广西北流市某中学2021-2022学年高考数学二模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

Ax-］九>0

1.己知函数/(6=C若函数/(%)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数左的取值范围是()

—I1n(—xI,x<U,

2.已知四棱锥£-A6CD,底面ABC。是边长为1的正方形，ED=1,平面ECD，平面ABC。，当点C到平面ABE

的距离最大时，该四棱锥的体积为()

A.—B.-C.—D.1

633

3.已知数列｛4｝满足=2,且%%，%成等比数列•若｛%J的前"项和为S,,,则S”的最小值为（）

A.-10B.-14C.-18D.-20

4.记M的最大值和最小值分别为"max和"向「若平面向量a、b、C，满足卜|=W=a⑺=c-（a+2入—c）=2,

则（）

AII6+巾I-Iy/3

A.\a-c\=-----------BR.\a+c\=-----------

IImax2IImax2

「IIA/3+A/7IIA/3-^/7

C.\a-c\=-----------D・\a+c[=-----------

IImin2IImin2

5.执行下面的程序框图，则输出S的值为（）

6.已知命题p：“a>b”是“2。>2〃”的充要条件；?：3xeR,\X+1\<X,贝！|()

A.(「P)vq为真命题B.Pvq为真命题

C.夕人4为真命题D."为假命题

_4

7.已知sin(乃+a)=g）且sin2（z<0,则tan[tz]的值为（)

1

A.7C.一D.

77

8.已知函数/(X)=X2—3X+5,g(x)=ax-]nx,若对Vxe(0,e),Hr”%£（°，£）且%，使得

/（x）=g（%）a=i,2）,则实数”的取值范围是（）

17\67A67、

A.B.一,e4C.0,-_,e,4D.

eee

777

a,a>b11

9.定义a®b—<”b'已知函数/⑴=55，gM=—,则函数*%）=/（%）区g（x）的最小值

b,2-cos2x

为)

24

A.C.一D.2

3

2

10.若Q£[1,6],则函数y=±詈在区间[2,+。。）内单调递增的概率是（）

4321

A.—B.-C.-D.-

5555

11.若复数z满足(2+3i)z=13i,贝！|z=()

A.-3+2iB.3+2iC.-3-2iD.3-2i

22

12.已知双曲线C:斗-4=1（。>0,匕>0）的左、右焦点分别为F],点P是C的右支上一点，连接p6与y轴交

ab~

于点M,若忻O|=2|OM|（。为坐标原点），PF}LPF„则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±3%B.y=+43xC.y=+2xD.y=±0x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量乂"取/机3）与时间t（h）

kt,0<r<-

2（如图所示），实验表明，当药物释放量（冲/加）对人体无害.（）

的函数关系为y=<]1y<0.7531

t>-

、kt'2

k=；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟

人方可进入房间.

x+2y-3>Q

14.若实数％,y满足不等式组2x+y-3>Q,贝！J2x+3y的最小值为.

x+y-3<0

15.已知等比数列｛?｝满足。2+2%=4,a；=%，则该数列的前5项的和为

16.已知非零向量”，8满足W=2|d，且仅-则。与人的夹角为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”

活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名

学生的竞赛成绩均在［50,100］内，并得到如下的频数分布表:

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数51515123

（1）将竞赛成绩在［70,100］内定义为“合格”，竞赛成绩在［50,70）内定义为“不合格”.请将下面的2x2列联表补充完

参考公式及数据：腔=&*焉万万其中〃=a+b+c+d.

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

18.(12分)已知抛物线r：V=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线r上一点，且在第一象限，满足用=(2,273)

(1)求抛物线r的方程；

(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线「于M,N两点，经过定点3(3,-6)和拉的直线与抛物线T交于

另一点L,问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由.

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：/-4x-4=0,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建

7T

立极坐标系，直线/的极坐标方程为6=—(peR).

3

(1)求抛物线C的极坐标方程；

(2)若抛物线C与直线,交于A,5两点，求目的值.

20.(12分)在多面体ABCD所中，四边形ABC。是正方形，。尸，平面ABC。，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G为8尸的中点.

(1)求证：CGLAF；

(2)求平面5c5与平面所成角的正弦值.

21.(12分)已知三点尸,Q,A在抛物线「：*2=”上.

(I)当点4的坐标为(2,1)时，若直线PQ过点T(-2,4),求此时直线AP与直线AQ的斜率之积;

(II)当且|AP|=|AQ|时，求一APQ面积的最小值.

22.(10分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量加=(2a-c,Z?)与向量〃=(cosC,cosB)共线.

(1)求成

...LUUU1UUUI,..—一

(2)若b=3币,a=3,且AD=2DC，求30的长度.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

考虑当%＞0时，丘—l=lnx有两个不同的实数解，令〃(x)=lnx—"+1,则川光)有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数k的取值范围.

【详解】

因为/(光)的图象上关于原点对称的点有2对，

所以尤＞0时，质—1=Inx有两个不同的实数解.

令/z(x)=Inx-Ax+1,则力⑴在(0,+8)有两个不同的零点.

「7,/、1-kx

又h(x)=-----,

当上＜0时，/(％)＞0,故•尤)在(0,+8)上为增函数，

M九)在(o,+“)上至多一个零点，舍.

当左＞0时,

,则“(%)>o,在(0」

若上为增函数;

若口土+8!，+s］上为减函数;

,则“(x)<0,/z(x)在

故Mx)max==ln/

因为M光）有两个不同的零点，所以ln1＞0,解得0〈上＜1.

又当＜左＜时，〈,且/?

011<0,故〃⑺在上存在一个零点.

ek

又“(我)=111强一2+1-2+2\nt-et,其中/=：〉1.

令g(/)=2+21nf—ef,则=

当/>1时，gr(t)<0,故且⑺为(1,+℃)减函数，

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因为我/I,所以3）在1

,+oo上也存在一个零点.

综上，当0＜左＜1时，妆了）有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

2.B

【解析】

过点E作E"J_CD,垂足为过"作族，AB,垂足为尸，连接EE因为CD//平面ABE,所以点C到平面

TT

A5E的距离等于点"到平面A5E的距离〃.设NCDE=e（0＜8＜5）,将〃表示成关于。的函数，再求函数的最值,

即可得答案.

【详解】

过点E作E"J_CD,垂足为H,过H作族，AB，垂足为凡连接EE

因为平面ECDL平面4BC。，所以石平面45。，

所以EH工HF.

因为底面A3C。是边长为1的正方形，HF//AD,所以班'=4）=1.

因为CD//平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.

易证平面EFH，平面ABE,

所以点H到平面ABE的距离，即为〃到E歹的距离〃.

JTi---------

不妨设NCDE=e（0<9<5）,则EH=sin。，EF=Vl+sin26）.

因为SEHF=g.EF-h=；-EH-FH,所以kjl+sii?，=sin。，

7sin。1A/2

fl_-h_--------7/

所以荷/「^二―2，当夕=不时，等号成立•

Vsin2^+

1。1

此时皿与加重合，所以微=1,匕3》如1

故选：B.

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

3.D

【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S“，再利用二次函数的性质，可得当〃=4或5时，S"取到最小值.

【详解】

根据题意，可知｛%,｝为等差数列，公差2=2,

由%,生,%成等比数列，可得d=q%，

(tZj+4)2=t?](%+6),解得q——8.

ccn（n-1）-2c,9、。81

•••S——8/2H-------X2—72—9几—（72---）----

〃224

根据单调性，可知当〃=4或5时，S.取到最小值，最小值为-20.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前〃项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当n=4或5时同时取到最值.

4.A

【解析】

设。为a、b的夹角，根据题意求得6然后建立平面直角坐标系，设a=QA=(2,0),b=OB=(l,^3),

c=OC=(x,y),根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将口-c|和卜+4转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【详解】

71

由已知可得〃•b=。・mcos0=2,则cos0=—,Qo«e<»,

建立平面直角坐标系，设a=QA=(2,0),b=OB=(l网,c=OC=(x,y),

由<?•(〃+2〃-c)=2,可得(羽丁>(4一2%,2百一2丁)=2,

即4x-2x2+26y-2y2=2,

化简得点C的轨迹方程为(x-1)?+y-=|,叫a-c1j=^(x-2)2+y2,

/2

73=；上的点与点(2,0)的距离，.•.卜—c|

贝!)|a—c]转化为圆(x—I1+y—12+

2Imax

722

2

2「A/3V7-V3

a-c\i+I―飞――2-，

Imin

ax+2)2+y2

转化为圆(x—l)2+=；上的点与点(—2,0)的距离，

(2)4

斗+d=/+使］+且=G+a,卜+d=卜+用〔且=如-G.

।Lax丫(2J2211m加丫(2J22

故选:A.

【点睛】

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

5.D

【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.

【详解】

运行程序,

s=：—Li=2,

2.1..

S=H---1—,I—3,

52

S-H---1---1------,Z=4,

5523

1234,111」

s——I--1---1----1---------,i—5,

5555234

1234,111.0

s=—I--1---1----1---------i=5,

5555234

123451111一人一

s=-I--1---1---1---1-------------,i=6,结束循环,

555552345

1「1111、13743

故输出s=_(l+2+3+4+5)_]+_+_+±+±=3—*=上

5<2345J6060

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.

6.B

【解析】

由y=2'的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解

【详解】

由函数y=2、是R上的增函数，知命题p是真命题.

对于命题q,当x+120,即改之一1时，|x+l|=x+l>x；

当x+l<0,即x<—l时，,+1|=—兀一1,

由一x—1<X,得X=—不，无解，

因此命题q是假命题.所以（rp）vq为假命题，A错误;

pvq为真命题，B正确;

。八4为假命题，C错误;

「△（「q）为真命题，D错误.

故选：B

【点睛】

本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

7.A

【解析】

4

由sin("+a)=不及sin2。<0得到sin1、cosa,进一步得到tana,再利用两角差的正切公式计算即可.

【详解】

443

因为sin(〃+a)=二，所以sina=—《，又sin2of=2sinacosa<0,所以cosa=g,

-l-4

4(7C1tana-\

tana=——,所以tana———_3=7

3I41+tana

3

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

8.D

【解析】

先求出/（九）的值域，再利用导数讨论函数g（x）在区间（0,e）上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范

围即可.

【详解】

因为g(x)=Q一府，故g<x)=a*1,

X

当aWO时，g'(%)<0,故g(x)在区间(O,e)上单调递减；

当时，g'(x)>0,故g(x)在区间(O,e)上单调递增；

当曰0,0时，令/(4=0,解得x=:,

故g(x)在区间，£|单调递减，在区间上单调递增.

又g[：[=l+勿a,g(e)=/—1,且当x趋近于零时，g(x)趋近于正无穷;

对函数/(力，当xe(O,e)时，f(x)e

根据题意，对Vxe(0,e),羽e(0,e)且石彳々，使得/(x)=g(xj(i=L2)成立,

只需g[]<T，g(e”5，

即可得1+山a<U,W—125,

4e

「6二、

解得ae-,e4.

祥)

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综

合困难题.

9.A

【解析】

根据分段函数的定义得F(x)>/(%),F(x)>g(x),则2F(x)>/(x)+g(九)，再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得F(x)>/(九),F(x)>g(x),则2F(x)>/(%)+g(x),

1111199

/(x)+g(x)=------~?----1----------o--sinr)+(2-)]

2-sinx2-cosx

2222/业口后业一2

2-cos%2-sinx)>|(2+2.2-cos%2-sinxx42cos?%2-sinxHn

(2+------2---1--------5-------5-----------)=—(当且仅当--------=--------厂，即

42-sinx2-cosx2-sinx2-cosx32-sinx2-cosx

001242

sinx=cosx=e时“=”成立.此时,/(犬)=g(%)=],.•.2F(x)>-,F(x)的最小值为—,

故选：A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2厂(x)2/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

10.B

22

【解析】函数'=-9在区间[2,+8)内单调递增，.•.歹=1—「=*幺20,在[2,+8)恒成立，,awf在

[2,+8)恒成立，aW4,ae[l,6],aw[1,4],.•.函数y=三产在区间[2,+刃)内单调递增的概率是篇=|，

故选B.

11.B

【解析】

由题意得,z=F:，求解即可.

2+31

【详解】

13i13i(2-3i)26i+39。、

因为(2+3%=1m所以2=--------------------=------------=3+21

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.

12.C

【解析】

利用三角形AOM耳与相似得归耳|=2\PF2\,结合双曲线的定义求得”,仇。的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设耳(一

c,0),F2(C,0),

由闺O|=2|OM|,AOMK与相似,

所以\EO局\=\P局F.\=2,即.附,1=,2附.I，

又因为|尸耳Hp闾=2a,

所以|尸£|=4a,|P闾=2a,

所以4c2=16/+44,即。2=5〃，/=44,

所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.240

【解析】

(1)由/=工时，y=l,即可得出左的值；

2

f1

t>-

2

(2)解不等式组，即可得出答案.

—<0.75

[2t

【详解】

1_i_=1n"=2

(1)由图可知，当♦=—时，y=l,即71--

2左X]

'、1

12—

22

(2)由题意可得，，解得£〉一

1<0.753

[2t

2

则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过§x60=40分钟人方可进入

房间.

故答案为:(1)2；(2)40

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.

14.5

【解析】

根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解

【详解】

x+2y-3>0

画出不等式组2x+y-3N0,表示的平面区域如图阴影区域所示,

x+y-3<0

2I

令z=2x+3y,则y=—§x+§z.分析知，当x=l,y=l时，z取得最小值，且2^=5.

【点睛】

本题考查线性规划问题，属于基础题

15.31

【解析】

设%?=%可化为。二/=4/，得4=1,4=4-2%=2,q=-^=2,

5

^=<7（1-^）=31

1-（/

16.1（或写成60°）

【解析】

设。与b的夹角为凡通过仅,可得仅-化简整理可求出cos。，从而得到答案.

【详解】

设a与6的夹角为。

\b—a\±a

可得•1=0,

〃•/?_(〃)=0

^p|-|^|-cos^-|«|=0,将网=2时代入可得

得到COS8=L,

2

于是。与人的夹角为三.

故答案为：y.

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能

力及计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)见解析；(2)P=—

10

【解析】

(1)补充完整的2x2列联表如下：

合格不合格合计

高一新生121426

非高一新生18624

合计302050

贝！IK2的观测值k=5嘤2装614;7共x4.327>3.841,

30x20x24x2652

所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.

(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有30x*=3名学生，记为a,b,c,

竞赛成绩不合格的有20x卷=2名学生，记为

从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：ab,ac,bc,am,an,bm,bn,an,cn,mn,共10种,

这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：ab.ac.bc,共3种，

3

所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为P=—.

18.(l)j2=4x；；(2)直线NL恒过定点(-3,0),理由见解析.

【解析】

(1)根据抛物线的方程，求得焦点厂(go),利用"=(2,2月)，表示点尸的坐标，再代入抛物线方程求解.

4x+yny.4%+y,

(2)设M(xo,jo),N(xi,ji),L(X2,J2),表示出MN的方程y=-----和板的方程y=-----------,因为

%+X>0+>2

A(3,-2),B(3,-6)在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得以/=12,然后表示直线NL的方程为：j-

4/

Ji=------(x-里)，代入化简求解.

%+%4

【详解】

(1)由抛物线的方程可得焦点歹(y,0),满足〃=(2,273)的P的坐标为(2+g,28)，尸在抛物线上，

所以(2班)2=2。(2+7),即p2+4p-12=0,p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为：j2=4x；

2

(2)设M(xo,yo),N(xi,ji),L(必,以)，贝！Jy/=4xi,J2=4X2,

直线MN的斜率kMNAj-x0yj—靖％+%,

4

4Y2

则直线MN的方程为：y-yo=------(x-'),

%+为4

4x+%%①

即产

4x+y„y

同理可得直线ML的方程整理可得y=——39②,

%+%

将A(3,-2),B(3,-6)分别代入①，②的方程

2_12+%,

%+X

可得《,消刈可得以刈=12,

V12+为先

-6=1^7

44y2

易知直线fcvi=------,则直线NL的方程为：J-J1=-------(r-2L),

%+%%+%4

4412

即产,故了=x+

%+%X+%%+%%+%

4

所以y=(x+3),

因此直线NL恒过定点(-3,0).

【点睛】

本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的

能力，属于中档题.

1A

19.(1)p2s***6in20-4pcos61-4=0(2)|A2?|=—

【解析】

⑴利用极坐标和直角坐标的互化公式X=qcose,y=夕sin8，即可求得结果.

⑵由夕的几何意义得-夕2〔•将6=:代入抛物线。的方程，利用韦达定理夕i+B=|，即

可求得结果.

【详解】

(1)因为x=/7cose,y=psmO9

代入y?—4%一4=0得夕2sin20-4/7cos。一4=0,

所以抛物线C的极坐标方程为p2sin2。—4夕cos6—4=0.

(2)将6=工代入抛物线C的方程得艺—2P—4=0,

34

816

所以夕1+夕2=耳，P\P1=一"

I,2z、2彳6464256

|Pi_A|=(A+A)_4夕172二豆+5二-^

所以上一局二?,

由夕的几何意义得，MW=g.

【点睛】

本题考查直角坐标和极坐标的转化，考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，难

度一般.

20.(1)证明见解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先证明CGLA5,CG±BF,AB跖=3,二CGL平面AB厂.即可得到”u平面A5尸，CG±AF.

(2)以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEE

和平面BC尸的法向量，带入公式求解即可.

【详解】

(1)平面ABC。，ABI平面ABC。，ACFLAB.

又•.•四边形ABC。是正方形，AB，5c.

■:BCCF=C,：.AB，平面BCF.

；CGu平面8C产，/.CG±AB.

又,：BC=CF=2,G为3歹的中点，•••CGLB尸.

,/AB3歹=3,二CG_L平面AB尸.

AFu平面AB产，，CGJ_Ab.

(2)•••。r，平面ABC。，CFDE,二DE,平面ABCD.

以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

如图所示:

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,£（0,0,1）F（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,£>C=（0,2,0）.

设”=(九,y,z)为平面AEF的法向量,

n-AE=0,-2x+z=0

则,得《

nEF=02y+z=0

令x=l,则n=（LT2）.

由题意知DC=(0,2,0)为平面BCF的一个法向量,

__n_、_D_C__-2_76

:.cos（〃,