2024高考数学全真模拟卷(新高考专用)(解析版)

备战2024高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第一模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班

级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.（2022•海南•嘉积中学模拟预测）已知全集。=-集合Z={2,3,4},集合2={0,2,4,5},则图中的阴

影部分表示的集合为（）

A.{2,4}B.{0}C.{5}D.{0,5}

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.

【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是@/巾3,而全集U=R,/={2,3,4},5={0,2,4,5},

所以&/）cB={0,5}.

故选：D

1

2.（2022•天津市第四中学模拟预测）设xeR,贝旷—>0"是"卜-1|<4"的（）

2-x

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】由=>0,得—5）（2-x）>0,解得2<x<5,

2-x

由卜-1]<4,得—4<%—1<4,得-3<x<5,

因为当2Vx<5时，一3<%<5一定成立，

而当-3Vx<5时，2cx<5不一定成立，

所以"金>0"是牛-1|<4"的充分不必要条件，

2-x

故选：A

3.（2022・海南海口•模拟预测）已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相同,

则该圆柱的高为（）

2

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.

【详解】设底面圆的半径为，高为〃，则

2兀/〃=2兀/

由题意可知,解得h=r=4.

兀〃2〃=2兀/2+2兀瓶

所以该圆柱的高为4.

故选：B.

4.(2022•河北秦皇岛•二模)设a=ln2,2=5,c=20-2,则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】因为。=ln2e(O,l),Z)=log25>log24=2,c=2°屋(1,2),

所以8>c>a.

故选：B

5.(2022•山东青岛•一模)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题："今有人持金出五关，前关二税

一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几

何？"其意思为"今有人持金出五关，第1关收税金为持金的玄，第2关收税金为剩余金的g,第3关收税金

为剩余金的;，第4关收税金为剩余金的)，第5关收税金为剩余金的;，5关所收税金之和恰好重1斤.问

456

3

原来持金多少？记这个人原来持金为。斤，设/（x）=|；/,，则/（。）=（）

II—JX,U<XS1

A.-5B.7C.13D.26

【答案】c

【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到:。+工“++」。=1，求得。的值,

22x33x44x55x6

代入函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意知：这个人原来持金为。斤,

第】关收税金为：京斤；第2关收税金为斤;

第3关收税金为:•（1+令"七"斤,

以此类推可得的，第4关收税金为七“斤，第5关收税金为为"

^\^-a+-^—a+-^—a+-^—a+-^—a=\,

22x33x44x55x6

11111111r八1、,加,口6

即Bn/(11---1------1------1------1-----)•67—(1-->4=1,角牛Cl——

223344556V65

10x+Lx>166

又由/(x)=l-5x,O<xVl,所以/?=小丁1=3

故选：C.

6.（2022•浙江•高三专题练习）已知在△CU3中，04=05=2,AB=273，动点。位于线段48上，当丽丽

取得最小值时，向量方与用的夹角的余弦值为（）

A2>/7R277_V2?nV21

7777

【答案】C

TT____

【解析】由已知得=再由向量数量积的定义表示苏・丽，根据二次函数的性质求得其最值，再

6

4

由向量夹角公式可得选项.

TT

【详解】因为在ACMB中，04=05=2,AB=2y/3,所以/。48=—,所以

6

PAPO=PA-"+前）=|万『+国HAOcos^-=PA\2一行网=

-”：,当且仅当网咛时取等号,因此在△。/尸中，西小2M、乎=2

所以向量方与而的夹角的余弦值为

故选：C.

7.（2020•全国高三专题练习）已知点4瓦。在半径为2的球面上，满足48=/C=l,BC=y/3,若S

是球面上任意一点，则三棱锥S-4BC体积的最大值为（）

“3+2后。3+273,2+37363+73

1261212

【答案】A

【详解】

设AZBC外接圆圆心为。，三棱锥S—Z8C外接球的球心为0,AB=AC=1,

设。为8C中点，连40,如图，

5

则且。'在40上，40=>§2_(竽2=g,设外接圆半径为外，

r2=(―)2+(AD-r)2=-+(--r)2,解得厂=1,

242

.-.|00'|=正—户=V3

要使S-Z8C体积的最大，需S到平面/BC距离最大，

即S为。'。的延长线与球面的交点，最大值为G+2，

所以三棱锥S—48C体积的最大值为;X(G+2)S“BC=；x(G+2)xgx；xG=甘芋.故选：A

8.(2022・山东・夏津第一中学高三阶段练习)已知不等式(米+3月e，<x+l恰有2个整数解，求实数k的取

值范围()

2八33一12一33,，1

A.—：£k<——B.——<k—C.—，(后V——D.——<—

3e35e25e22e3e35e25e22e

【答案】D

【分析】原不等式(6+3左)eZx+1等价于，Mx+3)〈注，设g(x)=Mx+3),/卜)=?，然后转化

ee

为函数的交点结合图象可求.

y_1_1

【详解】原不等式(依+3月e，<x+l等价于，月(1+3)<注，

e

6

设g(x)=畸+3)所以/'(》)=亍=0,得x=0.

当x<0时，r(x)>0,所以在(-8,0)上单调递增,

当x>0时，f'[x)<0,所以在(0,+°0)上单调递减,

又/(一1)=0,且x>0时，/(%)>0,

因此g(x)=A(x+3)与/(尤)=蓑的图象如下，

当上40时，显然不满足条件，

'2..

[/(l)>g(l)~e>4k31

当无>0时，只需要满足二I即:，解得34人<；.

[/(2)<g(2)3M5k5e2e

,e2

故选：D.

7

二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选

错的得0分）

9.（2020・广东•高三专题练习）已知不共线的两个单位向量用3,若向量21-布与21+届的夹角为锐角，

则符合上述条件的左值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】AB

【分析】向量夹角为锐角时，数量积应大于0,从而求得参数.

【详解】因为向量23-质与21+布的夹角为锐角，所以（2,一布）-（21+痛）=4宏-层/=4一斤且

2a—kb^2a+kb＞

所以一2〈左＜2且上40,即一2〈后〈0或0〈左＜2,

观察各选项可知符合条件的无值可以是-1,1.

故选：AB.

10.（2022•江苏•南京市第一中学三模）在中，COS2^+COS25=1,则下列说法正确的是（）

A.|sin^|=|cosfi|B.A+B-^

C.sin/sin8的最大值为gD.tan/tanB=±l

【答案】ACD

【分析】根据已知条件，结合cos2/+sin2/=l得卜in/|=Ws叫，2\+?n=1,进而得

1111tai?4+1tan25+1

tan4tan5=±l,可判断AD；进而得cos（4-5）=0或cos（4+5）=0,故4一5=、或Z+3=',再分别讨

论sin力sinB的最大值问题即可判断BC.

【详解】解：因为cos?Z+cos?8=1,cos224+sin2A=1

8

22

2cosAcosB

所以sir?A=cosB，cos2Z+sir?A+cos25+sin2B=1

11

所以卜in/|=|cos3,----7--------1-----?-------=1,故A选项正确;

tanA+1tanB+\

所以，tan2A+1+tan2B+l=tan2B-tan2A+tan2A+tan25+1,BPtan2B-tan224=1;

所以tan4tan8=±1,故D选项正确;

所以sin/sin5=±cos/cosB，即cos（/-5）=0或cos（力+5）=0,

所以2-8=^或/+8=々，故B选项错误；

22

当/一8=、时，

sin^4sin5=sin|—+5|sinS=sinSeos5=—sin2S<—,当且仅当3=工时，此.时/=工+工=网，不满足

12）224244

内角和定理；

当/+8时，Sekj

sin4sin5=sin（工兀一8]sin5=sinBcos5=—sin25<—,当且仅当人?时，止匕时，会满足题意.

l22J22

综上，sin/sin8的最大值为故C选项正确.

故选：ACD

11.（2022辽宁省六校高三上学期期初联考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这

样一列数：1,L2,3,5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列

数组成的数列｛4｝称为"斐波那契数列”，记S”为数列｛4｝的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.R=8B.S9—54

9

Cly2+%2+........+2

C.%+/+%+•••+6Z2019=。2020D.----------------=12020

。2019

【答案】ACD

【分析】由题意可得数列｛4｝满足递推关系%=1,%=1，%=%.2+%.1（〃23）,依次判断四个选项，即

可得正确答案.

【详解】对于A,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A正确；

对于B,S9=1+1+2+3+5+8+13+21+34=88,故B错误;

对于C,由％&，a3=a4-a2fa5=a6-a4f“2019=。2020—。2018可得:

。］+。3+%------1"^2019=%+。4—。2+6一。4+%—。6+L+。2020—。2018=。2020'故C正确.

对于D,斐波那契数列总有4+2=%+1+4“，则4；=%%，a2=a2(a3-ai)=a2ai-a2ai>

a；=a3(a4-a2)=a3a4-a2a3,a2018=a2018(°2019—°2017)=°2018a2019一°2017a2018'

可得%+°2+L+°2019a2019a2020_

U

。2019—42019a2020—a2019a2018—2020，故D正确;

°2019^2019

故选：ACD.

12.（多选）（2022・广东潮州・二模）已如斜率为k的直线/经过抛物线产=4x的焦点且与此抛物线交于4（玉,月）,

8（々,%）两点，|/却＜8,直线/与抛物线＞=/-4交于M,N两点，且M,N两点在y轴的两侧，现有下

列四个命题，其中为真命题的是（）.

A.必%为定值B.必+%为定值

C.k的取值范围为（-8,-1）2（1,4）D.存在实数k使得=J13左2+13

10

【答案】ACD

;y2心=4x-1),整理得成川i=。，根据根与系数的关系

【分析】设/的方程为N=MXT)(左片0)，联立，

可判断A、B选项.

由弦长公式|48|=西+/+?=*+4＜8,得廿＞i,再联立,一人!两点在V轴的两侧，求得左＜心

7=x-4

由此判断C.

设Nd，”)，由弦长公式得|跖^=，1+左2.“2-4后+16,继而由已知得左2一4上+16=13,求解

即可判断D选项.

【详解】解：由题意可设/的方程为了=左仁-1)(左70),

y2=4x-4k

联立[5(1)'得小『I,则"2=工=-4为定值，故A正确.

4

又%+%=7，故B不正确.

k

再+%2=---^~+2=-2,贝“/同=芯+W+夕=-2+4<8，即左2〉1,

kkk

y=k（x-\\/.

联立2，得％2一日+左一4=0,

>=/—44

■:M,N两点在y轴的两侧,

△=左-一4（左一4）=k~—4k+16>0,且k—4<0,...左<4.

由左2＞1及后＜4可得上＜一1或1(左＜4,

故k的取值范围为(-8,-1)口(1,4),故C正确.

设/（£,%）,N（%4，%），则"+彳4=1,x3x4=k-4,

11

12

贝J=，1+左2.^(x3+x4)-4x^4=J+左2.42-4左+16.

假设存在实数k,则由pW|=J13〃+i3,

得42-4左+16=13,解得左=1或3,故存在上=3满足题意.D正确.

故选：ACD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(2020•山东潍坊市•高一期中)已知偶函数/(X)在［0,+8)上单调递增，且1是它的一个零点，则不等

式/(X-2)<0的解集为.

【答案】{x|l<%<3}

【详解】

因为1是函数/(x)的一个零点，所以/。)=0,

因为函数/(x)是偶函数，所以/(x—2)=/(|x—2|),

所以由/(x—2)<0,可得/(卜―2|)</(1),

又因为函数/(x)在［0,+8)上单调递增，

所以有卜一2|<1,解得l<x<3.

故答案为：{x［l<x<3}

12

14.（2021辽宁省锦州市第二高级中学高三检测）学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,

设抽取的人中女教师的人数为X,求/VYEI）.

15.（2020•江西景德镇一中高二期中）已知双曲线C：--4=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为大，与，

ab

设过心的直线/与C的右支相交于4B两点,且H与H片阊，忸国二2|幺叫，则双曲线。的离心率是

【答案「

【详解】

13

如图：设/名的中点为连接片BF],

因为卜用=|用」=2c,M为/鸟的中点，所以甲/，2鸟,

由|/凰—|2闾=2a,得|4月|=2c-2a,

所以|”|=T4^=c_a,

c-a

在AMFF2中,cosNBF2K=

I片外I2c

^BF21=2|AF21=4c—4a,所以忸用=2a+|BF21=4c—2tz,

闺闾，忸闻2_的「

4c2+16（C-G）~-4（2c-a）~

在△AF；鸟中,cos/BF?F\=

2x闺闾忸闾2x2cx4（c-a）

4c2+12/-16ac

16c（c-a）

因为/BF?F]+/MF?F\=71,cosZBF2FX+cosAMF2FX-0,

14

c-a4c2+12a2-16ac

所以------------1-----------------/----------7-------=0,

2c16c(c-o)

整理可得：16。2一16。。+12c2=0，即5/—8ac+3c2=0,

所以5a2-8ac+3c2=0>即(5a—3c)(a—c)=0,

所以5a=3c或a=c(舍)，

c5

所以离心率e=£=：,

a3

故答案为：一

3

16.（2020•山东高二期末）在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为外的小球在盒底四角，分别与正方体

底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为及的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与

正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径外的最大值为；大球半径火的

最小值为.

315

【答案】一

2

【详解】

15

当四个半径为一的小球相切时，小球的半径最大，大球的半径最小,

如图所示:

四个小球的球心和大球的球心构成一个正四棱锥P-ABCD,

3

所以4r=6,解得/二一，

2

OOBQ

甘+PA=R+—,4B=2r=3,OA=—,OP=6—R—r=——R

其中222

在RMP40中,PA2=0A2+0P2>

即（氏+』］=［述］，解得R="，故答案为：（1）-；（2）—.

（2）12J（2J828

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（2020・山东师范大学附中高三学业考试）在①2s,中=5“+1,②4=（，③S"=l

这三个条件

中选择两个,补充在下面问题中，并给出解答.已知数列｛«„｝的前n项和为邑，满足—

又知正项等差数列也｝满足乙=2,且A,b2-l,仄成等比数列.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式;

16

（2）若c“=anbn,求数列｛%｝的前〃项和7；.

【答案】（1）答案见解析；（2）7；=5-话二.

2

【详解】

（1）选择①②：

当〃22时，由2sm=5“+1得2S“=S“T+1,

a]

两式相减，得2%=a“,即3=（〃22）,

an,

由①得2s2=S]+1,即2（6+出）=q+1，

•*.q=1-2a2—1———~>得（71——.

•••丝=；，，｛4｝为4=▲,公比为。的等比数歹U，

4222

"2[2）⑷

选择②③：

当〃22时,由③S“=l—2%+「得S〃T=1—2%,

a]

两式相减,得%=2%—2%+-...3=不（〃22）,

an*

又H=1-2a2,得q=5，

二幺=;,•.•｛%｝为％公比为;的等比数列,

n22

17

选择①③，由于2S〃+i=S“+1和5„=1-2%+1等价，故不能选择;

设等差数列也｝的公差为d,d^O,

且*b2-l,&成等比数列.

她=(&-1『，即2(2+2d)=(l+d『,

解得d=3,d=—l(舍去)，：.bn=2+(«-l)3=3«-l.

377-13x1-13x2-1372-1

(2)c=ab=---++…+------

nnn2"2222〃

1.3x1-13x2-13/7-431

-L=----；----1----------1-…H--------1-------

222232"2"+i

33〃一1533«-1

+•••-)------------------

2"2"122"2"1

7<5+3〃

(=5-丁

2

18.(2020•山东省淄博实验中学高三月考)已知向量7H岳吟1J,H=|^cosj,cos|,函数

/(x)=m-n~—.

7in

,求/(x)的取值范围;

(1)若工£5%

(2)在“8。中，角N,B,C的对边分别是a,b,c,若a=5,,求AZBC的

面积.

18

【答案】⑴T争⑵竽

【详解】

(1),:向量比=(Qsin工1),k=(cos工cos2二)

V3.1

=——sinx+—cosx=sin(x+与，

又xe(-gj),得x+ge(4，g);.sin(x+4)e(2,3)，即〃x)的取值范围是；

3666362222

(2)f(x)=sin(x+—),/.f(B)=sin(5+—)=1,

「n兀历7万、7171一/曰_71

Xv5+—G(—,—),:.B+—=—,可得5二一.

666623

•；a=5,b=5拒，根据正弦定理

sinAsinB

jrjr

由得所以/=—,因此C=»—(/+3)=—,可得△ZBC是以。为直角顶点的直角三角

62

形，...△ABC的面积5

222

19.(2020•山东宁阳县一中高二期中)如图，在四棱锥P-/BCD中，平面PCDJ_平面且APCD

是边长为2的等边三角形，四边形45C。是矩形，BC=2①，M为8C的中点.

19

p

(1)证明：AMVPM

(2)求二面角P-AM-D的大小；

(3)求点。到平面例/的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3)友.

3

【详解】

(1)取3的中点E,连接PE、EM、EA.

■：APCD为正三角形，PE1CD,1••平面PCD1平面ABCD,PE1平面ABCD

AM1PE

•••四边形/BCD是矩形AECM、ANBAf均为直角三角形

20

由勾股定理可求得：EM=拒，AM=46AE=3

EM2+AM1=AE2AM±EM

又尸£p|EM=EAM1平面PEM

：.AM±PM

(2)由(1)可知,PMLAM

ZPME是二面角P-AM-D的平面角

tanZPME=—=S=1

EMJ3

ZPME=45°

二面角P-AM-D为45°

(3)设。点到平面PZM的距离为d,连接。河，则

Vp-ADM=^D-PAM'§S&ADM-PE[SR

而邑.=—℃。=2贬,

在RQPEM中，由勾股定理可求得？M=

S

-,'.PAM=-AMPM=3,所以：1x2V2xV3=1x3xrf.-.t/=^t

2333

2V6

即点。到平面的距离为

20.(2020•山东师范大学附中高三学业考试)冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用

在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯

21

发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现有N材

料、5材料供选择，研究人员对附着在4、5材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.

石附烯再结晶试验

4材料B材料

成功

不则

alt

（1）由上面等高条形图，填写2x2列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③

2

表面封装层.每个环节生产合格的概率均为且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的

固定成本为I万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000

元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？

附：参考公式：K-=------\-----其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)

00.1000.0500.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.

【详解】

（1）根据所给等高条形图，得到2x2的列联表:

22

A材料3材料合计

成功453075

不成功52025

合计5050100

K2的观测值K=10°X(45X20-5X30)=骁，由于12〉6.635，

50x50x75x25

故有99%的把握认为试验成功与材料有关.

(2)生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元.易知X可得0,0.1,0,2,0.3.

P(X=。"/啥需

P(X=0.2)Y©净条P(X=0.3)=©=5

则X的分布列为：(分布列也可以不列)

X00.10.20.3

81261

P

27272727

修复费用的期望：£（X）=0x—+0,1X—+o.2x—+0.3X—=0.1.

v727272727

所以石墨烯发热膜的定价至少为0.1+1+1=2.1万元/吨，才能实现预期的利润目标.

22

21.(2020•五莲县教学研究室高二期中)已知抛物线C:/=2内(,〉0)的焦点F与椭圆、+《=1的

右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线腿4,也分别与抛物线。相切于点/,B.

23

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设直线M4,M3的斜率分别为勺，k2,证明：尢•k2为定值；

(3)求的最小值.

【答案】(1)y2=4x；(2)证明见解析；(3)4.

【详解】

(1)由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)..・抛物线的焦点为E(l,0),.•.夕=2,

所以抛物线的标准方程：y2=4x.

(2)抛物线C的准线方程为x=—1.

设M(—1,。，设过点M(—1J)的直线方程为y=k(x+l)+t,

与抛物线方程V=4x联立，消去x得：fy2-4y+4k+4t=0.

其判别式△=16-16人(左+。，令△=(),得：k2+kt-l=Q-

—

由韦达定理知左]+左2=T,左左2=-1，故k[k2—1(定值).

1-k2

(3)设/(演，必)，B(X2,%),由严+k—1=0，得，=

k

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\-k22

故ky2-4y+4左+4/=ky2-4y+4k+4x=ky-4