专题22 数轴上的动点形成的线段问题（解析版）

专题22数轴上的动点形成的线段问题1．已知：数轴上点、、表示的数分别为、、，点为原点，且、、满足．（1）直接写出、、的值；（2）如图1，若点从点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点、、同时出发，设运动的时间为秒，为何值时，点到点、的距离相等；（3）如图2，若点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向左运动，点，同时出发开始运动，点为数轴上的一个动点，且点始终为线段的中点，设运动时间为秒，若点到线段的中点的距离为3时，求的值．【解答】解：（1）．，，，，，；（2）由题意得，，或，，解得，，或，为或时，点到点、的距离相等；（3）由题意知，点表示的数为：，是的中点，表示的数为：，是的中点，点表示的数为：，，，或7．2．如图1，数轴上点分别表示的数为，点表示的数为3，若在数轴上存在点，使得，则称点为点和的“级精致点”，例如，原点表示的数为0，则，则称点为点和点的“6级精致点”，根据上述规定，解答下列问题：（1）若点在数轴上表示的数为，点为点和点的“级精致点”，则10；（2）若点是数轴上点和点的“8级精致点”，求点表示的数；（3）如图2，数轴上点和点分别表示的数是和4，若点是点和点的“级精致点”，且满足，求的值．【解答】解：（1）表示的数为，表示的数为3，点在数轴上表示的数为，，，．故答案为：10；（2）如图所示：点是数轴上点和点的“8级精致点”，，，在点的左侧或在点的右侧，设点表示的数为，则，或，或4，点表示的数为或4；（3）分三种情况：①当点在延长线上时，不能满足，该情况不符合题意，舍去；②当点在线段上时，可以满足，如下图，；③当点在延长线上时，，，点表示的数为7，，综上所述：的值为6或12．3．已知线段为常数），点为直线上一点（不与点、重合），点、分别在线段、上，且满足，．（1）如图，当点恰好在线段中点，且时，则6；（2）若点在点左侧，同时点在线段上（不与端点重合），请判断的值是否与有关？并说明理由．（3）若点是直线上一点（不与点、重合），同时点在线段上（不与端点重合），求长度（用含的代数式表示）．【解答】解：（1）设，，则，．，，，．（2）的值与无关．理由如下：如图1，，与的取值无关，的值与无关；（3）设，，则，①当点在点右边时，满足，在线段上，如图2此时，不是线段上的点，不符合题意，舍去；②当点在点的左边，如图3，，，，；③当点在线段上时，如图4，，，，；长度为．综上，长度为．4．列方程解应用题如图，在数轴上的点表示，点表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从、两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度秒，乙的平均速度为1单位长度秒．请问：（1）两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是．（2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？【解答】解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过秒相遇，依题意有，解得．．答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．（2）设两只蜗牛都向正方向而行，经过秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有，解得．答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙．5．如图，已知、和线段都在数轴上，点、、、对应的数字分别为、0、2、11．线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，设移动时间为秒（1）；（用含有的代数式表示．（2）当秒时，；（3）若点、与线段同时移动，点以每秒2个单位长度的速度向数轴的正方向移动，点以每秒1个单位长度的速度向数轴的负方向移动．在移动过程中，当时，的值为．【解答】解：（1）点、、对应的数字分别为、0、2，线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为秒，移动后表示的数为，表示的数为，．故答案为：．（2）在数轴上移动，，，当在中间时，，要使，则应在点右侧，此时，，，解得：．故答案为：．（3）假设能相等，则点表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，，，，，解得：，．故在运动的过程中和能相等，此时运动的时间为秒或8秒故答案是：或8．6．已知是最大的负整数，是的相反数，，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．（1）求、、的值；（2）若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？（3）在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点再运动几秒，到的距离等于到距离的两倍？【解答】解：（1）是最大的负整数，，是的相反数，，，；（2）由题意，可知点表示的数是，点表示的数是5，设运动秒后，点对应的数是，点对应的数是，点追上点时，两个点表示的数相同，，，运动3秒后，点可以追上点；（3）由（2）知，秒后，点对应的数是，当点追上点时，，，此时点对应的数是6.6，此后点向数轴负半轴运动，点对应的数是，，，由题意，可得，当时，，；当时，，；或，，，追上后，再经过或到的距离等于到距离的两倍．7．点、、、在数轴上的位置如图1所示，已知，，．（1）若点为原点，则点表示的数是；（2）若点、、、分别表示有理数，，，，则；（3）如图2，点、分别从、两点同时出发，点沿线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速折返；点沿线段以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达点后立即按原速折返．当、中的某点回到出发点时，两点同时停止运动．①当点停止运动时，求点、之间的距离；②设运动时间为（单位：秒），则为何值时，？【解答】解：（1）若点为原点，则点表示，点表示，故答案为：；（2）由题意知，，，则，，即，故答案为：2；（3）①由题意知点回到起点需要6秒，点回到起点需要4秒，当时，运动停止，此时，，，；②分以下两种情况：1、当点未到达点时，可得方程：，解得；2、当点由点折返时，可得方程，解得：；综上，当或时，．8．已知数轴上两点、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．（1）若点为的中点，直接写出点对应的数；（2）数轴的原点右侧有点，使点到点、点的距离之和为8．请直接写出的值．5；（3）现在点、点分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所对应的数是多少？【解答】解：（1）点所对应的数；（2）由题意得，，又因为，，且点在原点的右侧，所以点所表示的数，所以，解得，故答案为：5；（3）设移动的时间为秒，①当点在点的左边，使时，有，解得，此时点移动的距离为，因此点所表示的数为，②当点在点的右边，使时，有，解得，此时点移动的距离为，因此点所表示的数为，所以当点与点之间的距离为3个单位长度时，点所对应的数是或．9．已知有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，其中是最小的正整数，，满足（1）填空：，，（2）现将点，点和点分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒．①定义：已知，为数轴上任意两点，将数轴沿线段的中点进行折叠，点与点刚好重合，所以我们又称线段的中点为点和点的折点．试问：当为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？②当点在点左侧时（不考虑点与点重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）最小的正整数是1，，由题意得，，，解得，，，故答案为：；1；5；（2）①秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．当点为点和点的对折点时，有：解得；当点为点和点的对折点时，有：．解得（舍去）；当点为点和点的对折点时，有：．解得．综上所述，满足条件的的值是或．②秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．当点在点的左侧时，如图所示，，．的值在一定时间范围内不随的改变而改变，．；当点在点与点之间时，如图所示，，．的值在一定时间范围内不随的改变而改变，．．综上：的值是2或．10．如图，点、分别在数轴原点的两侧，且，点对应数是20．（1）求点所对应的数；（2）动点、、分别从、、同时出发，其中、均向右运动，速度分别为2个单位长度秒，4个单位长度秒，点向左运动，速度为5个单位长度秒，设它们的运动时间为秒，当点恰好为的中点时，求的值及所表示的数；（3）当时，的值是否保持不变？若不变，直接写出定值；若变化，试说明理由．【解答】解：（1）点对应的数是20，，，．又点在原点的左侧，点对应的数为．（2）当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，依题意，得：，解得：，，即所表示的数为0；当点恰好为的中点时，，所表示的数为0；（3）当时，的值保持不变；理由如下：当时，，当时，的值保持不变，定值为10．11．已知是多项式的常数项，是项数．（1）；；（2）在数轴上，点、分别对应实数和，点到点和点的距离分别为和，且，试求点对应的实数．（3）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点从点以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，立即改变方向往右运动到达点后停止运动；若、同时出发，在此过程中，经过多少秒时点为或的中点．【解答】解：（1）多项式的项数是3，，常数项是，；故答案为，3；（2）设点对应的实数是，，，当时，，；当时，，；点对应的数是6或；（3）设点对应的数是，当，点对应的数是，是的中点时，，；是的中点时，，；当时，点对应的数是，是中点时，，；是中点时，，；当回到点后，点是的中点，则，此外，当时，点、、三点重合，故此时，点也为的中点，，点运动的最大距离为16，，综上所述：经过或或或时，点为或的中点．12．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为6，，．（1）求点、对应的数；（2）动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．为的中点，在线段上，且，设运动时间为．①求点、对应的数（用含的式子表示）；②为何值时，．【解答】解：（1）点对应的数为6，，点表示的数是，，点表示的数是．（2）①动点、分别同时从、出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是，，，为的中点，在上，且，，，点表示的数是，表示的数是6，表示的数是，表示的数是．②，，，，由，得，由，得，故当秒或秒时．13．如果、两点在数轴上分别表示有理数、，那么它们之间的距离．如图1，已知数轴上两点、对应的数分别为和8，数轴上另有一个点对应的数为（1）点、之间的距离．（2）若点在、之间，则．（3）①如图2，若点在点右侧，且，取的中点，试求的值．②若点为点右侧的一个动点，取的中点，那么是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）点、之间的距离，故答案为：；（2）点在、之间，，，故答案为：11；（3）①对应的数为8，对应的数为12，点是的中点，对应的数为，；②设点对应的数为，点是的中点，对应的数为，，是定值．14．如图1，已知数轴上有三点，，，点是线段的中点．若点对应的数是3，点对应的数是9，则点对应的数是6；若点对应的数是，点对应的数是，则点对应的数是；若点对应的数是，点对应的数是8，则点对应的数是；（2）在（1）的条件下，若点对应的数是，点对应的数是，请你猜想：线段的中点对应的数是（用含，的代数式表示）．（3）如图2，在数轴上，若点，，对应的数分别是，0，100，点是线段的中点，动点、分别从、两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10单位长度秒、5单位长度秒，点为线段的中点，在上述运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由．【解答】解：（1）数轴上点对应的数是3，点对应的数是9，，而点是线段的中点，，点表示的数是6．若点对应的数是，点对应的数是，则，点是线段的中点，，点表示的数是．若点对应的数是，点对应的数是8，则，点是线段的中点，，点表示的数是3．故答案为6，，3．（2）由（1）规律可知：若点对应的数是，点对应的数是，猜想：线段的中点对应的数是，故答案为．（3）设经过的