高中数学立体几何经典题型练习题集(附有答案)

高中数学立体几何经典题型练习题集

学校：姓名:班级：考号：

题号—■二三总分

得分

评卷人得分

单选题

1.正三棱锥的底边长和高都是2,则此正三棱锥的斜高长度为（）

A,*B.当C.J?D.号

2.在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中,若E,F,G分别为CiDi,AAi,BBi的中点,则空

间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）

°I5

C.一D.

48

3.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）

A.底面是正方形，有两个侧面是矩形

B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

4、如图，P是正方体ABCD-AiBiCiDi对角线ACi上一动点，设AP的长度为X,若aPBD的面

积为f(x),则f(x)的图象大致是()

5、如图所示，AB是圆。的直径，C是异于A,B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆。

所在的平面，则^PAB,APAC,AABC,ZXPBC中，直角三角形的个数是()

A.1B.2C.3D.4

6、如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中,E、F、G分别是棱AiBi、BBi、BiCi的中点,则下列

结论中：

D.

①FGJ_BD；

②团口，面EFG；

③面EFG〃面ACCiAi；

④EF〃面CDDiCi.

正确结论的序号是（）

A.①和②B.③和④C.①和③D.②和④

7、三棱锥P-ABC,PC_L面ABC,/kPAC是等腰三角形，PA=4,AB±BC,CH±PB,垂足为H,

D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）

2^6

C叵D.

.3

8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（)

ABCD

二.填空题（共—小题）

9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC_LBD,AC=m,

BD=n,则四边形EFGH的面积为.

10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA_L平面ABC,PA=2AB,给出下列结

论：①PB_LAE；②平面ABC_L平面PBC；③直线BC〃平面PAE；④/PDA=45°；⑤直线PD

与平面PAB所成角的余弦值为叵.其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）.

4

f

/XX

/A

/一-，以二二^^

A6

11.如图所示，三棱锥M,PAL底面ABC,ZABC=90°,则此三棱锥P-ABC中直角三角形有

______个.

12、如图,正三棱柱ABC-AiBiCi的各棱长都等于2,D在AQ上,F为BBi中点,且FD_LACi,

(3)二面角F-ACi-C的大小为90°；

(4)三棱锥D-ACF的体积为，.

正确的有.

13.各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为.

14.一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4,则此截面把

一条侧棱分成的两段之比为.

15、如图所示正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,线段BiDi上有两个动点E,F且EF=「，给

出下列五个结论

①AC_LBE

②EF〃平面ABCD

③异面直线AE,BF所成的角为60°

@A1点到面BEF的距离为定值

⑤三棱柱A-BEF的体积为定值

其中正确的结论有：（写出所有正确结论的编号）

评卷人得分

三.简答题（共一小题）

16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、AACD.ZXADB和ABCD,E、F、G分别

是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD,

17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知^BCD是正三角形，AB_L平面BCD,AB=BC=a,E为BC

的中点，F在棱AC上，且AF=3FC.

D

(1)求三棱锥D-ABC的表面积；

(2)求证AC_L平面DEF；

(3)若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N,使MN〃平面DEF?若存在，说明点N

的位置；若不存在，试说明理由.

参考答案

一.单选题(共一小题)

1.正三棱锥的底边长和高都是2,则此正三棱锥的斜高长度为()

标D考

A.DR.----------C.J5

3

答案：D

解析:

解：在正三棱锥中，顶点P在底面的射影为底面正三角形的中心0,

延长A0到E,则E为BC的中点，连结PE,则PE为正三棱锥的斜高.

:正三棱锥的底边长和高都是2,

AAB=P0=2,

即AE$0E=UE=^-XJ3=^,

・•,斜IWJPE二小尸。2+0七2=2?+（W）2=4+^-=

故选：D.

2、

BBi的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）

答案：B

解析：

解:过E点做EH垂直CD于H,连接EH,易得H即为E在平面ABCD上的射影,

则AH,BH,AB分别为FE,EG,FB在平面ABCD上的射影，

又由G在平面ABCD上的射影为B,

故AABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影

晨1

•0△ABH="OABCD=--

故选B

3.一个棱柱是正四棱柱的条件是()

A.底面是正方形，有两个侧面是矩形

B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

答案：C

解析：

解：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.

故A和B错在有可能是斜棱柱，

D错在上下底面有可能不是正方形，

底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直

于底面.

故选C.

如图，P是正方体ABCD-AiBiCiDi对角线ACi上一动点，设AP的长

度为X,若4PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是()

答案：A

解析：

/解：设正方体的棱长为1,连接AC交BD于0,连P0,

X

"011*12*

则P0是等腰4PBD的高，

故aPeD的面积为f(x)=2-BDXP0,

9cosZPAO=X2+^-2XX£X-^=

在三角形PAO中，PO=^pA2+AO2_2pAxA(>

721

Af(x)=-XFx.V2-H—2XXX-==—A—-=.v+-，

rr，

画出其图象，如图所示，

对照选项，A正确.

故选A.

5、

P

如图所示AB是圆。的直径，C是异于A,B两点的圆周上的任

C

意一点，PA垂直于圆0所在的平面，则APAB,APAC,AABC,APBC中，直角三角形的个

数是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：D

解析：

证明：；AB是圆0的直径

.1.ZACB=900即BCLAC,三角形ABC是直角三角形

又；PAL圆。所在平面，

/.△PAC,ZXPAB是直角三角形.

且BC在这个平面内

；.PAJ_BC因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，

；.BC_L平面PAC,

•••△PBC是直角三角形.

从而^PAB,APAC,AABC,ZXPBC中，直角三角形的个数是，4.

故选D.

6、

在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F、G分别是棱AiBi、BBi、

①FG_LBD；

②团。_1面EFG；

③面EFG〃面ACCiAi；

④EF〃面CDDiCi.

正确结论的序号是（）

A.①和②B.③和④C.①和③D.②和④

答案：D

解析:

如图连接AiCi、AiB、BCi、BD、BiD,因为E、FG分别是棱

对于①因为FG〃BCi,△BDCi是正三角形，FG_LBD,不正确.

对于②因为平面AiCiB〃平面EFG,并且BiD_L平面A1C1B,所以瓦口上面EFG,正确.

③面EFG〃面ACCiAi；显然不正确.

④EF〃平面CDDiCi内的DiC,所以EF〃面CDDLCI.正确.

故选D

7、

三棱锥P-ABC,PC_L面ABC,△PAC是等腰三角形，PA=4,ABXBC,CH

±PB,垂足为H,D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（

A.1B.生cWD.生

3333

答案：D

解析：

解：三棱锥P-ABC中，PC_L面ABC,ABu平面ABC,/.PC±AB；

又AB_LBC,BCnPC=C,

•\AB_L平面PBC；

又CHc平面PBC,

又CH±PB,

PBCIAB=B,

，CH_L平面PAB,

又DHu平面PAB,

/.CHIDH；

又△PAC是等腰直角三角形，且PA=4,D是PA的中点，

.•.CD=-PA=2,

2

设CH=a,DH=b,

则a2+b2=CD2=4,

4=a2+b2^2ab,

即LbWl,

2

当且仅当a二b二「时，“二”成立，此时4CDH的面积最大;

在RtAPBC,设BC=x,

则PB=J/,C2+BC2=J(2jy)2+x2=j8+x2'

.,.-PC«BC=-PB*CH,

22

即2值》=曲・「；

解得x=半，

/.CB的长是生.

3

故选：D.

则其展开图是（）

ABCD

答案：D

解析：

对于A,展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，

故A的图形不符合题意；

对于B,展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，

且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故B的图形不符合题意；

对于C,展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，

故C的图形不符合题意；

对于D,沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如D项图的形状，故D的图形符合题

思

故选：D

评卷人得分

二.填空题（共_小题）

9、

B

并且AC_LBD,AC=m,BD=n,则四边形EFGH的面积为

答案：竽

解析:

解：由ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC_LBD,可得四边形

EFGH为矩形,

且此矩形的长和宽分别为景和W，故四边形EFGH的面积为9・£=学,

故答案为：—.

4

10.

f

/VOK

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA_L平面

A3

ABC,PA=2AB,给出下列结论：①PB_LAE；②平面ABC_L平面PBC；③直线BC〃平面PAE；

@ZPDA=45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为胆.其中正确的有（把所

有正确的序号都填上）.

答案：①④⑤

解析：

解：对于①、由PA_L平面ABC,AEc平面ABC,得PA±AE,

又由正六边形的性质得AE_LAB,PAHAB=A,得AE_L平面PAB,又PBu平面PAB,

•*.AE±PB,①正确；

对于②、又平面PABJ_平面ABC,所以平面ABCJ_平面PBC不成立，②错；

对于③、由正六边形的性质得BC〃AD,又ADu平面PAD,；.BC〃平面PAD,.•.直线BC〃平

面PAE也不成立，③错；

对于④、在RtZ\PAD中，PA=AD=2AB,ZPDA=45°,...④正确；

对于⑤、由于DE〃AB,；.D到平面PAB的距离即为E到平面PAB的距离，即E到直线PA的

距离，即EA,EA=「AB,

在RtZiPAD中，PA=AD=2AB,/.PD=2j2AB,

.♦.直线PD与平面PAB所成角的正弦值为罩上=£

2忤84

畀手...⑤正确.

二直线PD与平面PAB所成角的余弦值为1-(

故答案为：①④⑤.

11.如图所示，三棱锥M,PA_L底面ABC,NABC=90°,则此三棱锥P-ABC中直角三角形有

______个.

答案：4

解析：

解：由己知PA_L底面ABC,ZABC=90°,

所以CB_LPA,CBXAB,又PACAB=A,

所以CB_L平面PAB,

所以CB±PB,

所以此三棱锥P-ABC中直角三角形有△ABC,AABP,AACP,△PBC共有4个.

故答案为：4.

(1)ACiXBC；

(3)二面角F-ACi-C的大小为90°；

(4)三棱锥D-ACF的体积为叵.

3

正确的有.

答案：(2)(3)(4)

解析:

解：(1)连接ABi,则NBiCiA即为BC

和ACi所成的角，在三角形ABiCi中，BiCi=2,ABi=2j2,

l8+4-8J?

ACi=22，cos/BiCiA=p==—，

2x2必24

故⑴错;

(2)连接AF,CiF,则易得AF=FCi=J1,

又FD_LACi,贝!]AD=DCi,故(2)正确；

(3)连接CD,则CD_LACi,且FD_LACi,

贝U/CDF为二面角F-ACi-C的平面角，CD=「，CF=JJ,DF=J,尸2_4Q2=]5-2=后，

gpCD2+DF2=CF2,故二面角F-ACI-C的大小为90°,故(3)正确；

(4)由于CD_LACi,且FD_LACi,贝UAD_L平面CDF,

.故(4)正确.

故答案为：(2)(3)(4)

13.各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为

7-)

答案：-no-

解析：

解：：正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上,

所以球心在上下底面中心的连线的中点上,

AB=a,OA=R,在AOEA中,0E9,

•.,AO2=OE2+AE2,

7，

二・球的表面积为4兀R2二—n«一,

3

故答案为，n”;

14.一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4,则此截面把

一条侧棱分成的两段之比为.

答案：1:1

解析：

解：根据题意，设截得小棱锥的侧棱长为L原棱锥的侧棱长为L,

:截面与底面相似，且截面面积与底面面积之比为1：4,

；•相似比为:

截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是

I：(L-I)=1：1.

故答案为：1：L

15、

动点E,F且EF=「，给出下列五个结论

①AC_LBE

②EF〃平面ABCD

③异面直线AE,BF所成的角为60°

@A1点到面BEF的距离为定值

⑤三棱柱A-BEF的体积为定值

其中正确的结论有：（写出所有正确结论的编号）

答案：①②④⑤

解析：

解：①AC_LBE,由题意及图形知，人（：_1面DDiBiB,故可得出AC_LBE,此命题正确；

②EF〃平面ABCD,由正方体ABCD-AiBiCiDi的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面

ABCD无公共点，故有EF〃平面ABCD,此命题正确；

③由图知，当F与Bi重合时，令上底面顶点为。，则此时两异面直线所成的角是/AiAO,

当E与Di重合时，此时点F与0重合，则两异面直线所成的角是/OBCi,此二角不相等,

故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确.

④Ai点到面DDiBiB距离是定值，所以Ai点到面BEF的距离为定值，正确；

⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点

到面DDiBiB距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确.

故答案为：①②④⑤.

评卷人得分

三.简答题（共一小题）

16、

A

如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、ZXACD、△

ADB和ABCD,E、F、G分另（］是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD,

求证：△EFGs^BCD.

答案：

证明：在^ABD中，

VAE：AB=AG：AD,

；.EG〃BD.同理，GF〃DC,EF〃BC.

又NGEF与/DBC方向相同.

AZGEF=ZDBC.

同理，/EGF=/B