考研数学一填空题高频考点模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷16(题后含答案及解析)

题型有：1.

1.设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2),又x(l)=a,a为常数，

n为整数，则f(n)=.

正确答案：m

解析:令x=-1,则f(l)=f(-l)+f(2),因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(l)—f(-l)=2f(l)

一2a.再令x=l,则f(3)=f(l)+f(2)=3f(l)=3a,现用数学归纳法证明f(n)=na.当

n=L2,3时，已知或者已证.假设nWk时，有f(k)=ka.当n=k+l时，f(k+l)=f(k

一l)+f(2)=(k一l)a+2a=(k+l)a,故对一切正整数n,有f(n)=na,令x=0,则

f(2)=f(0)+f(2),即f(O)=O=O.a,又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=-f(-n)=

—(-m)=na.所以对一切整数n,均有f(n)=na.知识模块：函数、极限、连续

2.设f(x)连续，且，则=-

正确答案：a2f(a)

解析：知识模块：高等数学部分

3.设

正确答案：z涉及知识点：高等数学

4.对随机变量X,Y,Z,已知EX=EY=1,EZ=-1,DX=DY=1,DZ=4,

P(X,Y)=0,P(X,Z)=l/3,P(Y,Z)=-l/2,(P为相关系数)则

E(X+Y+Z)=,D(X+Y+Z)=,cov(2X+Y,3Z+X)=。

正确答案：1;16/3；3

解析：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1,D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2coy(X,

Y)+2cov(X,Z)+2cov(Y,Z)=l+l+4+0+2P(X,Z),cov(2X+Y,3Z+X)=6cov(X,

Z)+2DX+3cov(Y,Z)+cov(Y,X)=6Xp(X,Z)知识模块：概率论与数理统计

5.过曲面z—ez+2xy=3上点M0(l,2,0)处的切平面方程为•

正确答案：0

解析：曲面方程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=z—ex+2xy—3,gradF==

{2y,2x,1—ez},gradF={4,2,0)=2{2,1,0}.点MO的切平面方程为2(x

一l)+(y—2)=0,即2x+y—4=0.知识模块：高等数学

6.

正确答案：i+j+k

解析：知识模块：向量代数和空间解析几何

7.曲线在xOy平面上的投影曲线为.

正确答案：

解析：知识模块：高等数学部分

8.设a为3维列向量，aT是a的转量.若aaT=，则aTa=.

正确答案：3涉及知识点：线性代数

9.设曲线y=ax2与y=ln2x相切，则切点坐标为.

正确答案：

解析：设切点坐标为(xO,yO),则则y0=ln2x0=.故所求切点坐标为(xO,y0)=

知识模块：高等数学

10.过直线且和点(2,2,2)的距离为的平面方程是.

正确答案：5x—y—z—3=0x+y—z—1=0

解析：已知直线的一般式方程为显然平面3x—z—2=0不符合题意，可设过

该直线的平面束方程为n入：(2+3入)x—y—入z—(1+2入)=0,由点(2,2,2)到

n入的距离为得化简得入2=1,入=±1.当入=1时，对应一个平面nl：5x

—y—z—3=0；当入=-1时，对应另一个平面口2：x+y—z—1=0.知识模

块：向量代数与空间解析几何

11.设XA=AT+X,其中A=,则*=.

正确答案：

解析：由XA—X=AT有X(A—E)=AT,因为A可逆，知X与A—E均可

逆.知识模块：线性代数

12.若函数f(x)满足方程f，(x)+f，(x)—2f(x)=0及f5(x)+f(x)=2ex,则

f(x)=°

正确答案：ex

解析：已知条件中二阶常微分方程的特征方程为入2+入一2=0,特征根为入

1=1,入2=—2,则二阶齐次微分方程尸(x)+f，(x)—2f(x)=0的通解为

f(x)=Clex+C2e-2xo再由f'(x)+f(x)=2ex得2Clex-C2e-2x=2ex,可知Cl=l,

C2=0.故f(x)=ex。知识模块：常微分方程

13.微分方程y'=l+x+y2+xy2的通解为。

正确答案：y=,其中C为任意常数

解析：将已知方程变形后，并整理得=(l+x)(l+y2),则两边积分可得

arctany=(l+x)2+C,因此y=,其中C为任意常数。知识模块：常微分方程

14.欧拉方程(x>0)的通解为0

正确答案：，CLC2为任意常数

解析：々x=et,则，且代入原方程，整理得解此方程，得通解为y=Cle-t+C2e

—2t=,Cl,C2为任意常数。知识模块：常微分方程

15.f(x)=ln(2+x—3x2)在x=0处的泰勒展开式为.

正确答案：

解析：f(x)的泰勒展式为f(x)=ln[(l一x)(2+3x)]=ln(l一x)+ln(2+3x)

知识模块：无穷级数

16.设X,Y相互独立且都服从(0,2)上的均匀分布，令Z=min(X,Y),

则P(O<Z<1)=.

正确答案：

解析：由X,Y在(0,2)上服从均匀分布得因为X,Y相互独立，所以

fz(z)=P(ZWz)=l—P(Z>z)=l一P{min(X,Y)>Z}=1-P(X>z,Y>z)=1—

P(X>z)P(Y>z)=l-[1一P(X<z)][l一P(YWz)]=1-[1一FX(z)][l-FY(z)]

于是P(0<Z<l)=FZ(l)—FZ(0)=.知识模块：概率统计

17.已知矩阵人=有两个线性无关的特征向量，则2=..

正确答案：一1

解析：由A的特征多项式|入E—A|=(入+1)3,知矩阵A的特征值是入=—1(三

重根)，因为A只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1.知识模块：线性

代数

18.独立投骰子两次，X,Y表示投出的点数，令A={X+Y=10},B=

{X>Y),则P(A+B尸.

正确答案：

解析：P(A)=P{X=4,Y=6)+P{X=5,Y=5)+P{X=6,Y=4}=,P(B)

=P{X=2,Y=1}+P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=4,Y=3}+P{X

=4,Y=2}+P{X=4,Y=1}+P{X=5,Y=4}+P{X=5,Y=3}+P{X=5,Y

=2}+P{X=5,Y=1}+P{X=6,Y=5}+P{X=6,Y=4}+P{X=6,Y=3}+

P{X=6,Y=2}+P{X=6,Y=1}=P(AB)=P{X=6,Y=4)=,则P(A+B)=

P(A)+P(B)-P(AB)=.知识模块：概率统计部分

19.微分方程3extanydx+(l—ex)sec2ydy=0的通解是.

正确答案：tany=C(ex—1)3,其中C为任意常数

解析：方程分离变量得积分得IntanIyI=31nIex—1I+lnCl.所以方

程的通解为tany=C(ex—1)3,其中C为任意常数.知识模块：常微分方程

20.已知X,Y为随机变量且P{X>0,YN0}=,P{X》0}=P{YN0}=,设

A={max(X,Y)N0},B={max(X,Y)<0,min(X,Y)<0},C={max(X,Y)N0,

min(X,Y)<0},则P(A)=,P(B)=,P(C)=。

正确答案：

解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率

性质计算概率。由于A={max(X,Y)N0}={X,Y至少有一个大于等于0}={XN

0}u{Y^O},所以P(A)=P{XN0}+P{Y20}-P{x、0,YN0}=又{max(X,

Y){min(X,Y)<0},则B={max(X,Y)<0,min(X,Y)<0}={max(X,Y)<

0}=o从而P(B)=根据全集分解式知：A={max(X,Y)三0}={max(X,Y)》0,

min(X,Y)<0}+{max(X,Y)》0,min(X,Y)N0}=C+{X》0,YNO},故

P(C)=P(A)-P{XNO,Y20}=知识模块：概率论与数理统计

21.设随机变量X与一X服从同一均匀分布U(a,b),已知X的概率密度

f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=.

正确答案：

解析：因X〜U(a,b),则一X〜U(—b,—a),又X与一X同分布，故有a=

一b,即X〜U(—b,b),所以又因为f2(x)也是概率密度，所以有1=/-eo+oo

f2(x)dx=知识模块：概率论与数理统计

22.设随机变量X与一X服从同一均匀分布U[a,b],已知X的概率密度

f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=.

正确答案：

解析：若x〜U[a,b],则一X〜U[—b,-a],由X与一X同分布可知a=

一b,即x〜U[—b,b].于是有由题设f2(x)也是概率密度，则由知识模块：随

机变量及其分布

23.设随机变量X和Y均服从，且D(X+Y)=1,则X与Y的相关系数P=

正确答案：1

解