2024年福建省福州立志中学中考一检数学试题（含答案解析）

2024年福建省福州立志中学中考一检数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

2.下列事件中是随机事件的是（）

A.明天太阳从东方升起

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯

C.平面内不共线的三点确定一个圆

D.任意画一个三角形，其内角和是540。

3.把方程--2尤-5=0配方后的结果为（

A.（x+2）2=9B.-2）2=9C.(x-l)2=6D.(x+1)2=6

4.将抛物线y=2/向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是()

A.y=2（%-5）2-1B.y=2(x+3)2-1

C.y=2（x+l）2-3D.y=2(%-l)2-3

5.如图，四边形A8CQ内接于O,如果它的一个外角NOCE=63。，那么/BO。的度

数为（）

A.63°B.126°C.116°D.117°

6.如图，在平行四边形ABC。中，尸为3。的中点，延长AD至点E,使。石:AP=1:3,

连接石厂交。。于点G,则SDEG-SCFG等于（）

A.4:9B.2:3C.9:4D.3:2

7.冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RN4病毒，是自然界广泛

存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类.在某次冠状病毒感染中，有

2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染.若每轮感染中平均一只

动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（）

B.2+2尤+2/=242

C.20+1)2=242D.2Mx+1)=242

8.如图，在等腰，ABC中，NA=120。，将ABC绕点C逆时针旋转研0°<«<90。）得

到当点A的对应点。落在BC上时，连接8E,则Z&⑦的度数是（）

A.30°B.45°C.55°D.75°

9.如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流/实现灯光亮度的

试卷第2页，共6页

变化.电流/（A）与电阻R（Q）之间的函数关系如图2所示.下列结论正确的是（)

C.当/=5时,

R=40D.当/>2时，0<R<110

10.已知点4（%,%）,3（孙％）为抛物线丁=加-2依+1为常数，a＞0）上的两点,

当/＜玉＜，+1,，+2＜/＜，+3时（）

1

A.右r<1,则丫1>%B.若%>%，贝Jrv-1

C.若力之一1,则％＜必D.若一＜%，则twl

二、填空题

II.若反比例函数y=：的图象经过点（-2,5）,则左的值为.

BE

12.如图，AB//CD,AD与BC相交于点E,若AE=3,£0=5,则二二的值为

13.已知扇形的半径长6,圆心角为120。，则该扇形的弧长等于.（结果保留兀）

14.在一个不透明的口袋中有且仅有6个白球和14个红球，它们除颜色外其他完全相

同，从口袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是.

15.一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢

索垂直相连，其正下方的路面48长度为300m,那么这些钢索中最长的一根为m

/'桥拱

16.四边形ABC。中，ACE＞是边长为6的等边三角形，ABC是以AC为斜边的直角

三角形，则对角线8。的长的取值范围是

三、解答题

17.解方程方-4x+l=0.

18.已知关于x的一元二次方程无2+入+%一2=0.求证：无论左取何值时，方程总有两

个不相等的实数根.

19.为了解学生参加学校社团活动的情况，对报名参加A：篮球，B：舞蹈，C：书法，

D：田径，£：绘画这五项活动的学生（每人必选且只能参加一项）中随机抽取了部分

（1）这次被调查的学生共有人，并把条形统计图补充完整；

（2）在田径社团活动中，由于甲，乙，丙，丁四人平均的成绩突出，现决定从他们中任选

两名参加区级运动会，用树状图或列表的方法求恰好选中甲，乙两位同学参加的概率.

20.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且尸4=6,尸3=8,尸。=10.

⑴尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转60后得到△PAB（不要求写作法，但

需保留作图痕迹）；

⑵求/APS的度数.

21.某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格无（元/个）满足40Vx<80时，

其销售量y（万个）与X之间的关系式为y=-gx+9,同时销售过程中的其它开支为

50万元.

（1）求出商场销售这种商品的净利润W（万元）与销售价格X函数解析式；

（2）销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？

试卷第4页，共6页

22.如图，Rt^ABC中，ZACB=9Q°,CD为斜边中线，以8为直径作。交3C于

点、E,过点E作砂，AB,垂足为点F.

⑴求证：所为的切线.

⑵若CD=5,AC=6,求EF的长.

23.阅读材料，用配方法求最值.

已知〃,万为非负实数，a+b-2\[ab=(Va)+(扬)-26•斯=(6-标)>0,

a+b>2-Jab,当且仅当"a=》"时，等号成立.示例：当x>0时，求丫=尤+4+1的最

尤

y的最小值为5.

m

(2)如图，已知产为双曲线y=-，(x<0)上任意一点，过点尸作依_Lx轴，PALy轴且

C(O,T),0(6,0),求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时48的坐标.

24.如图，点C为线段上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧

作等腰ACD和等腰一3CE,且/A=/CBE.在线段EC上取一点尸，使EF=AD,连

接BF,DE.

EE

G,

⑴如图1,求证：DE=BF；

(2)如图2,若AD=2,3尸的延长线恰好经过OE的中点G,求BE的长.

25.已知抛物线y=aY+bx-2与x轴交于点4(-1,0),8(4,0),与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式;

(2汝口图1,直线天=机(0<〃z<4)交抛物线于M点，交BC于N点、,且CMON,求机

(3)如图2,若点尸(尤°,%)为抛物线x轴下方一点，直线AP交丁轴于E(0,yJ点，直线3尸

交y轴于尸(0,%)点，试判断为，%，当三者之间的等量关系，并加以证明.

图2

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图

形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合,

所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中心

对称图形，故此选项不符合题意；

C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称

图形，故此选项符合题意；

D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中心

对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

2.B

【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；

C.平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是540。，是不可能事件，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指

在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确

定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.

3.C

【分析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方.

【详解】把方程x2-2x-5=0的常数项移到等号的右边，得到X2-2X=5,

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+l=5+l,

配方得(x-1)2=6.

答案第1页，共16页

故选c.

【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程.配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号

的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

4.A

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标是坐标原点，然后

根据点向右平移，横坐标加，向下平移纵坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据

平移变换不改变图形的形状，利用顶点式形式写出即可.

【详解】解：抛物线y=2/的顶点坐标为（0Q）,向右平移3个单位，再向下平移1个单

位，

.••平移后的顶点坐标为（3,-1）,

平移后的抛物线解析式为y=2（x-3）2-1.

故选：A.

5.B

【分析】根据圆内接四边形的性质求出/A,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：：四边形ABCD内接于。。，ZDCE=63°,

：.ZA=ZZ）CE=63°,

由圆周角定理，得/2。。=2/4=126。，

故选：B.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

6.A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的

判定和性质是解题的关键.

【详解】•••平行四边形ABC。中，F为3c的中点，

ADBC,AD=BC=2FC,

：.ADEG^ACFG,

DE:AD=1:3,

答案第2页，共16页

.DE_1

「2FC3

・DE_2

*FC3

•°DEG24

,CFG9

故选A.

7.C

【分析】由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为(2+2x)只，第二轮后被感染的动物的

数量为[2+2x+2x(l+x)]N,进而问题可求解.

【详解】解：由题意得：第一轮后被感染的动物的数量为(2+2x),第二轮后被感染的动物

的数量为[2+2x+2x(1+x)]=2(1+x)2

则列方程为2(1+无了=242,

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题是解题的关键.

8.B

【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得加C=4CB=30。，根据旋转的

性质，得BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形内角

和定理得NCBE=ZCEB=1(180°-30°)=75°,即可求得ZBED=ZBEC-ZCED.

【详解】解：AB=AC,ZA=120°,

:.ZABC=ZACB=3G°,

由旋转得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,

NCBE=ZCEB=-(180°-30°)=75°,

ZBED=NBEC-Z.CED=75°-30°=45°,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点

是解题的关键.

9.D

【分析】由图象可知，电流/(A)与电阻R(Q)之间满足反比例函数关系，设电流/(A)与电阻

答案第3页，共16页

R(Q)之间的函数关系为，=4,根据点(50,4.4)在函数/=4的图象上得人=4.4,进行计

RR50

220220

算得电流/⑷与电阻R(Q)之间的函数关系为/=巴，当/=10时，则10=—，解得R=22,

RR

由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，则当/>10时，0<尺<22；

220220

当/=5时，则5=——，得R=44；当/=2时，则2=——，计算得R=110,由函数图象

RR

可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，当/>2时，0<R<110；综上，即可得.

【详解】解：由图象可知，电流/(A)与电阻尺(。)之间满足反比例函数关系，

设电流/(A)与电阻R。)之间的函数关系为1=5,

•.•点(50,4.4)在函数/=1的图象上，

k..

——=4.4,

50

解得：k=220,

・•・电流/(A)与电阻尺(。)之间的函数关系为/=22d0，故A选项错误，不符合题意；

R

当/=10时，贝心0=3,

R

R=22,

由函数图象可知，该函数在第一象限内y随尤的增大而减小，

当/>10时，0<R<22,故B选项错误，不符合题意；

当/=5时，则5=些，

R

：.R=44,故C选项错误，不符合题意；

当/=2时，则2=^^,

R

：.R=U0,

由函数图象可知，该函数在第一象限内y随尤的增大而减小，

当/>2时，0<R<110,故D选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的

性质.

10.D

答案第4页，共16页

【分析】本题考查的是二次函数的增减性的灵活运用，当r=l时，1<演<2,3<%<4,则点

A、8均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若为>%，则点&、8在

对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当r=-l时，此时1-网>尤2-1，即可判定C；

若%〈必，则点A、B在对称轴异侧或右侧，即可判定D.灵活运用二次函数的性质成为解

题的关键.

—Da

【详解】解：由y=ax2-2ax+l(a为常数，。>0)知，其开口向上，对称轴为％=—=1,

2a

当％=0时，y=l,且，<玉<，+1,，+2<々<，+3,贝ij玉<%2，

A.当"1时，1<^<2,3<x2<4,则点A、3均为对称轴的右侧，故％<%，

故A错误，不符合题意；

B.若则点A、5在对称轴异侧或左侧，

当A、8在对称轴异侧时，则lT—lNt+2—1,解得：r<-^；

当A、8在对称轴左侧时，则/+3W1,解得：t<-2,

综上，?<-1,故B错误，不符合题意；

C.当t=T时，则-1<玉<0,1<々<2,此时1一

；•%>%，

故C错误，不符合题意；

D.当时，t<Xy<t+\,t+1<x2<t+3,

则点A、8在对称轴异侧或右侧，

当4、2在对称轴异侧时，则r+2-解得：r>-1；

当A、2在对称轴右侧时，贝卜21,

综上，fN-不，贝卜21正确；故D正确，符合题意；

故选：D.

11.-10

【分析】将点(-2,5)代入反比例函数解析式，即可求解.

答案第5页，共16页

【详解】解：反比例函数y=：的图象经过点（-2,5）,

.•.左=—2x5=—10,

故答案为：-10.

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例数的性质是解题的关

键.

12.-/0.6

5

【分析】由平行线的性质求出ZEBA=ZECD,其对应角相等得

△EABsAEDC,再由相似三角形的性质求出线段的比值.

【详解】解：：AB〃CD,

：.ZEAB=ZEDC,ZEBA=ZECD,

:.AEABsAEDC,

.BEAE

••一,

ECED

XVAE=3,ED=5,

・BE3

••——.

EC5

3

故答案为：—.

【点睛】本题综合考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段的比值求法等相关

知识的应用，重点掌握相似三角形的判定与性质.

13.4万

7

14.—/0.7

10

【分析】用红球的个数除以球的总个数即可；

【详解】解：:口袋中共有6个白球和14个红球,

・・・一共有球6+14=20（个），

.P=耳=二

.•1摸到红球）—20—]0.

答：从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是7日；

7

故答案为：—.

答案第6页，共16页

【点睛】本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.50

【分析】设圆弧的圆心为。，过。作OCL钻于C,交于D连接。4,先由垂径定理得

AC=BC=-AB=150,再由勾股定理求出OC=200,然后求出CD的长即可.

2

【详解】解：设圆弧的圆心为。，过。作于C,交A8于。，连接如图所示:

/\c：

则Q4=O£>=250,AC=BC=-AB=150,

2

/.OC=Jo笛-AC?=V2502-1502=200(m),

CD=OD-OC=250-200=50(m),

即这些钢索中最长的一根为50m,

故答案为：50.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关

键.

16.6<BD<3y/3+3

【分析】由ABC是以AC为斜边的直角三角形可知点2在以AC为直径的圆上，然后结合

点到圆上点的距离求出对角线即长度的取值范围.

【详解】•••ABC是以AC为斜边的直角三角形，

.•.点8在以AC为直径的圆上，

如图中O,连接。。并延长，交。于点E和点8,

答案第7页，共16页

・・•等边AACO的边长为6,

AAC=BE=6fOB=OE=OA=OC=3,OD±AC,

・•・ZCOD=90°,

・•・OD^^Jcif-OC2=762-32=3^3，

/•BD=OD+OB=3y/3+3,

A8是边长为6的等边三角形，

当B与A,C重合时，BD最小=6

..•对角线瓦)的长度的取值范围为6<BDV3G+3.

故答案为：6<B£><3>/3+3.

【点睛】本题考查了90。角所对的弦是圆的直径、等边三角的性质、点到圆上任意点的距离

和勾股定理，发现点B在以AC为直径的圆上是解题的关键.

17.xi=2+73,&=2-6

【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可.

【详解】解：移项得，x2-4x=-l,

配方得，尤2-4X+4=-1+4,

(x-2)2=3,

.,.X-2=±73,

xi=2+73,无2=2-岳.

18.见解析

【分析】根据根的判别式判断即可.

【详解】证明：：。=1,b=k,c=k—2,

：.b2-4ac=k2-4xlx(Z:-2)=(?t-2)2+4.

,/(左-2『20,

(^-2)2+4>0.

无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根.

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是：当A>0时，方程有两个不相等的实数根.

19.(1)150,条形统计图见解析；

O

答案第8页，共16页

【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，概率的计算.

（1）根据统计图的意义，解答计算即可.

（2）画树状图法，解答计算即可.

【详解】⑴150人，理由如下：

被调查的学生共有30-20%=150（人），

参加田径的人数为150-30-10-60-10=40（人），

（2）解：如图所示,

由图可知，甲乙两位同学参加有2种等可能情况，总共有12种等可能情况，则恰好选中甲,

21

乙两位同学参加的概率为—

126

20.⑴见解析

(2)150°

【分析】（1）以点B为圆心，PC为半径画弧，以点A为圆心，AP为半径画弧，两弧交于

一点，即为点P,连接AP',3P即可；

（2）根据旋转得出/PAP=60。，R4=%'=6,P3=PC=10,证明E4P为等边三角形，

证明.3PP为直角三角形，得出NBPP'=90。，即可求出结果.

【详解】⑴解：将△R4C绕点A逆时针旋转60。后所得到的△PAB,如图所示：

答案第9页，共16页

B

(2)解：如图，连接PP，

1/APAC绕点A逆时针旋转60。后所得到的△PAB,

ZR4P'=60。，PA=PA=6,P'B=PC=10,

•••为等边三角形，

:.PP=PA=6,ZPPA=G0°,

在4BP尸中，尸必2=1()2=6z+82=Pp2+Q52,

:一BPP为直角三角形，且NBPP=90°,

ZAPB=NPPA+ZBPP'=60°+90°=150°.

【点睛】本题主要考查了旋转作图，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆

定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质.

1,

21.(1)W=--X2+12X-320；

10

(2)销售价格定为60元时净利润最大，最大净利润是40元.

【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数最值计算是解题的关键.

(1)根据总利润=单件利润乘以数量，确定关系式即可.

(2)根据解析式，根据对称轴计算公式确定最值即可.

【详解】(1)解：W=y(x-30)-50=^x+9^(x-30)-50=-^x2+12x-320.

(2)解：W=y(x-30)-50

=\卜9,-30)-50

1

=——X29+12X-320,

10

x=---=-......=601

当2a"15时，W最大，最大禾U润为一^xGOZ+lZxGO—320=40.

2Tioj10

22.(1)E尸为。的切线，理由见解析.

答案第10页，共16页

(2)EF=y

【分析X1）连接OE，所以oc=OE，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=BD,

所以可以证得N3=NCEO,OE//BD,ZOEF=ZEFB=90°,即可得到所为。的切线；

（2）连接即，所以NCEE>=90。，因为所以可以求得ED的长度，进而

求得CE,BE的长度，再利用△BACsABEF即可求得所的长度.

【详解】（1）证明：连接0E.

OC=OE,

;./OCE=/OEC,

ZACB=90。，CD为斜边中线,

:.CD=-AB=BD

2f

：2OCE=LOEC=LB,

S.OE//BD,

EFLAB,

:./OEF=90°,

:.EF为。的切线;

(2)解：连接

.•."££>=90。,

CD=5,

.\AB=2CD=10f

答案第11页，共16页

.\BC=^AB2-AC2=8^

・.・ZDEB=ZACB=90°,NB=NB,

Z\BACS&BDE

,DEAC63

**CD-AB-10-5,

.，.DE=3,

t-CE=^DC2-DE2=4,

，BE=BC—EC=4,

/EFB=ZACB=90°,/B=/B,

Z\BAC^Z\BEF

・EFAC_3

••宏一花—M

~12

/.EF=—.

5

【点睛】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知

识点，熟练掌握以上知识点，正确做出辅助线是解题的关键.

23.(1)2出；

(2)27,A(0,2),B(-3,0).

【分析】本题考查了阅读学习，正确理解所展示的解法是解题的关键.

⑴根据阅读材料提供的解题方法，按照例题求解即可.

(2)设则AC=-g+4,r>B=6-x,表示出四边形的面积，运用解题方法求解即可.

【详解】(1)解：m>0

二.mH—22Jzn,­=2,\/3,

m\m

33

当机=一时，m-\—有最小值2V此时机=为，

mm

故答案为：2G.

(2)设尸］尤,一/)则>^7=-《+4,£>2=6-x,

四边形ABCD的面积SuLACBDuU-g+M^-xH-曳-Zx+lS,

22\x)x

答案第12页，共16页

-2x>2./--.(-2x)=12,

XVX

当—"■=—2元时，一出—2x有最小值12,此时x=—3

尤尤

，四边形48。。的面积的最小值为12+15=27,此时4(0,2),3(-3,0).

24.⑴见解析

⑵BE=2+旧

【分析】(1)证明CD〃3E，推出NDCE=Z.BEF,利用SAS证明△DCE丝△庄B即可证明

结论成立；

(2)取CP的中点H,连接G”，证明G8是，PCD的中位线，设BE=a,贝-2,

2

「HFH

证明△尸得至!即/_4a_4=0,解方程即可求解.

BEEF

【详解】(1)证明：•・•等腰.ACD和等腰BCE,

：.AD=CD,EC=EB,ZA=ZDCA,

•；ZA=/CBE,

：.ZDCA=ZCBE,

J.CD//BE,

：.ZDCE=ZBEF,

,:EF=AD,

；.EF=CD,

CD=EF

在LDCE和FEB中，</DCE=/FEB,

EC=EB

：.△PCE^AT^EB(SAS),

/.DE=BF；

(2)解：取b的中点H,连接GH,

答案第13页，共16页

E

•・•点G是。石的中点，

・・・GH是:尸C