是□‘上异于A、B的点,连接AC.

8C,点。在主4的延长线上,且“以="<:,点£在口「的延长线上,且

EE-口二.

(1)求证:。。是你的切线:

0A22

(2)若。。3,求入人的长.

答案第28页,共60页

9、如图,点□是必以,的边看上一点,「,一与边月”相切于点左,与边E匚、

力F分别相交于点口、尸,且L>E-EF.

(1)求证:.「'=加";

..=3

(2)当£'=:;,s'''一?时,求一必'的长.

10、如图,丝是。。的弦,半径ODLAB,垂足为。,点£在。。上,

连接04、庞、BE.

(1)若ZDEB=30。,求ZAOD的度数;

(2)若5=2,弦AB=8,求。。的半径长.

11、如图1,在中,N84C=%。,AB=AC,D为“3:内一点,

将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到四,连接方,BD的延长线与CE

交于点F.

(1)求证:ED=CS,

(2)如图2.连接AF,DC,已知-8口2="3,判断AF与DC的位置

关系,并说明理由.

答案第29页,共60页

12、如图,A,3是上两点,且月3=以,连接处并延长到点C,使

BC=OB,连接AC.

(1)求证:力。是匚」的切线.

(2)点。,E分别是AC,0A的中点,DE所在直线交口于点尸,G,

口4=4,求GF的长.

13、如图,00是d4凤7的外接圆,点。是标'的中点,过点D作EFHBC

分别交A?、的延长线于点£和点F,连接■幺八BD,加C的平

分线的交功于点M.

答案第30页,共60页

A

(1)求证:EF是。。的切线;

(2)若月338=5:2,AD=,求线段DM的长.

14、如图,是8的直径,点。是O0上异于A、B的点,连接AC.

3C,点。在反4的延长线上,且〃。4=乙48(7,点£在8的延长线上,

且BE工DC.

(1)求证:DC是。。'的切线:

0A2___

TTZ?=:・BE=3

(2)若0。3,求A4的长.

15、如图,OO是d46c的外接圆,血)是。。的直径,318于点后.

答案第31页,共60页

(1)求证:ABAD=ACAD.

(2)连接8。并延长,交4?于点尸,交口二’于点G,连接GC.若匚心

的半径为5,0E=3,求GC和。尸的长.

============参考答案============

一、解答题

1、(1)见解析;

73

⑵O0的半径为16cm

【解析】

【分析】

(1)由等腰三角形的性质与圆周角定理,易得ZBCO=ZB=/D;

(2)由垂径定理可求得CE与DE的长,然后证得△BCEDAE,再由

相似三角形的对应边成比例,求得AE的长,继而求得直径与半径.

(1)

证明:0B=0C,

:.ZBCO=ZB,

VZB=ZD,

:.ZBCO=ZD;

答案第32页,共60页

(2)

解:彼是。。的直径,CDLAB,

,CE=DE=3CD=二X6=3,

•:4B=/D,/BEC:/DEA,

/.△BCEs'DAE,

AE:CE=DE:BE,

AE:3=3:8,

9

解得:AE=i,

973

/.A

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