广东省汕头市潮阳区高中2022年高考数学五模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量V和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及

当天气温得到如图所示的散点图（X轴表示气温，y轴表示销售量），由散点图可知y与X的相关关系为（）

A.正相关，相关系数厂的值为0.85

B.负相关，相关系数厂的值为0.85

C.负相关，相关系数厂的值为-0.85

D.正相关，相关负数厂的值为-0.85

2.已知函数/⑺二嬴三篇，则函数war的图象大致为（）

3.已知双曲线C：=_4=1（。〉0,b>0）的右焦点与圆（X—2）2+丁=5的圆心重合，且圆〃被双曲

ab

线的一条渐近线截得的弦长为2形，则双曲线的离心率为（）

A.2B.A/2c.V3D.3

4.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N除以正整数加所得的余数是〃”记为

“N三”（modni）”，例如7三1（mod2）.执行该程序框图，则输出的“等于（）

A.16B.17C.18D.19

5.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图,则下列说法错误的是（）

甲乙

9724

228819

1396

A.甲得分的平均数比乙大B.甲得分的极差比乙大

C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位数和乙相等

6.等差数列｛4｝中，%+%=10,%=7,则数列｛4｝前6项和S6为（）

A.18B.24C.36D.72

7.已知cos(20197+a)=—g，则sin(1^2a)=(

)

7557

A.B.-C.——D.——

9999

8.设全集U=R,集合A={x|x<2},B={X|X2-3X<0},贝！)(,4)B=()

A.（0,3）B.[2,3)C.(0,2)D.(0,+oo)

9.设加，〃是两条不同的直线，«,夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若。_L，，mua，nuB,则加_L〃

B.若。〃尸，mua，nu/3,贝！b”〃"

C.若加_L〃，mua,nu/3,则。_L〃

D.若m_L&,mlIn,nil[3,则。_L，

ITTV

10.已知函数/（无）=Sin2x+acos2x的图象的一条对称轴为x=—,将函数/（幻的图象向右平行移动一个单位长度

124

后得到函数g（x）图象，则函数g（尤）的解析式为（）

A.g(x)=2sin(2x-—)B.g(x)=2sin(2x+—)

7T7T

C.g(x)=2sin(2x---)D.g(x)=2sin(2xH■一)

66

11.已知定义在R上的可导函数/(%)满足(1-+(力>0,若产质+2)-成是奇函数，则不等式

尤./(尤)一2/1<0的解集是()

A.(-oo,2)B.(-oo,l)C.(2,+oo)D.(1,+℃)

12.函数y=tan]?x—的部分图象如图所示，贝！I^OA+OB)AB=()

A.6B.5C.4D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知x,yeA,i为虚数单位，且（x-2）i-y=-l+i,贝j）x+y=.

14.若a+bwO,则/+〃+—不的最小值为______.

[a+b）

15.在ABC中，2AB=3AC,AD是N54C的角平分线，设AD=〃zAC,则实数〃？的取值范围是.

16.在ABC中，a=4,b=5,c—6,贝!IcosA=,ABC的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用

（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从A5c。四场馆的使用场数中依次

抽取区,。2，。3，。4共25场，在4，。2，。3，。4中随机取两数，求这两数和自的分布列和数学期望;

场数

（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为X,其相应维修费用为V元，根据统计，得到如下表的数据:

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

z=0.1e屈+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z与X的回归直线方程；

②小叫做篮球馆月惠值'根据①的结论'试估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值

_77__^（X,.-X）（Z,.-Z）

23

参考数据和公式：z=4.5,2（X,--x）=700,X（七一x）（Zj—z）=70,e=20/>=上—-----=-----,a^-bx

！=1，=1z（-

i=l

18.（12分）如图，在直棱柱ABCD—A4G。中，底面ABC。为菱形，AB=BD=2,5耳=2,瓦）与AC相

交于点E，4。与相交于点。.

（1）求证：AC,平面5与2。；

（2）求直线08与平面。耳2所成的角的正弦值.

19.(12分)已知函数f(x)=|x+l|-|4一2幻.

(1)求不等式/(x)(x—1)的解集；

21

(2)若函数f(x)的最大值为根，且2。+人=加5>0,匕>0),求*+上的最小值.

ab

20.(12分)随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，123456789

广告收入y(千万元)22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对f和,作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对/和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表:

小羸率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

21.(12分)已知等比数列｛%｝中，4=2,%+2是附和%的等差中项.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵记bn=anlog2an,求数列也｝的前n项和Tn.

22.(10分)已知函数/(x)=〃dn(l+x)-x,g(x)=mx-sinx.

(1)若函数在(。，+8)上单调递减，且函数g(x)在菰上单调递增，求实数”的值；

秒2

(2)求证：(l+sinl)|1+sin--Il1+sin-^—|...1+sin--—</(nG,Kn>2).

I1x2八2x3)((n-l)xz?J

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据正负相关的概念判断.

【详解】

由散点图知y随着x的增大而减小，因此是负相关.相关系数为负.

故选：c.

【点睛】

本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别.掌握正负相关的定义是解题基础.

2.A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.

【详解】

设g(x)=/(l)=T7r由于喉尸忑排除8选项；由于8e=/；屈6=言，所

以g(e)>g(e2),排除C选项；由于当％一”时，g(x)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于中档题.

3.A

【解析】

2b

由已知，圆心M到渐近线的距离为百，可得百=又C=2=+/解方程即可.

y/a-+b2

【详解】

由已知，c=2,渐近线方程为法土分=0,因为圆〃被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2应，

故。=后万=1'

所以离心率为e=f=2.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.

4.B

【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量九的值，模拟程序的运行过程，代入四个选

项进行验证即可.

【详解】

解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.

若输出〃=16,贝打6三l（mod3）不符合题意，排除；

若输出〃=17,则17三2（mod3）,17三2（mod5）,符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.

5.B

【解析】

由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论.

【详解】

对于甲，七二----------------------«85.8；

6

“丁丁—72+74+81+89+96+99…

对于乙，x=---------------------------------«85.2,

26

故A正确；

甲的极差为93-79=14,乙的极差为99-72=27,故3错误；

对于甲，方差S；x26.5,

对于乙，方差“106.5,故C正确;

甲得分的中位数为上笠=85,乙得分的中位数为二狞=85,故。正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于

基础题.

6.C

【解析】

由等差数列的性质可得%=5,根据等差数列的前n项和公式$6=幺产x6=号幺x6可得结果.

【详解】

•••等差数列｛4｝中，4+%=1°，二24=1。，即。3=5,

..S.=—----x6=-----x6=----x6=36,

6222

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前〃项和公式的应用，属于基础题.

7.C

【解析】

7T

利用诱导公式得cos(2019»+a)=-cos。，sin(—-2«)=cos2«,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【详解】

由cos(2019^+(z)=~~~可得cos(乃+a)='cose=~~，

sin弓-2a)=cos2a=2cos2a-1=2x^-1=

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时

注意三角函数的符号.

8.B

【解析】

可解出集合3,然后进行补集、交集的运算即可.

【详解】

B={X|X2-3X<0}=(0,3),A={X\X<2],则”=[2,+W),因此，&人)5=[2,3).

故选：B.

【点睛】

本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

9.D

【解析】

试题分析：m±a,mil「二：,"。故选D.

考点：点线面的位置关系.

10.C

【解析】

71

根据辅助角公式化简三角函数式，结合X=—为函数/(%)的一条对称轴可求得〃，代入辅助角公式得了。)的解析式.

12

根据三角函数图像平移变换，即可求得函数g(%)的解析式.

【详解】

函数/(%)=sin2%+acos2%,

由辅助角公式化简可得/(%)=+〃sin(2x+T),tan。=a，

71

因为%=—为函数/(%)=sin2x+acos2x图象的一条对称轴，

12

代入可得sin[2xj+〃cos12x,

即;+等a=±Jl+〃，化简可解得(a—6『=0,

即Q=^3，

所以/(%)=sin2x+A/3COS2X

=2sinf2x+yj

IT

将函数,的图象向右平行移町个单位长度可得g(x),

故选：c.

【点睛】

本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.

11.A

【解析】

构造函数g(x)=-[(x),根据已知条件判断出g(力的单调性.根据y=/(X+2)-/是奇函数，求得/■⑵的值，

由此化简不等式小〃尤)-26加<0求得不等式的解集.

【详解】

构造函数g(x)=x・/f),依题意可知g'⑺=(1"少+X"("〉0,所以g(x)在R上递增.由于

y=/(x+2)—e3是奇函数，所以当％=0时，y=/(2)-e3=0,所以/(2)=e3,所以g(2)=笔t=2e.

由x"(x)-2e'M<0得g(x)="^<2e=g(2),所以x<2,故不等式的解集为(―8,2).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档

题.

12.A

【解析】

根据正切函数的图象求出4、3两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.

【详解】

(兀\兀兀

由图象得，令y=tan--%--=0,即一x=k",keZ

142742

*=0时解得x=2,

令〉=tan|二工一二|=1,即一x——=—,解得x=3,

H2)424

，A(2,0),5(3,1),

/.OA=(2,0),05=(3,1),AB=(1,1),

.,.(<9A+OB)AB=(5,1)(1,1)=5+1=6,

故选：A.

【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图

象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4

【解析】

解：利用复数相等，可知由x—2=l,y=l有x+y=4.

14.V2

【解析】

।-u，1-r-1'-।212+b-)+(a+b)ci+b+2ab(a+b)心匚工”

由基本不等式，可rz得az到a~+b2=-----------------------2--------------------=---------—，然后利m用

222

22

a+b+—1+_?—>?1,可得到最小值，要注意等号取得的条件。

(。+。)22(a+b)2V2

【详解】

由题意，/+/=3+”一)+(。一+”-)n市+/+2ab=("+")一,当且仅当。时等号成立，

222

所以片+廿+—二》—)一十—二22[=拒，当且仅当("誓=:、，时取等号,

(a+0)22(a+b)2\22(a+»~

31

所以当a=b=2々时，/+/+百而取得最小值后.

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③等号取得的条件。

【解析】

设AB=3f,AC=2t,ZBAD=ACAD=tz,由SABAD+SACAD=SABAC,用面积公式表示面积可得到m=.|costz,

利用Ye[。,?],即得解.

【详解】

设AB=3f,AC=2t,ZBAD=ZCAD=a,

由^^BAD+S^CAD—S4BAC得：

—­3t-2mt-sinor+—••2mt-sina=­-3t-2t-sin2a,

222

化简得m=《C0S6Z,

由于（Ze]。,?],

故加

故答案为：

【点睛】

本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.

16315币

44

【解析】

利用余弦定理可求得cosA的值，进而可得出sinA的值，最后利用三角形的面积公式可得出ABC的面积.

【详解】

由余弦定理得COSA="+「以一=，+6一—4-=3,贝usinA=Vl-cos2A=也，

2bc2x5x644

因此，ABC的面积为S=—besinA=—x5=•

ARcC2244

故答案为："E.

44

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析，12.5(2)①$=0,5+2②20

【解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100,可求得4，%，。3，。4的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;

7_7__

⑵①由公式可计算£(七-%)2,3(七-幻色-2)的值，进而可求Z与X的回归直线方程；

z=li=l

②求出g(x),再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值.

【详解】

25]

解：(1)抽样比为示历=.,所以。1，。2，。3，。4分别是，6,7,8,5

所以两数之和所有可能取值是：10,12,13,15

p(J=10)=；,M『2)=)心13)=；,彘=15)=：

所以分布列为

10121315

££1

p

633w

期望为石(4)=10义工+12><工+13><工+15><工=12.5

6336

7_7__

(2)因为£(%一%)2=700,£(Xj-x)(Zj-z)=70,

i=li=l

7__

Z(x,-x)(z,-z)

所以6...........................,=上=一,0=4.5-0.1x25=2,

70010

i=l

/.z=0.1x+2；

②z=0.1e赢+2=01x+2.

1+40-inx

43431nx

设g(x)y,g'(x)=4343%

x+40x+40(x+40)2

所以当xe[0,20],g'(x)>0,g(x)递增,当xe[20,+8),g'(x)<0,g(以递减

所以约惠值最大值时的X值为20

【点睛】

本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)叵

7

【解析】

(1)要证明AC，平面33］。。，只需证明ACL3。，AC，。。即可：

(2)取用2中点P，连EF,以E为原点，EA,EB,川分别为苍Xz轴建立空间直角坐标系，分别求出与

H.0B

平面OBR的法向量”，再利用cos<n,OB>=---------计算即可.

|n\x\OB\

【详解】

(1)•••底面ABC。为菱形，

:.AC±BD

,:直棱柱ABCD-二DDl1平面ABCD.

":ACu平面ABCD.

AC1DDl

AC±BD,AC±DD},BDnDDX=D.

」.AC，平面6月。1。；

(2)如图，取BQ1中点F,连EF,以E为原点，EA,EB,历分别为苍％z轴建立如图所示空间直角坐标系:

y

AE=®BE=\,

(n［、

点3(0/,0),4(0』,2),2(0,-1,2),A(g,0,0),。^-,--,1

I22)

设平面的法向量为n=(x,y,z),

=(0,2,0),0月二-^-,-,1,

I22J

DXBXn=2y=0

有<J33，令x=2,y=0,z=g

OB-n=------x+—y+z=0

、X22

得〃=(2,0,拘

「石3、

又OB=-^,-,-1,n-OB=-2j3,\n\=^,\OB\=2,

I22J

设直线OB与平面OBR所成的角为0f

所以sine=1cos<n,OB>|=|二^|=回

2xV77

故直线OB与平面所成的角的正弦值为叵.

7

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐

标.

19.(1)[1,4](2)3

【解析】

x—5,x<—1,

(1)化简得至Ij/(x)=3x—3,—1张此2,,分类解不等式得到答案.

-x+5,x>2.

(2)/(x)的最大值加=/(2)=3,2〃+b=3(〃>0/>。)，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

x—5,%<—1,

(1)/(x)=|x+l|-|4-2x|=3X-3,-1M2,

-x+5,x>2.

%<—1,-1M2,%>2,

因为/'(x)…g(x—D，故<

1或<1或<

3x—3..(x—1)-x+5>—(x-1),

解得啜火2或2<%,4,故不等式/'(x)…的解集为[1,4].

+5j...|x(2x2+5)=3,

本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

O1

20.(1)选取方案二更合适；(2)—

125

【解析】

(1)可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年

的数据得到的相关系数的绝对值0.984>0.959,所以有99%的把握认为V与/具有线性相关关系，从而可得结论；⑵

3?

求得购买电子书的概率为只购买纸质书的概率为|■，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电

子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

【详解】

(1)选取方案二更合适，理由如下：

①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告

收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续

数据的依据.

②相关系数上|越接近1,线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值Q243<0.666,我们没有理

由认为V与f具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.984〉0.959,所以有99%的把握认为V

与r具有线性相关关系.

(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比

113

例为10%,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为；；+二==，只购买纸质书的概率

2105

2

为二，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率

【点睛】

本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能

力与运算求解能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的

事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型

进行解答.

21.(1)a“=2"(2)4=2+(〃一112角

【解析】

(1)用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；

(2)把⑴中求得的结果代入瓦=丽・1。§2期,求出瓦“利用错位相减法求出7”.

【详解】

⑴设数列｛%｝的公比为q,

由题意知：2(%+2)=4+4,

_2q〜+q_2=0,即(q-2乂4?+1)=0.

：.q=2,即4