2024年高考数学模拟卷2（新高考专用）（解析版）

2024年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第U卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求.

1.（5分）（2023•西藏拉萨•统考一模）已知全集[/={-135,7,9},CVA={-1,9},B={3,7,9},则AnB=

（）

A.{3,7}B.{3,5}C.{3}D.{9}

【解题思路】根据补集、交集的知识求得正确答案.

【解答过程】因为U={—1,3,5,7,9},CuA={-1,9},所以4={3,5,7},

因为B={3,7,9},所以力nB={3,7}.

故选：A.

2.（5分）（2023•山东潍坊・统考模拟预测）已知i是虚数单位，若非零复数z满足（l-i）z=|z/，则忘=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【解题思路】设2=。+历（4匕6/?）,利用复数的乘法、复数的模长公式以及复数相等可得出a、b的值，可

得出z的值，由此可求得名的值.

1+1

【解答过程】设z=a+fei（a,bER）,则（1一i）z=（1—i）（a+bi）=（a+b）+（b—a）i,

由（1—i）z=可得（a+b）+（b—a）i=a2+h2,

所以，1+上=。2：炉，又因为％HO,所以，。。=i,贝i]z=l+i,故£=L

Ib—a=0i+i

故选：A.

3.(5分)(2023.全国•模拟预测)已知向量d=(居1),b=(2,y),=(x,y).若伍+3)10-3),且力/3,

则同=()

A.V2B.V3C.V5D.V6

【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为母=小-点=0,然后利用向

量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得x,y的值，进而计算向量乙=(x,y)的模.

【解答过程】因为2=(%,1),B=(2,y),

由0+1)_L6一田可得，0+1)-0-1)=必一/=0,

即(%2+1)-(4+y2)=0,整理得一y2=3.

又因为小区所以xy=2,

故|曰=y/x2+y2=V5,

故选C.

4.(5分)(2023•江苏苏州•校联考模拟预测)江南的周庄、同里、用直、西塘、鸟镇、南沼古镇，并称为

“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古

镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3

处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为()

2314

A.-B.-C.-D.-

5555

【解题思路】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法求概率即可.

【解答过程】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有髭=15种情况，

只选一个苏州古镇的概率为尸=譬=|・

故选：B.

5.(5分)(2023•全国•模拟预测)记%为等差数列｛册｝的前〃项和，已知劭=1，S4=8.若S九-2an=6,

则71=()

A.5B.6C.7D.8

【解题思路】设等差数列的公差为d,由等差数列的通项公式和前几项和公式列方程组，解方程求出

即可求出％i，S小代入%—2an=6即可得出答案.

【解答过程】设等差数列5｝的公差为d.由条件可知心:晨工解得‘真丁’

n

2

所以a”=—1+2(n—1)—2n—3,Sn—"：2"—n—2n.

由5n-2an=6,得/-2n-2(2n-3)=6,即1-6n=0,解得n=6(n=0舍去).

故选：B.

6.(5分)(2023•山东•山东省校联考模拟预测)已知函数f(x)=Asin(5+0)(2>0,3>0)的部分图如

【解题思路】由图象求得函数解析式，可求

【解答过程】函数/'(x)=力sin(3x+cp),

由图象可知，4=2,

函数最小正周期为T,有介卷一(_自=/则T=g=y3=3,

得/(%)=2sin(3x+(p),

由/(—£)=2sE[3(一2)+同=2sin(-；+9)=2,取R=4

则f(%)=2sin(3%+乎)，

fC)=2sin(3%+乎)=2sin卜。+刑=2si吟=-V2.

故选：B.

22

7.(5分)(2023•全国•模拟预测)已知双曲线C京—a=l(a>0,b>0)的右焦点与实轴的右端点分别为

点F,4以点力为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P,。为坐标原点.若AOPF为等腰三角

形，则双曲线C的离心率e=()

A.V3B.V2C.V4D.e或遮

【解题思路】设渐近线法-ay=0,由点到直线的距离公式求出点4(a,0)到渐近线的距离，得出|。尸|,再

分类讨论AOPF为等腰三角形，分别求解即可.

【解答过程】如图，不妨取渐近线bx-ay=0,则点4(a,0)到渐近线的距离d=溪9=?

所以|OP|=2Va2-d2=V，

若|OP|=|OF|,则齐=c,所以离心率e=5=&；

若|OP|=|PF|,则点P的横坐标x=会将x=|代入ay=0,得点P的坐标为6普)，

所以］$+右)2=/即白竽解得0=£=返，

若|OF|=|PF|,取。P的中点E,连接EF,

由等腰三角形三线合一知，EF1OP,

连接E4由垂径定理知，EA1OP,显然矛盾，故|。尸|=|PF|不成立；

综上，双曲线C的离心率为a或四，

故选：D.

8.(5分)(2023•河北邢台•宁晋中学校考模拟预测)已知/'(久)=/+cos久，xER,若a=f(sin；),6=

/(e4),c=/(-1),则()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】借助导数先分析函数/(x)的性质，由偶函数性质可得c=/(-3=/&),构造函数先比较sin；

与;的大小关系，结合/(x)单调性可得a、c之间的大小关系，同理比较与;的大小关系即可得b、c之间的

44

大小关系.

【解答过程】/'(%)=2x—sinx,令g(%)=2x—sinx,贝!Jg'(%)=2—cosx>0,

故g(%)=2x—sin久在久ER上单调递增,又g(0)=0—0=0,

故当%>0时，/'(%)=g(%)>0,故/(%)在［0,+8)上单调递增，

又/(-%)=X2+cos(-x)=X2+cosx=/(%),故/(%)为偶函数,

故a-c=/(sin；)-/(-；)=/(sin;)-/(；)，

令九(%)=sin%—x,则h'(%)=cosx—1<0,

故h(%)在R上单调递减，故％0</i(0)=0,即有sin]<

由f(x)在[0,+8)上单调递增，故f(sin<0,

即a<c；

b-c=f(向-Of(e=)-f()

由eW>『】=：>[,故/(eW)>/G),即b>c,

综上可得：a<c<b.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.(5分)(2023•全国•模拟预测)为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者(480名

教师情况如图)轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则

r青年男教师96人

A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同

B.派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%

C.派遣的老年教师有144人

D.派遣的青年女教师有15人

【解题思路】利用分层抽样结合各比例关系求解

【解答过程】因为言=。2

所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%,

则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的1-30%-40%-20%=10%,

则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%,故A,B正确;

派遣的老年教师人数为150x0.3=45,故C错误；

派遣的青年女教师的人数为150X0.1=15,故D正确.

故选：ABD.

10.（5分）（2023•山西临汾•校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-a/iGDi中，点E,F

分别为棱GD1的中点，点G为线段BG上的一点，则下列说法正确的是（）

A.&G1B]D

B.三棱锥8—2EF的体积为］

C.直线与直线BE所成角的余弦值为；

D.直线4G与平面BDG所成角的正弦值的最大值为竽

【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法解决位置关系的角度距离问题.

【解答过程】以。为原点，瓦5,尻，西的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),(0,0,2),4式2,0,2),%(2,2,2),G(0,2,2),F(0,0,l),F(0,l,2),

瓦方=(-2,-2,-2),=(-2,2,0),~BC[=(-2,0,2),

B]。・4。]=4—4=0,B]D,BC]=4—4=0,则/DJ.41c1，B】D工BC「

即BiO_L/iCi，BrD1BC1,BO】u平面ArCrClBC±=C1,

Bi。，平面//Ci，&Gu平面//Ci，ArG1BrDfA选项正确；

正方体中有48u平面/BE,DiGC平面5心〃平面4BE,

^B-AEF=^F-ABE=^Dr-ABE=^B-AED1=^^AEDr'=

即三棱锥B-2EF的体积为I，B选项错误;

而=(-2,1,2),BE=(-2-2,1)，贝1Jcos(都，屁=,=g

所以直线AF与直线BE所成角的余弦值为京C选项正确；

DB=(2,2,0),鬲=(0,2,2),设平面BDQ的一个法向量元=(x,y,z),

则有伊•吧=2x+2y=0

，令y=-l,则久=l,z=1,n=(1,-1,1)，

(n•DC1=2y+2z=0

设QG=XCrB,0<A<l,则GG=AQ+CrG=AQ+gB=(-2,2,0)+4(2,0,-2)=(2A-2,2,—22)

直线4G与平面BOG所成角的正弦值等于|cos(中，元)|=12A—2—2—2A|4

V(2A-2)2+22+(-2A)2XV32&Xy/^xJ(；)+|

当；l=泄，直线&G与平面BDG所成角的正弦值的最大值为手，D选项正确.

故选：ACD.

11.(5分)(2023•山东泰安・统考模拟预测)已知抛物线C:久2=4y,。为坐标原点，尸为抛物线C的焦点,

准线与y轴交于M点，过点尸作不垂直于y轴的直线/与C交于4,B两点.设P为y轴上一动点，Q为力B的中点，

5.AB1PQ,则()

A.当［4F|=3|FB|时，直线［的斜率为土日

B.\AB\>2\PF\

C.\BF\(i\MA\+\MB\)=2\MB\\PF\

D.若正三角形△ODE的三个顶点都在抛物线上，则△ODE的周长为4b

【解题思路】设直线Z的方程为y=kx+l,联立方程，利用根与系数的关系及|4F|=3|FB|求k,可判断A,

由点差法及垂直关系，抛物线的定义可得|4B|=2|PF|判断B,由心M+kBM=0可得MF平分乙4MB,据此

可判断C,根据正三角及抛物线的对称性求出坐标即可判断D.

【解答过程】如图,

对于选项A,设过焦点尸(0,1)的直线[的方程为y=依+1,4(%1，%)，以物力)，

,(y=kx+l,

由1%2_4y，得％2—4fcr—4=°，..x1+x2=4fc,xrx2=-4,

由|ZF|=3|93|可知一%1=3%2，代入%1+&=4%,得久1=6k,x2=-2k,

由％i%2=—%得一12攵2=—4,，42=1,则k=±日，故A正确.

对于选项B,F(0,l),设点Q的坐标为(%0，%)，则2%O=%I+%2，2yo=%+3/2・

由但=?】得好—煨=4(当_%)，所以及*=半=9则直线I的斜率为当

(说=4y2%1-%2422

因为力B1PQ,所以直线PQ的斜率为一2，则直线PQ的方程为y-y0=-三0-通)-

%0%0

令％=0,则丫=%)+2,所以点P的坐标为(0/0+2),

^\\PF\=y0+2-l=y0+l.

由抛物线的定义可知，\AB\=\AF\+\BF\=y[+丫2+2=2yo+2,

所以|4B|=2\PF\,故B错误.

对于选项C,因为热网+k=yi+-+y2+-

BM%1%2

kx-i+2,kx+22kxx+2(x+x)2kx(-4)+2x(-4k)„

=--------1-----2---=------1--2-------1----2-=--------------------=U，

X2%1%2-4

所以直线AM与直线8M关于y轴对称，即MF平分乙4MB,

所以凶=她^,\AM\+\BM\=|4F|+|BF|=幽=2|PF|

整理得|BF|(|M4|+\MB\)=2\MB\\PF\,故C正确.

对于选项D,设。(%3，、3),£(%4,74)＞因三角形。DE为正三角形，

则|。。|=\0E\0X3+73=X4+741

又据=4y3，A=4y4，

则4(丫3-y4)=资一抬n(74-%)(、4++4)=0.

因丫3，、4>°，则、4=丫30％4+久3=°,

x_V3后

则五4=可=［如］4??,贝l|D(—48,12),E(4V3,12).

,xl=4y4(%=12

得△。。£的周长为24次，故D错误.

故选：AC.

12.(5分)(2023•河北保定・统考二模)已知函数f(x)=a——3久+1,则()

A./(%)在［―1,1］单调递减，则a>l

B.若a>0,则函数f(x)存在2个极值点

C.若a=l,则/(%)有三个零点

D.若f(x)>0在恒成立,则a=4

【解题思路】依题意若f(x)在［-1,1］单调递减可求得aW1，可知A错误；若a>0,可判断出函数f(x)的单

调性，即可求出函数f(x)存在2个极值点，即B正确；将a=1代入可得出函数f(x)的单调性并画出图象即

可知C正确；利用参变分离并根据单调性求出函数最值即可得出D正确.

【解答过程】易知函数“X)的定义域为R,且尸Q)=3a/-3,

若/(x)在［-1,1］单调递减，可得尸(x)<0在［—1,1］上恒成立，

即a/<1在上恒成立，当％=0时，a为任意值时都成立，

当x6［—1,0)U(0,1］时,可得a<专，易知x6［—1,0)U(0,1］时,专e［1,+8)；

即函数y=2在xG［-1,0)u(0,1］上的最小值为1,

所以可得aW1即可，可得A错误;

若a>0,令尸0)=3a/-3=0,可知方程3a久2-3=0有两个不相等的实数根《和一

所以当xe时rco>o；时尸(x)<0；

所以函数/O)存在2个极值点，即B正确;

若a=1,则广(x)=3/-3,易知xe(―8,—1)u(1,+8)时/(%)>o；xe(―1,1)时((x)<0；

即f(X)在(-8,-1)和(L+8)上单调递增，在上单调递减,

所以/(%)的极大值为/(—1)=3>0,极小值/(I)=-1<0；

画出其函数图象如下图所示:

即可知/(%)有三个零点，所以c正确；

若/(%)>0在恒成立，易知当工=0时，无论a取何值时，/(%)>0恒成立；

当％>0,即OVxWl时，需满足aN,-白恒成立，

不妨设九(%)=2一妥,％E(0,1］,可得〃(%)=一塌+,=%等,

所以当0<%<用寸，hrM>0,所以/1(%)单调递增；

当时，”(%)V0,此时h(%)单调递减；

所以h(%)<h(^=4,可得a>4；

当xV0时，即一1<工<0,需满足。工2-5恒成立，

易知函数y=盘—2,xe［—1,0)的导函数旷=与竺显然—1<%<0时/>0,

即函数y=1-2在［-1,0)上单调递增，所以%nin=4,

可得a<4；

综上可得a=4,

所以，若/(%)Z0在［一1,1］恒成立，则。=4,即D正确.

故选：BCD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)(2023.安徽•校联考模拟预测)二项式(久-2)(1+x尸的展开式中，所有项系数和为-256,则

4的系数为-48(用数字作答).

【解题思路】利用赋值法求得九，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【解答过程】令x=1可得二项式(％—2)(1+x)n的所有项系数和为—2"=—256,所以n=8.

二项式(1+x)8的展开式的通项公式为r+i=•x=，r=0,1,8,

所以(x—2)(1+工产的展开式中,/的系数为禺一2髭=-48.

故答案为：-48.

14.(5分)(2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测)四棱锥P-力BCD的底面ABC。是平行四边形,

点E、厂分别为PC、AD的中点，平面BE尸将四棱锥P-48CD分成两部分的体积分别为明，彩且满足%＞彩，

【解题思路】利用椎体的体积公式求解.

【解答过程】

如图，延长交于点G,连接GE交PD于点M,

因为底面4BCD为平行四边形，所以AFDG与△凡4B全等,

且△FOG与△8CG相似，相似比为点

设AFDG的面积为S,则四边形BCDF的面积为3S,

设点P到底面力BCD的距离为八,

W-BCDF=1x3Sxi/i=is/i,

又因为E为PC的中点,所以/一£）尸M=5%-OFM=5%-。FM，

而/-DFG=X：八=代%~^G-DFM+^E-DFM~^E-DFM所以4-DFM=

OZOVE-DFGlo

所以彩=VMECBFD=^E-BCDF+^E-DFM=gS/l，

所以%=VP^ABCD_/：x4Sx/I—|s/i=\sh,

所以台=3

l<25

故答案为：

15.(5分)(2023上•湖北•高三校联考阶段练习)已知。。1：久2+(y-2)2=1,O。2：(久一3)2+(y-6)2=9,

过x轴上一点尸分别作两圆的切线，切点分别是N,当|PM|+|PN|取到最小值时，点P坐标为G，0).

【解题思路】P(t,0),则+\PN\=VPTS+V(t-3)2+27=J(t-0)2+[0-(-V3)]2+

—3乃+(0—3百产可看成点P到两定点4(0,-b)，B(3,3g)的距离和，而4B两点在x轴的两侧，所

以4B连线与久轴的交点就是所求点P.

【解答过程】0。1：/+。-2)2=1的圆心为0式0,2),半径勺=1,

O。2：(x—3)2+。一6尸=9的圆心为。2(3,6),半径万=3,

设PQ,0),则|PM|=JlPO/2_i=Vt2+4-1=7t2+3,

|PN|=-32=—3)2+62—9=V(t-3)2+27

所以|PM|+|PN|=Vt2Ts+V(t-3)2+27=J(t-O)2+[0-(-V3)]2+J(t-3)2+(0-35/3)2,

取4(0,一百),B(3,3V3)

贝+\PN\=\PA\+\PB\>MB|=J32+(4V3)2=V57,

当P,48三点共线时取等号，

此时48直线：丫+75=呼0-0)

令y=0,贝l]x=|,P(|,0),

故答案为：GQ.

16.(5分)(2023•全国•模拟预测)己知函数/(x)=sin(3乂-f(3>0)在(it浮)上单调递减，在(0,2TT)上

恰有3个零点，则3的取值范围是(；,引.

【解题思路】先通过有3个零点列不等式求3的取值范围，再通过在（1T,?）上单调递减列不等式求3的取值

范围，综合可得3的取值范围.

【解答过程】设t=当工6(0,2TT)时，tG(-p2irto-^,

因为函数f(x)在(0,2TT)上恰有3个零点，

贝IJ2TT<2Tt3--<3IT,解得Z<&)<-.

363

当xe6翁)时，等一》

因为函数f(x)在(n，m)上单调递减，

neo———H2/cir

所以｛33n3n,kez,解得w+2kW3W可+可，kEZ,

-S---rZ/CTC

232

取k=0,贝*<3W苦.

综上，[V3£

69

故答案为：g,y].

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）（2023•山东・山东校联考模拟预测）记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知^=4.

C0Si4

⑴求be：

若竺士竺婚=2+i,求△ABC面积.

acosB+bcosAc

【解题思路】（1）由余弦定理化简已知等式，可求be；

（2）由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角4面积公式求△ABC面积.

【解答过程】（1）由余弦定理=房+C?-26ccos4,得b+c-a=2bcc：s4=2bc=4,

cos>lCOST!

所以be=2.

-ac-o-s-B--b-c-o-s-A=-b+,1.,由正弦定理,

acosB+bcosAc

acosB-bcosA_sin>lcosB—sinBeosAsirii4cosB—sinBeosA_sirh4cosB-sinBeos/

acosB+bcosAsirL4cosB+sinBeos/sin(4+B)sinC

b,yb+csinB+sinCsinB+sinM+B)sinB+sinAcosB+sinBcosA

-+1=--=------=---------=---------------

ccsinCsinCsinC

所以—2cos/sinB=sinB,

因为Be(Om),故0<sinBWl,所以cos4=—之

又0<4<it,所以sim4=

故44BC的面积为SAABC=j^csinX=|x2x^=^.

18.(12分)(2023•全国•模拟预测)已知各项都为正数的数列｛a“｝满足的=3,a2+a3=36,碌=

an_ran+1(n>2),等差数列｛4｝满足坛=a2,bu=a3.

(1)求数列｛an｝和｛篇｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的前n项和为S”，求数列｛厮+六｝的前n项和

【解题思路】(1)根据条件可知数列｛/J是等比数列，根据等比数列的通项公式结合题中条件解出即可求

得｛5｝的通项公式，继而可求得｛b｝的通项公式；

(2)化简数列｛。n+&｝的通项公式，分成两组进行求和，其中一组用公式求和，另一种七=羔一亳)，

采用裂项相消求和即可.

【解答过程】(1)因为数列｛册｝的各项都为正数，且成=%1T•an+i(n22),

所以数列｛即｝是等比数列.

设等比数列｛斯｝的公比为q(q>0且q丰1).

由=3,g+。3=36,得3q4-3q2=36,

即q2+q_12=0,解得q=3或q=-4舍去),

所以。九=3x3n-1=3n.

设等差数列｛g｝的公差为d.

由题意，得竟27,

解嘴二:

所以"=7+(九一1)X2=2九+5.

(2)因为S”=7n+x2=n2+6n,

所以a“+春=3n++=3n+[g_^),

所以％=(31+32+•••+3n)+|(1-|+j-^+1-|+--■+；一总)

_3(1-3n)1/311\

=-3+武广壬一后

_3n+132n+3

242(九+1)(71+2)・

19.(12分)(2023・四川自贡・统考一模)2025年四川省将实行3+1+2的高考模式，其中，“3”为语文、

数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考

生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1,再从政治、地理、化学、生物

中4选2,形成自己的高考选考组合.

(1)若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；

(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，

得到如下统计数据，写出下列联表中a,d的值，并判断是否有95%的把握认为“选科与性别有关”？

选择物理选择历史合计

男生a10

女生30d

合计30

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k0)0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

【解题思路】(1)根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随

机选科，符合二项分布，即可求得答案；

(2)由题意确定a,d的值，计算K2的值，与临界值表比较，即得结论.

【解答过程】(1)设物理、历史2门科目为政治、地理、化学、生物科目为e,b,c,f,

则根据高考选考组合要求共有组合为(zn,e,b),(m,e,c),(m,e,/),(m,b,c),

(m,b,f),(m,c,f),(n,e,b),(n,e,c),(n,e,/),(n,b,c),(n,b,f),(n,c,f),共12种,

所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为p=*

则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布8(6,*),

故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为6x^=|；

(2)由题意可得a=40,d=20；

100(40X20-10X30)2

=4.762>3,841,

50X50X70X30

所以有95%的把握认为“选科与性别有关”.

20.(12分)(2023・四川凉山・统考一模)如图，在四棱锥中，底面A8CD是边长为4的正方形,

APD=2,PB=2V7.

PAD=6

(1)证明：平面PAD_L平面ABC。；

(2)若E为PC的中点，求二面角A—BE—C的余弦值.

【解题思路】(1)在△PAD中，利用正弦定理证得乙4PD=；,再结合面面垂直的判定定理证得结果;

(2)利用空间向量法，求平面与平面力8E的法向量，利用两个法向量的余弦值得到结果.

【解答过程】(1)证明：在△「?!£»中，由3=，得sin乙4PD=1,Z.APDG(0,Tt),

sm-smZ-APD

6

所以贝妤4=4COSE=2百，

26

又PB=2V7,AB=4,

所以PB?=PH?+AB2,即48_LPa,

因为481a。，又a。,PAu平面pa。，ADaPA^A,所以ABI平面PAD,

因为4BU平面4BCD,所以平面PAD_L平面4BCD.

(2)因为四边形4BCD为正方形,则C0L4B,

又因为4B1平面P4D,贝UCD1平面PAD,

以点。为坐标原点，DA,OC所在直线分别为x、y轴，

平面PAD内过点。且与直线4。垂直的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

ZA

E

x

则4(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),P(l,0,⑸，呜2,今

所以，BA=(0,-4,0),BE=(-p-2,y)-BC=(-4,0,0).

设平面力BE的法向量为il=(xi，yi，zj,

u-BA=-4y1=0

贝|J_一7V3，取久1=遍，则丘=(低0,7).

u,BE=——x-y—2yl+—Z]=0

设平面BCE的法向量为力=(x2fy2fz2)f

v-BC=-4x2=0

则T—>7V3，取=-遮，可得/=(0,-遮,—4),

z

v•BE=--%2-2y2+~2=0

设二面角Z-BE-C的平面角大小为仇

川--28_14V247

-

人」"|u|.|v|-2V13XV19-247'

所以，二面角4一BE—C的余法值为一嚓^

21.(12分)(2023•全国•模拟预测)已知双曲线C:/《=l(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离为2®

双曲线C经过点P(4,6).

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若过点P的直线P4PB分别与双曲线C交于不同的两点4B,线段4B的中点为M,且直线P4PB的倾斜角

互补，则双曲线上是否存在定点N,使得△PMN的面积为定值？若存在,求出定点N的坐标和4PMN的面积；

若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可；

(2)设直线P4PB方程,利用其斜率表示A.B.M坐标,得出点M在直线y=-1x上,从而判定PN与y=-1久

平行，求出N的坐标，再求出面积即可.

【解答过程】(1)由题意不妨设一焦点为尸(c,0),

易知双曲线的一条渐近线为Ly=5%，即-ay=0,

则点F至〃的距离d=~^==b=25

y/bz+az

•・•点产(4,6)在双曲线C上，

・•・号一^|=1,结合b=2W，得a=2,

a2bz

22

・••双曲线C的标准方程为千—三=1.

412

(2)显然直线P4PB的斜率均存在且不为0,设直线P4的斜率为k,

则直线PB的斜率为—般直线PA的方程为y-6=fc(x-4),

y—6—fc(x—4)

联立直线P4与双曲线方程，得/y2,

------=1

V412

化简得(3—忆2)%2—2k(4k—6)x—(161—48fc+48)=0(3—k?W0,且A>0).

设4(Xi，yi),B(>2，y2)，M(Xo，yo)，贝1J4/=空写箸!也，

J曰4k2・12k+124(fc2-3k+3)

侍与=H-3=%3'

将均代入直线P4的方程，得为=笔翳2,则a(M*：：3),6(k；手+3)).

同理可得B(也学竺2,处当2).

•••4B的中点M的坐标为(笔等，嗤学)，

记。为坐标原点，连接。M,

•••k()M=-1，

・••点M在直线y=-1%上，

又k°M=—|E(―V3,V3),

故经过点P且与直线。M平行的直线与双曲线有两个不同交点，

则除点P外的另一个交点即为定点N,且满足△PMN的面积为定值，

易知直线PN的方程为y=-|%+12,代入双曲线C的方程，化简得％2+48%-208=0,即(％-4)(%+52)=

0,**,%N=-52,

把%N=—52代入y=—弓％+12,得yN=90,即定点N(—52,90),

此时|PN|=，(-52-41+(90-6产=28V13,

•••OM//PN,

二点M到直线PN的距离d”等于点。到直线PN的距离d。，

则%=d°=吊％=右

SAPMN=&x28V13x=336,

故存在定点N(-52,90),使得△PMN的面积为定值336.

22.(12分)(2023上•河南•高三校联考阶段练习)已知函数/(X)=比Inx—a(2/+l)(aeR).

(1)若<2=-1,求/Xx)的图象在X=1处的切线方程；

(2)若/(尤)有两个极值点/，X2(%!<X2).

①求a的取值范围；

②求证：3刀2—％1>|'—2.

【解题思路】(1)利用切点和导数几何意义即