辽宁省2023-2024学年高二年级下册期初教学质量检测数学试题含答案

辽宁省2023-2024学年高二下学期期初教学质量检测数学试题

2023—2024学年度高二下学期期初教学质量检测

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛%｝为等差数列,〃=5,a8=29,则｛6｝的公差为

A.2B.6C.lD.14

2.(6'一；)的展开式中,工々项的系数为

A.-5B.-10C.5D.10

3.将4本不同的书分配给8名同学，每名同学最多分到1本书，那么不同的分配方式共有

A.70种B.256种C.1680种D.4096种

4.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩(单位：分)近似服从正态分布NQOOJOD,从中抽

取一个同学的数学成绩X,记该同学的成绩为80VX4100为事件A,记该同学的成绩为

70<X<90为事件B,则在A事件发生的条件下，B事件发生的概率P(B|A)为

(附参考数据：P(A—=0.68,P(〃-2c+2<r)=0.95,P"-3<rVX(

〃+3。)=0.99)

5.中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百

里.”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行

走了700里路，则该马第五天走的里程数约为

A.5.51B.11.02C.22.05D.44.09

6.如图，电路中A,B,C三个电子元件正常工作的概率分别为P(A)=；,P(B)=J,P(C)=

O乙

卷,则该电路正常工作的概率为

―h-y—

数学试题第页(共4页)

7.已知(3%+2)1°=4()+(211+々2]2+…+QIO%1°，贝?！

9

A.a0=2

B.(2O-Q1+。2—。3+…+。10=-1

14-510

C.a0+a2+a4+•••+<!10=­o

D.展开式中二项式系数最大的项为第5项

8.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，已知斐波那契数列

｛。〃｝满足Q1=。2=1，。〃=QL1+。〃-2(力>3,72WN*),则以下结论中错误的是

A.Q5=5B.tzf+«1+,,,+<2^=anan+1

=

C.a68D.a：+。彳+…+a彳

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.等差数列｝的前n项和记为Sn，若。15〉0，。16Vo，则

A.ai>0B.dVO

C."=15时,S”最大D.从第32项开始，SnVO

10.随机变量X〜N(2,M),且P(0&X&2)+P(X>"=0.5,随机变量丫〜BG,/)),0VpV

1,若E(X)=E(Y),则

''5'''

N.t=4B.P(2&Y&3)=—

o

1

C.p=—D.DC4Y)=4

乙^

n.随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活.为了测试夕、

某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在/\

△ABC表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一/\

个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点^A/—_Ac

移动到下一个顶点称执行一次程序.若开始时，机器人从A点出发，记机器人执行71次程序

后,仍回到A点的概率为P5),则下列结论正确的是

1

A.P(2)=yB./z>2时，有2P(7?)=1-P(72-1)

211「/1、”一L

C.P⑺.D.P6)=QL

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从4名男生和5名女生中任选三人排成一排照相，其中男生、女生各至少选一人的方法共有

种.

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—,a.为偶数，

13.已知数列｛a“｝满足a】是正整数，a.+i=-2GN"),若即+02+。3=

3a„+1,a„为奇数

2023,则小的所有可能取值的和为.

14.孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所

复习的科目有语文、数学、英语、物理、化学、地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至

少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有种.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)S”为数列｛—｝的前n项和，已知防=2,2sli=a(a.+i+l).

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：当时,二一+二一+一+」一〈4.

。2a3<^n-lan乙

16.(15分)某单位为了解性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了100名员工，得

到的数据如表：

对工作满意对工作不满意总计

男203050

女302050

总计5050100

(1)能否有95%的把握认为对工作是否满意与性别有关？

(2)将频率视为概率,从该公司所有男性员工中随机抽取2人进行访谈，记这2人中对工作

满意的人数为1求?的分布列与数学期望.

附/2=_______n(ad_bey________

•(a+b)(c+a)(a+c)(6+d),

P(K^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

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17.(15分)已知椭圆C：5+A=l(a>b>0)的离心率为与，且点卜，等)在椭圆上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点A(0,2),点Q(Hl，w)(工1|ro)在椭圆C±,QM±x轴，垂足为M,宜线AN±

AM交工轴于点N,线段EN的中点为坐标原点，试判断直线QE与椭圆C的位置关系，并

给出证明.,

18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，E为PD中点，平面

2氏AD=2BC=2AB=4,AD〃BC,NBAD=90".

(1)求证:CE〃平面PAB,

(2)在棱PA上是否存在点M,使得二面角P-CD-M的平面角为30°?若存在，说明点M

的位置;若不存在，说明理由.

19.(17分)数列储.｝的首项即=1,前"项和为S“，若数列｛%｝满足:对任意正整数〃次，当"〉

k时，5“+*+5._*=2(51,+5.)总成立，则称数列｛。"｝是“。")数列”.

(1)若｛%｝是公比为2的等比数列，试判断｛6｝是否为“D(2)”数列；

(2)若｛%｝是公差为d的等差数列，且是“D(3)数列”，求实数d的值；

(3)若数列｛a,｝既是“。(2)数列”，又是“D(3)数列”，求证：数列｛%｝为等差数列.

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2023—2024学年度高二下学期期初教学质量检测

数学参考答案及评分意见

9Q—5

1.B【解析】根据题意，因为等差数列｛%｝中，牝=5也8=29,所以公差H==6.故选B.

o-4

5

2.B【解析】的展开式的通项为T3+i=C£X（6）5iX

得々=3,・・・久一2项的系数为（―1尸。=—io.故选B.

3.C【解析】不同的分配方法数为A^=8X7X6X5=1680.故选C.

4.A【解析】由题知，事件AB为“该同学的成绩为80<X<90"，因为〃—20=100—20=80,〃一。=100—10=90,

0.950.682709519

所以F(AB)=P(-2<XC-7)又P(A)=P(〃-2cr<X&〃)=--—=而，所以

(uffiU(22200,

P(AB)274027人

F(B|A)==丽乂西=而，故选A.

F(A)

5.C【解析】设该马第“（“CN*）天行走的里程数为a“，由题意可知,数列｛6｝是公比为q=g的等比数列，所以

127al27X350

该马七天所走的里程为二700,解得a,，故该马第五天行走的里程数为a=

64127sai

1一万

42?X3501350X8,小小

=—赤—X—=^22,05.故选C.

.乙/乙_L乙/

6.A【解析】由题知该电路正常工作指的是A元件正常工作且B,C中至少有一个能正常工作.设A,B,C元件能

正常工作为事件A,B,C,该电路正常工作为事件D,由题A,B,C相互独立，则P（D）=F（A）a-[l-P（C）]•

34,

T7，故选A.

oI515

10

7.C【解析】选项A,令1=0,得aQ=2，故选项A错误；令久=—1,可得近一诙+…+QIO=1①，故选

10

二1+^5,故选

项B错误；令1=1,可得a0+(21+«2+。3-------H«io=51°②，联立①②可得QO+QZ+Q4H------Ha10

项c正确；由题意可知展开式有n项，第6项的二项式系数最大，故选项D错误.故选C.

8.D【解析】根据题意，“斐波那契数列”｛%｝中，其前6项依次为：1,1,2,3,5,8,即=5,a$=8,A、C正确.由于

九》3时，a,+i=Q”+Q”—I,则Q〃+1—=Q”，有Q：=Q"(Q〃+1—)=Q〃Q“+]—,则有元=a2a3一〃2。1，

ag=a3〃4—。3。2,…，优=%。“+1—1，上面几个式子相加可得----HQ：=Q：+（Q2a3一曲。1）+

(。3“4—〃3。2)+.......+—anan_\)=a\anan+\—•又由Qi=02=1，贝U<^i+«2al=a\+

a„a„-1—axa2=a„an+1,B正确,D错误.故选D.

9.ABC【解析】由Q15〉0，QI6<0,可得数列为递减数列，则。=曲6—。15<0，曲>0,故A、B选项正确；九（15时,

30

a„>0,«=15时，S,,最大，故C正确；$3。=2（加5+。16）,与0无法比较，S3131)=31。10<0,故D错

误.故选ABC.

数学答案第1页（共6页）

10.ABC【解析】对于A,^.^X〜N(2,cr2),且P(0&XW2)+P(X>t)=0.5,；"=4,故A正确；对于C,VECX)

=2,，E(y)=E(X)=2,〜B(4,2),.•.E(y)="=2,故C正确；对于B,；丫〜B(4,

.•.P(2Wy<3)=cU+U=?,故B正确；对于D,VD(y)=4XyX[^1-^=1,.-.D(4y)=16D

(丫)=16,故D错误.故选ABC.

11.BCD【解析】A选项，机器人第一次执行程序后，来到B或C点，故P(1)=O,第二次执行程序后，有;的概率

回到A点，故2(2)=5认错误而选项，「(”一1)为执行第(力一1)次程序后仍回到A点的概率，要想执行n

次程序后仍回到A点，则执行第(”—1)次程序后不在A点，而是在B或C点，且下一次有二的概率回到A点,

故当n大于等于2时，有—P(〃一1)」，即2P(“)=1—P("—1),B正确；D选项，由B选项知P(〃)=

—P(〃一1)1,即P(〃)=一(〃一1)+,，设P(〃)+后=—J[P(〃一1)+无].对比系数，可得左=一；,

LiLiuLiO

于是P(〃)一]=—；[P(〃一D—又P(l)—1=一所以「(")一”|是首项为一；，公比为一。

J乙oOOO乙

11(11Ll111

的等比数列，故P(/2)--=---v,P(%)=q—w■(一瓦)〃T,D正确，C选项，由D选项可知P(7)=

ookJ乙

”,一=正确.故选BCD.

3[_I2JJ64

12.420【解析】男生选2人，女生选1人，共有QQA[=180种；男生选1人，女生选2人，共有QC|A^=240种.

所以共有180+240=420种方法.故答案为420.

13.1830【解析】依题意，由数列｛%｝满足/是正整数，可得①当〃为奇数时，则a2=3ai+l为偶数，。3=三，此

时ai-\-a2~\~a3=a1-\-3a1+H------=2023,解得ai=】1,这与ai是正整数矛盾，故舍去.

②当即为偶数时,。2=短

(i)若小为奇数，a3=3a?+l,此时即十。2十。3=加+，+3〉号+1=2023,解得a1=674,a?=337,符合

题意；

(ii)若a2为偶数，。3=?，此时+。2+。3=。1+号+子=2023,解得(21=1156,a2=578,符合题意.综上，可

得斯的值为674或1156.故〃所有可能取值的和为674+1156=1830.故答案为1830.

14.5040【解析】由题意可分三种情况讨论:三天复习科目的数量为2,2,2或3,2,1或4,1,1.①若三天复习数量

为2,2,2,所有的安排方法种数为晨QGX(AQ3=720,语文与数学安排在同一天，有3XQGX('尸=144,

则三天复习数量为2,2,2的安排方法种数为720—144=576.②若三天复习数量为3,2,1,所有的安排方法数为

&CT；XA(X(&XAQ=4320种，语文与数学安排在“3”这一天，有C；C/C；X氏X(A'XAQ=864种，语文

数学答案第2页(共6页)

与数学安排在“2”这一天，有CiCXAgX（A1XAQ=288种，则三天复习数量为3,2,l的安排方法数为4320—

864-288=3168.③若三天复习数量为4,1.1,所有的安排方法数为受XA：XA：=2160,语文与数学安排在同

一天，有CfXA?XA；=864种,则三天复习数量为4,1.1的安排方法数为2160—864=1296.综上，不同的复习

方法共有576+3168+1296=5040种.

15.⑴解：；2S“=j4Q"+&+：l),

；.2S“—1=(〃-1)(a”+1)(〃22),..........................................................................................................................1分

两式相减可得2a“=〃a“+i—(〃一l)a”十1,

即(〃+l)a”=〃a”+i+1,..................................................................................................................................................2分

等式两边同时除以〃(〃+1)可得：

a„a„+i।1_a„+1।11

n72+1"(〃+1)w+1n〃+1

nnzz+17?+1'

a?1

由题可知2al=Q2+I,得。2=3,所以亍一万=1,.......................................................................................................5分

/.---—=1,/•=n+1...............................................................................................................................................7分

nn

/、、…1111八

(2)证明：•=--~।、——一一，.......................................................9分

an-\ann{n-r1)nn-rL

axa2Q2Q3

故原命题得证..................................................................................13分

100X(20X20—30X30)2

16.解：（L）因为Z2==4>3.841,3分

50X50X50X50

所以有95%的把握认为对工作是否满意与性别有关...............................................5分

202

（2）由表中数据可知，从该公司所有男性员工中随机抽取1人进行访谈，此人对工作满意的概率为启=下.……

al）a

.........................................................................................................................................................................................6分

由题意可知S〜B（2口，£的可能取值为0,1,2,

P（『）7X（打”打二2............................................................................................................................8分

3212

P（e=1）=C|X-X-=-..........................................................................................................................................1。分

p............................................................................................................................12分

故e的分布列为

数学答案第3页（共6页）

X012

912413分

P

252525

24

故E(X)=2X后=可........................................................................15分

r/Q

17.解：(1)由题意得e=—=—

aZ

解得02=4北2=1,〃=3.........................................................................4分

力2

・・・椭圆。的方程为z+*=l...................................................................5分

2

（2）根据题意可得M（式1,0）#.=——.

Xi

又•・•直线AN，AM,・,•心N=/■，・••直线AN的方程为―2=?（久一0）,即y=，z+2.

令产。得「一；即MT，。1...........................................................7分

又线段EN的中点为坐标原点，所以...................................................8分

4

所以直线EQ的方程为0=

代入椭圆方程，化简得第+4,支可、，、一出丫=4.（*）......................................10分

（无彳一4）2（久"

vf1

又・・•点Q（4，g）在椭圆上，・・・r—7=一丁，...................................................11分

JC1-44

代入（*）,化简得式2——生丫=4.

.............................................................................................13分

即（丈：一4）工2一丈；（了——=4：（,Xi—4）「化简得JC2—2x1x-\-x[=0................................]4分

.•.△=（24）2—4支：=0,.•.直线QE与椭圆C相切...............................................15分

18.⑴证明：取PA中点为F,连接EF,FB.

因为E,F分别为PD,PA中点.则EF//DA//BC,2EF=DA=2BC................................2分

即四边形ECBF为平行四边形，则EC〃FB......................................................3分

又ECU平面PAB,FBU平面PAB,则CE〃平面PAB...........................................5分

（2）解：取CD中点为G,因为PD=PC,贝ijPG±CD.

又平面PDC_L平面ABCD平面PDCCI平面ABCD=CD,PGU平面PDC,

数学答案第4页（共6页）

则PG，平面ABCD.......................................................................................................................................................6分

过点C作BA的平行线，交AD于H.因为CB,CHU平面ABC。，

则PG±CB,PG_LCH.过点C作PG的平行线CN...............................................................................................7分

以C为原点，CH所在直线为z轴，CB所在直线为；y轴，CN所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

则C(0,0,0),。(2,—2,0),A(2,2,0),

注意到CD=29，则PG=7^,故P（l,—1,同），................................................9分

则前=（1,3,一而），存=（1,—1,同），而=（2,—2,0）.

设或=入前则由=/+/PA=(1+X,3A-1，76-76A)........................................................11分

设机=(z,z)为平面PCD的一个法向量,

(机.CP=0,!X—yZ=0,

则一即

•CD=0,12久一2、=0.

令i=l,则）=1,2=0,则平面PCD的一个法向量机=（1,1,0）.12分

tn・CM=0,

设〃=（a,0,c）为平面CDM的一个法向量，则_

n•CD=0,

(1+A)a+(3A—1)6+(1—入)c=0.

即13分

2a—26=0,

令Q=1,贝!Jb=l9c=-------

展(A—1)

4A

则平面COM的一个法向量〃=ia,----------14分

娓(A—1)

因为二面角P-CD-M的余弦值为号,

而।/.।\m-n\2V3

则1C0S<W—成16一一牙

^72+6(A-l)2

化简得3Y+2；l—1=0...................................................................................................................................................16分

又0<Q<l,则/=

故当M为PA上靠近点P的三等分点时，使得二面角P—CD—M的平面角为30°..................................17分

数学答案第5页（共6页）

19.(1)解：・・・Qi=l,q=2,・・・S〃=2〃一l.............................................................................................................................1分