中考数学一轮复习专题3.2函数的图象和性质题型分类练(必刷150题)(原卷版+解析)

专题3.2函数的图象和性质题型分类练（必刷150题）题型1：函数的图象和性质一、一次函数的图象和性质例1．（1）在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−5的图象，下列说法正确的是（

）A．函数图象经过一、二、三象限的一条直线B．函数y的值随x值的增大而减小C．图象与x轴的交点坐标是0,−5D．图象与坐标轴围成的三角形面积是25（2）（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数y=bx−k的图象大致是（

A． B． C． D．（3）（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图像如图所示，那么下列说法正确的是（

）A．当x<0时，−2<y<0 B．方程ax+b=0的解是x=−2C．当y>−2时，x>0 D．不等式ax+b<0的解集是x<0（4）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x+3和y=x的图象分别为直线l1,l2，l1与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与l2交于B1，过B1作y轴的平行线与l1交于AA．131011 B．131010 C．例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,9，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C(1)直接写出一次函数的函数解析式______；(2)M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y=3x于点N，当MN=2OD时，直接写出点M的坐标______；(3)Q为直线AB上一点，若S△OCQ=1知识点训练1．一次函数y=4x−1的图像经过（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限2．下列四个函数中，当−2<x<3时，y的值随着x值的增大而增大的是（

）A．y=12x2+4x B．y=13．下列四个选项中，符合直线y=−x+2的性质的选项是（

）A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大C．函数图象必经过点1，1 D．与y4．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=−bx+k的图象大致是（

）A． B．C． D．5．已知点Ax1,y1，Bx2,y2在直线A．B．C． D．6．已知−2,y1,−1,yA．y1>y3>y2 B．y1<7．如果点A−3,y1和B2,y2都在直线y=−1A．y1<y2 B．y18．已知一次函数y=kx−3，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y=kA．当x>0时，y>0 B．C．y随x的增大而减小 D．图象在第二、第四象限9．如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2，则关于x的方程kx+b=2x的解是（

A．x=12 B．x=2 C．x=1 10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义符号mina,b的含义为：当a≥b时，mina,b=b；当a<b时，mina,b=a．如：min1,−3=−3，min−4,−2=−4A．若m=1，则当y≤−2时，则x≤−3或x≥3B．当函数图象经过0,12C．m2,y1D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或511．已知一次函数y=kx−b，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，对应的因变量y的取值范围是6≤y≤10，那么2k−b的值为_______．12．已知点A2，m，点B3，n都在直线13．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点2，0，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式14．如图，已知一次函数y=kx+b和正比例函数y=mx的图象交于点P(1,3)，则关于x的一元一次方程kx+b=mx的解是___________．15．已知如图直线y1=x+2与y2=kx+b相交于点P(a，16．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图，一次函数y=−x−2与y=2x+m的图象相交于点P2，−4，则关于x17．若二元一次方程组2x−y=mx+y=n的解为x=1y=−3，则一次函数y=2x−m与18．已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P−4,−2，则二元一次方程组y=ax+b19．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点20．如图，点A1(2,1)在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A21．如图，一次函数y=−2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C、D．(1)直接写出A、B两点的坐标．；(2)点P在何处时，矩形OCPD的面积为1．22．在直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过三点A4(1)求这个一次函数解析式；(2)求m的值；(3)求一次函数y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．23．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，过点A4,0的直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2(1)求直线l1(2)当y1<y24．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A(1)点A的坐标是．点B的坐标是．(2)若点Cm,6是直线y=−43x+4上一点，则直线(3)在直线AB上是否存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△OAB的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点E是y轴上一动点，把线段AB沿着直线AE翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式．二、二次函数的图象和性质例3．（1）由二次函数y=2x−32+1A．顶点坐标1，−3C．x<3，y随x的增大而增大 D．其图象的对称轴为直线x=−3（2）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点−1,0，且对称轴为直线x=1①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点4,y1与点−3,y2，则y1>y2；④无论a，b，cA．2 B．3 C．4 D．5（3）抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点5,−2，对称轴是直线（4）在平面直角坐标系中，将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）.若直线y=b例4.已知二次函数y=ax2−4ax+4(1)求a的值；(2)当0≤x≤m时（m>0），函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是______．例5.已知二次函数y=ax(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点3,y①请判断y1与y2的大小关系：y1y2（用“>”“②若y1，y2，y3，y知识点训练1．关于二次函数y=x−22+3A．当x=2时，y有最大值3 B．当x=−2时，y有最大值3C．当x=2时，y有最小值3 D．当x=−2时，y有最小值32．已知A−1,y1,B1,A．y1<y2<y3 B．y1<3．已知抛物线y=x−22+1A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2C．抛物线的顶点坐标为2,1 D．当x<2时，y随x的增大而增大4．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线xA．abc<0 C．a−b+c>0 D．当x=−n2−2（5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m(am+b)(m≠1A．5个 B．4个 C．3个 D．2个6．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点坐标为−1,0，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④点−2,yA．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④6a−2b+c<0；A．②③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤8．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程aA．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根9．二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+nA．−3<x<3 B．−3<x<0 C．x<−3或x>1 D．x<−3或x>010．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b<0；③−b2−4ac>0；④不等式A．1 B．2 C．3 D．411．如图．抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，A．x>−1 B．x<3 C．1<x<3 D．x<−1或x>312．小明同学研究二次函数y=−x−m2−m+1①这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点Ax1,y1与点Bx2④当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．已知抛物线y=x2+2mx−4m，若对满足x≥1的任意实数x，都使得A．m≥−4 B．0<m≤12 C．−1≤m≤114．如图，拋物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中:①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0A．1 B．2 C．3 D．415．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1，0，顶点坐标1，n与y轴的交点在0，2，0，3之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b>0；②−1≤a≤−2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．二次函数y=−2x+117．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且当−218．二次函数y=axx…−30135…y…6−7−−56…则一元二次方程ax2+bx+c=−519．若抛物线y=x2−4x+m与x20．抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标为−521．已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0③a−b+c>0；④当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大．其中正确的结论是__________．（填序号）22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为−3，2，若抛物线y=x−12+m在矩形ABCD内部的图象中，y23．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A24．已知抛物线的顶点坐标为−1,3，且经过点0,1，求该抛物线的解析式．25．如图，二次函数的图象顶点坐标为−2，−2，且过(1)求该二次函数解析式；(2)当−5≤x<−4时，求函数值y的取值范围．26．已知二次函数y=x2+bx+c，若图象过点−1,0(1)求该二次函数的表达式及顶点的坐标；(2)若点Px,y是该二次函数图象上的一点，且−4≤x≤4，请求出y27．已知二次函数y=(1)画出它的图象；x……y……(2)当x_______时，y随x增大而减小；(3)该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____________﹔(4)当0≤x≤4时，y的取值范围是__________．28．已知二次函数y=x2−2x，当−1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．圆圆的解答过程如下：解：当x=−1时，y=3；当29．已知二次函数y=(1)求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；(2)画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值y<0时，自变量x的取值范围．30．已知抛物线y=x2+bx+c经过A(3,0)，对称轴是直线x=1．点B(n−1,(1)求抛物线的解析式；(2)当n取何值时，y1三、反比例函数的图象和性质例6（1）若点Ax1,13，Bx2,−3，Cx3,1127．已知x1,y1，x2,y2，x3,y3是反比例函数y=−4A．y3<y1<y2 B．（2）关于反比例函数y=−12xA．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点6,−2 D．y随x的增大而增大（3）在如图所示的平面直角坐标系的第一象限中标出了9个整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数y=kx(x>0)A．16≤k＜21 B．16＜k≤21 C．（4）如图，点P在反比例函数y=4xx>0的图像上，过点P作x轴的平行线，交反比例函数y=kxx<0的图像于点Q，连接OP，例7.如图，正比例函数y=−23x的图像与反比例函数y=(1)求点A的坐标和反比例函数表达式．(2)若点B在x轴上，且S△AOB=1，求点(3)若点Pm,n在该反比例函数图像上，且它到y轴距离大于3，请根据图像直接写出n知识点训练1．下列的各点中，在反比例函数y=1x图象上的点是（A．2,4 B．1,5 C．12,2 2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kA．经过第一、二、三、四象限 B．仅经过第一、二、四象限C．仅经过第三、四象限 D．仅经过第一、二象限3．关于反比例函数y=3A．它的图象分布在一、三象限B．当x>−1时，y<−3C．此函数图象关于直线y=−x对称D．若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在图象上4．若M(−2,a)，N(2,b)，P(5,c)三点都在函数y=m2+1x的图象上，则a，b，A．b>c>a B．a>b>c C．c>a>b D．c>b>a5．关于反比例函数y=−2A．图象经过1,−2 B．图象位于第二、四象限C．y随x的增大而增大 D．当x>0时，y随x的增大而增大6．如图，函数y=4xx>0A．点M B．点N C．点P D．点Q7．如图，反比例函数y=kxx>0的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，OD:OA=2:3，则kA．10 B．254 C．8 D．8．以正方形ABCD两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y=4x的图象经过点D，则正方形A．12 B．16 C．18 D．209．若图中反比例函数的表达式均为y=4x，则阴影面积为2的是（A．图1 B．图2 C．图3 D．图410．如图，点B，P在函数y=4x(x>0)的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEPA．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等B．点B的坐标为(4,4)C．y=4x的图象关于过点O与D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等11．已知点P−2,1在反比例函数y=kx的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为MA．8 B．4 C．2 D．112．如图，已知双曲线y=kx(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为−6,4A．4 B．3 C．2 D．113．已知函数y=kx的图像经过点1,4，那么14．已知正比例函数y=kx与反比例函数y=18x的图象交于点A3,m和点B15．若一次函数y=k1x的图象与反比例函数y=16．已知点A−1，y1，B−2，y2和17．如图所示，已知反比例函数y=kx和y=1x分别过点A和点B，且AB∥x轴，S△ABC=318．反比例函数y=kx 19．如图，在反比例函数y=kx（x>0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，（1）k的值为_____；（2）阴影部分的面积S1（3）阴影部分的面积S1，S2，S320．如图，点A、C为反比例函数y=kx(x<0)图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为321．如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3…，过A1、A2、A3分别作x轴的垂线与反比例函数y=6x的图象交于点P1、P222．已知反比例函数y=kx(k≠0)23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−2与双曲线y=kx(x>0)交于点A(2,m)，且交y(1)求k，m的值(2)若点B为双曲线y=kx(x>0)上的一点，当△BOC的面积为624．如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点(1,3)．(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．(2)若y≤2.5，求自变量t的取值范围．25．小聪在学习过程中遇到了一个函数y=3x−2，小聪根据学习反比例函数y=(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；(2)该函数图像可以看成是由y=3x的图像平移得到的，其平移方式为(3)直接写出不等式3x−2>−3的解集为题型2：待定系数法确定函数关系式例8.已知一次函数y=kx+1的图像经过点P−2,3(1)求k的值；(2)若点Qa,5在该函数图像上，求a例9.反比例函数y=kx与一次函数y=mx+b交于点(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．例10.已知抛物线y=2x2+bx+c经过A−5,m，(1)求抛物线的表达式和顶点坐标．(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在C点处，并写出平移后抛物线的表达式．知识点训练1．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB:BC=3:2，点A3，0，B0，6分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kA．16 B．−7 C．7 D．142．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点(0,1)的一次函数的解析式_____．3．反比例函数y=kx与一次函数y=815x+4．已知变量y与变量x之间的对应值如下表：x…−1−2−3−4−5−6…y…6321.51.21…试求出变量y与x之间的函数关系式：______．5．已知：y是x的反比例函数，当x=−4时，y=3，当2<x<3时，y的取值范围是______．6．已知y是x的一次函数，且当x=−2，y=6；当x=3时，y=1．(1)求这个一次函数的表达式．(2)当y<1时，求自变量x的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A−2，6，且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图像相交于点C(1)求一次函数y=kx+b的函数表达式；(2)求△BOC的面积；(3)若点D在直线y=3x上，且满足S△BCD=38．已知一次函数解析式为y=kx+b经过点A(0,5)，B(2,1)，求此一次函数的解析式．9．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0，2．已知点C(1)求函数y=kx+b的关系式；(2)点P为x轴上一动点，若S△ACP=2S10．如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=mx的图像相较于A(2,3)，(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC11．一次函数的图象过点A0,2且与正比例函数y=−x的图象交于点B，B点的横坐标是−1(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积．12．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B6，0，交y轴于点C0，6，直线AB与直线OA：y=12x(1)求直线AB的解析式．(2)求△OAC的面积．(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的14，若存在求出此时点M13．已知二次函数y=−x2+bx+c14．如图，在平面直角坐标系中，过点A0,4、B5,9两点的抛物线的顶点C在(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标；(3)Px,y为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M15．已知抛物线的顶点坐标为−1,3，且经过点0,1，求该抛物线的解析式．16．已知抛物线y=−x2+mx+n经过点A(1)求抛物线的解析式；(2)求此抛物线与坐标轴的另一交点坐标和对称轴．17．已知抛物线y=ax2+bx+c经过−1，018．已知二次函数的图象与x轴的交点为−5,0,2,0，且图象经过19．在平面直角坐标系中，设函数：y1=k1x（k1是常数，k1>0，x>0）与函数，y2=k2x（k2是常数，(1)求k1，k(2)当y1≤y题型3：多种函数性质的综合问题例11.（1）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数y=−x23A．0<k≤2 B．1<k<2 C．1<k≤2 D．1≤k≤2（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=−ax+b与反比例函数y=A． B． C． D．例12.一次函数y=−x+2与反比例函数y=−3x有两个公共交点A和(1)点A和点B的坐标；(2)△ABO的面积；(3)直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围．知识点训练1．若函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则函数y=ax−b和A． B． C． D．2．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−ax与二次函数y=axA． B．C． D．3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bxA． B．C． D．4．已知反比例函数y=abx的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与二次函数A． B．C． D．5．直线y=ax+b与抛物线y=axA． B．C． D．6．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+bA． B． C． D．7．定义新运算：a⊕b=a+ba≤bb−aA． B． C． D．8．如图是二次函数y=ax2+bx的大致图象，则一次函数y=(a+b)x−bA． B． C． D．9．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y=bxA． B．C． D．10．如图，已知反比例函数y1=−3x与二次函数A．抛物线y=ax2+bx的对称轴位于直线x=−3B．若y1<y2C．当x>−3时，y1与y2均随D．关于x的方程ax211．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kA．仅经过第三、四象限 B．仅经过第一、二、四象限 C．经过第一、二、三、四象限 D．仅经过第一、二象限12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，其对称轴为x=−1，它与x轴的一个交点的横坐标为−3，则一次函数A． B． C． D．13．已知P，Q两点关于y轴对称，点P在反比例函数y=1x的图象上，点Q在直线y=x+5上．若点P的坐标为（m，n），则下列关于二次函数y=(m+n)xA．有最大值，且最大值是−120 C．有最大值，且最大值是120 D．有最小值，且最小值是14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+1的图像与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y2=kxk≠0的图像交于C，D两点，CE⊥x(1)求反比例函数的解析式；(2)求△CDE的面积．(3)当y115．如图，直线y=mx−2与x轴交于点A4，0，与反比例函数y=(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC，在x轴上找一点M，使S△MOC=3S16．我们知道，函数y=ax−m2+na≠0，m>0，n>0的图像是由二次函数y=ax2的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数理解应用：(1)函数y=kx−3+4拓展延伸：(2)函数y=2x+5x+1的图像可由反比例函数y=k(3)请直接写出不等式2x−m<x−m（17．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常数）上．(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求a的取值范围；(2)若抛物线的顶点在反比例函数y＝﹣8x（x＜0）的图象上，且y1＝y2，求x1＋x2(3)若当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，求a的取值范围．题型4：反比例函数的比例系数例13.（1）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y=kx和y=3x的图象交于A、B两点，若（2）如图，已知点A是一次函数y=13x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，若知识点训练1．如图，若点A是反比例函数y=2xx>0的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则△ABCA．1 B．2 C．3 D．42．如图所示，A，B是函数y=2x的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为A．S=2 B．S=22 C．1<S<2 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，点A在函数y=−5x上，点B、D在函数y=8x上，点C在A．13 B．18 C．21 D．264．已知点A、B分别在反比例函数y=2xx>0，y=−8xx>0的图像上，且A．2 B．12 C．3 5．如图，已知点A，B分别在反比例函数y=4xx>0，y=kxx>0的图象上，且A．63 B．−63 C．12 6．若下列反比例函数的解析式均为y=6x，则阴影部分的面积为3的是（A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是5,0，函数y=kxx>0的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB⋅AC=408．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2xx＞0的图象和矩形OABC的边AB交于点E9．如图，若点A在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为8，10．反比例函数y=kx与正比例函数y=mx交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．连接BC，若△ABC的面积为3，则11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y=kxx>0的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为212．如图，点P1、P2、P3、P4在反比例函数y=2专题3.2函数的图象和性质题型分类练（必刷150题）题型1：函数的图象和性质一、一次函数的图象和性质例1．（1）在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−5的图象，下列说法正确的是（

）A．函数图象经过一、二、三象限的一条直线B．函数y的值随x值的增大而减小C．图象与x轴的交点坐标是0,−5D．图象与坐标轴围成的三角形面积是25【答案】D【分析】根据2>0,−5<0，可得函数图象经过一、三、四象限的一条直线，且函数y的值随x值的增大而增大，再由y=0，可得图象与x轴的交点坐标是52,0，再求出图象与y轴的交点坐标是【详解】解：∵2>0,−5<0，∴函数图象经过一、三、四象限的一条直线，且函数y的值随x值的增大而增大，故A、B选项错误，不符合题意；当y=0时，2x−5=0，即x=5∴图象与x轴的交点坐标是52当x=0时，y=5，∴图象与y轴的交点坐标是0,−5，∴图象与坐标轴围成的三角形面积是12故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．（2）（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数y=bx−k的图象大致是（

A． B． C． D．【答案】C【分析】由一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k<0,b<0，由此可以得到−k>0，由此判断出一次函数y=bx−k的图象经过的象限，即可得出答案．【详解】解：∵一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x∴k<0,b<0，∴−k>0，∴y=bx−k的图象经过一、二、四象限，结合函数图象得到C选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+bk≠0中，当k<0,b>0（3）（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数y=ax+b的图像如图所示，那么下列说法正确的是（

）A．当x<0时，−2<y<0 B．方程ax+b=0的解是x=−2C．当y>−2时，x>0 D．不等式ax+b<0的解集是x<0【答案】C【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【详解】解：由函数y=ax+b的图象可知，当x<0时，y<−2，A选项错误，不符合题意；方程ax+b=0的解是x=1，B选项错误，不符合题意；当y>−2时，x>0，故C正确，符合题意；不等式ax+b<0的解集是x<1，故D错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．（4）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x+3和y=x的图象分别为直线l1,l2，l1与y轴交于点A，过A点作x轴的平行线与l2交于B1，过B1作y轴的平行线与l1交于AA．131011 B．131010 C．【答案】B【分析】设直线l1与x轴交于点M，利用直线的解析式求得点A，M的坐标，进而得到线段OA,OM的长度，利用直角三角形的边角关系定理求得∠AMO=30°，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值求得线段A1B【详解】解：设直线l1与x轴交于点M令x=0，则y=3，∴A0,3∴OA=3，令y=0，则x=−33∴M−3∴OM=33∵tan∠AMO=∴∠AMO=30°，∵AB∴∠A∵l2的解析式为y=x∴l2∴∠AOB∴AB∴A1同理：A1B2∴A2同理：A3……，An∴A2022故选：B．【点睛】本题主要考查了两条直线的平行或相交问题，点的坐标的规律，一次函数图象上点的坐标的特征，特殊角的三角函数值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,9，且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C(1)直接写出一次函数的函数解析式______；(2)M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y=3x于点N，当MN=2OD时，直接写出点M的坐标______；(3)Q为直线AB上一点，若S△OCQ=1【答案】(1)y=−2x+5(2)(3,1)(3)Q74【分析】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值，即可求出一次函数的解析式；（2）先确定D点坐标，设点M的横坐标为m，则M(m,−2m+5)，N(m,3m)，根据MN=2OD列出方程5m−5=10，然后求出m即可得到M点坐标；（3）根据三角形的面积关系，得到CQ=12BC【详解】（1）解：当x=1时，y=3x=3，∴C点坐标为(1,3)．直线y=kx+b经过(−2,9)和(1,3)，则−2k+b=9k+b=3解得：k=−2b=5∴一次函数的解析式为y=−2x+5；（2）由（1）可知，直线AB的解析式为y=−2x+5，∴当x=0时，y=−2x+5=5，∴D点坐标为(0,5)，∴OD=5．设点M的横坐标为m，则M(m,−2m+5)，N(m,3m)，∴MN=3m−(−2m+5)=5m−5，∵MN=2OD，∴5m−5=10，解得m=3．即M点坐标为(3,1)，故答案为：(3,1)．（3）在y=−2x+5中，令y=0，则x=5∴B5∵C(1,3)，S△OCQ∴CQ=1当点Q在线段BC上时，Q52+1当点Q在BC的延长线上时，点C为点Q和74∴Q1×2−74综上：点Q的坐标为Q74,【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，求出直线AB的解析式是解题的关键．知识点训练1．一次函数y=4x−1的图像经过（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【答案】C【分析】根据一次函数解析式中系数符号k>0，b<0解答即可．【详解】解：∵y=4x−1中k=4>0，∴一次函数图象经过第一、三象限，∵b=−1<0，∴一次函数图象经过一、三、四象限，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象经过的象限，解题的关键是根据k和b的符号进行判断．2．下列四个函数中，当−2<x<3时，y的值随着x值的增大而增大的是（

）A．y=12x2+4x B．y=1【答案】A【分析】根据一次函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可．【详解】解：A．∵在二次函数y=12x∴开口向上，对称轴为直线x=−4，∴当−2<x<3时，y的值随着x值的增大而增大，故本选项符合题意；B．∵在反比例函数y=1x中，∴它的图象在第一象限，y随x的增大而减小，在第三象限，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；C．∵在一次函数y=−2x+5中，k=−2<0，∴当−2<x<3时，y的值随着x值的增大而减小，故本选项不符合题意；D．y=−(x+3)(x−1)=−x∵在二次函数y=−x2−2x+3∴开口向下，对称轴为直线x=−1，∴当−2<x<−1时，y的值随着x值的增大而增大，当−1<x<3时，y的值随着x值的增大而减小，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质．掌握二次函数、一次函数、正比例函数的增减性与k和a的关系是解决问题的关键．3．下列四个选项中，符合直线y=−x+2的性质的选项是（

）A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大C．函数图象必经过点1，1 D．与y【答案】C【分析】根据一次函数的性质即可判断A、B；求出当x=0、x=1时的函数值即可判断C、D．【详解】解：∵直线解析式为y=−x+2，−1<0，2>0，∴直线经过第一、二、四选项，y随x增大而减小，故A、B不符合题意；当x=1时，y=−1+2=1，即函数经过点1，当x=0时，y=2，即直线与y轴交于点0，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数与y轴的交点，熟知一次函数的相关知识是是解题的关键．4．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=−bx+k的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行求解即可．【详解】解：由题意得k>0，∴−b<0，∴函数y=−bx+k的图象经过第一、二、四象限，∴四个选项中只有选项C符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限，当k<0，b>0时，一次函数5．已知点Ax1,y1，Bx2,y2在直线A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点Ax1,y1，Bx2,y2在直线y=kx+bk≠0上，当x【详解】解：∵点Ax1,y1，Bx2,y∴k<0，b<0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是判断k、b的正负．6．已知−2,y1,−1,yA．y1>y3>y2 B．y1<【答案】D【分析】根据k=−1<0，直线下降，y随着x的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵y=−x+2，k=−1<0，∴直线呈下降趋势，y随着x的增大而减小，∵−2,y1,−1,y∴y1故选D．【点睛】本题考查比较一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键．7．如果点A−3,y1和B2,y2都在直线y=−1A．y1<y2 B．y1【答案】B【分析】由k=−12<0，利用一次函数的性质得出y随x的增大而减小，结合−3<2【详解】∵k=−1∴k=−1又∵点A−3,y1和B2,y∴y1故选：B【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．8．已知一次函数y=kx−3，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y=kA．当x>0时，y>0 B．C．y随x的增大而减小 D．图象在第二、第四象限【答案】D【分析】根据一次函数的性质先判断k<0，再结合反比例函数的图象在二，四象限，结合增减性逐一分析即可．【详解】解：∵一次函数y=kx−3，y随x的增大而减小，∴k<0，关于反比例函数y=k∴当x>0时，每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不合题意；每个象限内，y随x的增大而增大，故选项C不合题意；图象在第二、第四象限，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，理解一次函数与反比例函数图象的增减性是解本题的关键．9．如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2，则关于x的方程kx+b=2x的解是（

A．x=12 B．x=2 C．x=1 【答案】C【分析】首先利用函数解析式y=2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2x的解可得答案．【详解】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2∴2=2m，∴m=1，∴P1,2∴关于x的方程kx+b=2x的解是x=1，故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．10．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义符号mina,b的含义为：当a≥b时，mina,b=b；当a<b时，mina,b=a．如：min1,−3=−3，min−4,−2=−4A．若m=1，则当y≤−2时，则x≤−3或x≥3B．当函数图象经过0,12C．m2,y1D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5【答案】D【分析】根据min的定义求出两个函数y=−x+mx≥m−12，m>−1x+1x<m−12，m>−1，把【详解】解：当x+1≥−x+m时，即x≥m−12时，当x+1<−x+m时，即x<m+12时，∴y=−x+mA．若m=1，y=−x+1当x≥0时，y=−x+1，y≤−2，即−x+1≤−2，解得x≥3；当x<0时，y=x+1，y≤−2，即x+1≤−2，解得x≤−3；∴当y≤−2时，则x≤−3或x≥3，故选项A正确；B．当函数图象经过0，12时，将0显然只有x≥m−12时，函数图象才能经过∴12=−0+m，即m=1∴y=−x+∵当y=−x+12x≥−14∴当y=x+1x<−14时，y∴当−x+12=x+1时，即x=−∴该函数图象的最高点的坐标为−1C．∵m2−m−12∴当x=m2时，m+12−m−12∴当x=m+12时，∵y2∴y1D．当m−12≥1时，即x≥1，此时，y随x的增大而减少，∴在1≤x≤2内，当x=1时，y最大，∴−1+m=3，解得m=4，符合要求；当m−12≤2时，即x≤2，此时，y随x的增大而增大，∴在1≤x≤2内，当x=2时，y最大，∴2+1=3，等式成立；综上，当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，m=4或−1<m≤5，故选项D不正确；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌握．11．已知一次函数y=kx−b，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，对应的因变量y的取值范围是6≤y≤10，那么2k−b的值为_______．【答案】6或10##10或6【分析】本题分情况讨论①k>0时，x=2对应y=6；②k<0时，x=2对应y=10．【详解】解：①k>0时，由题意得：x=2时，y=6，∴2k−b=6；②k<0时，由题意得：x=2时，y=10，∴2k−b=10；综上，2k−b的值为6或10．故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．12．已知点A2，m，点B3，n都在直线【答案】<【分析】由直线解析式可确定其y的值随x的增大而增大，再结合题意即可确定m<n．【详解】∵k=2∴直线y=2−1x+2，∵点A2，m，点B3，∴m<n．故答案为：<．【点睛】本题考查一次函数的图像和性质．对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y的值随x的增大而增大．当k<0时，y的值随x的增大而减小；13．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点2，0，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式【答案】x<2【分析】先根据增减性判断出k<0，再根据不等式kx+b>0的解集即为一次函数图象在x轴上方的自变量的取值范围进行求解即可．【详解】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点2，0，且y随∴k<0，∴当x<2时，kx+b>0，故答案为：x<2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知一次函数图象的性质是解题的关键．14．如图，已知一次函数y=kx+b和正比例函数y=mx的图象交于点P(1,3)，则关于x的一元一次方程kx+b=mx的解是___________．【答案】x=1【分析】当x=1时，y=mx的函数图象与y=kx+b的函数图像相交，从而可得到方程的解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b和正比例函数y=mx的图象交于点P(1,3)，∴当x=1时，kx+b=mx，方程kx+b=mx的解是x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图像求解，解题的关键是数形结合．15．已知如图直线y1=x+2与y2=kx+b相交于点P(a，【答案】x>−1【分析】先把P(a，1)代入y1=x+2中求得a=−1，然后结合函数图象，写出直线【详解】解：把P(a,1)代入y1=x+2得解得a=−1，∵当x>−1时，y1∴关于x的不等式x+2>kx+b的解集为x>−1．故答案为：x>−1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．16．（2023秋·江苏徐州·八年级校考期末）如图，一次函数y=−x−2与y=2x+m的图象相交于点P2，−4，则关于x【答案】x<2【分析】以交点P2，−4【详解】∵关于x的不等式组2x+m<−x−2∴2x+m<−x−2的解集：从图象上看y=−x−2的图象应该在y=2x+m的图象上面的部分∵一次函数y=−x−2与y=2x+m的图象相交于点P∴关于x的不等式2x+m<−x−2的解集为：x<2故答案为：x<2【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是从图象上得出信息．17．若二元一次方程组2x−y=mx+y=n的解为x=1y=−3，则一次函数y=2x−m与【答案】(1,−3)【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答．【详解】解：∵二元一次方程组2x−y=mx+y=n的解为x=1∴一次函数y=2x−m与y=−x+n的图象的交点坐标为(1,−3)，故答案为：(1,−3)．【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程(组)的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．18．已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P−4,−2，则二元一次方程组y=ax+b【答案】x=−4【分析】直接根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.【详解】解：∵函数y=ax+b和y=kx的图像交于点P−4,−2∴点P−4,−2，满足二元一次方程组y=ax+b∴方程组的解是x=−4y=−2故答案为：x=−4y=−2【点睛】本题考查了两函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解这一性质，从而直接求解；熟练掌握该性质解答本题的关键．19．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点【答案】

22022

【分析】根据题意求出B1，B2，B3，B【详解】当x=0时，y=0+1=1，∴点A1的坐标为0,1∵四边形A1∴点B1的坐标为1,1，点C1的坐标为当x=1时，y=x+1=2，∴点A2的坐标为1,2∵A2∴点B2的坐标为3,2，点C2的坐标为同理，可知：点B3的坐标为7,4，点B4的坐标为点B5的坐标为31,16∴点Bn的坐标为2n−1,∴点B2023的坐标为2故答案为：22022，【点睛】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．同时考查了正方形的性质和一次函数的图象上的点．熟练掌握相关知识点，抽象概括出点的坐标规律，是解题的关键．20．如图，点A1(2,1)在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A【答案】

3，1【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到B2的坐标，即可求得A2的坐标，从而求得C【详解】解：∵点A1(2,1)在直线∴1=2k，解得：k=1∴直线为y=1∵过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A∴A1∴B23，当x=3时，y=12x=∴B3∴C2∴以此类推，C3274,9…Cn故答案为：3，1；【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx．21．如图，一次函数y=−2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C、D．(1)直接写出A、B两点的坐标．；(2)点P在何处时，矩形OCPD的面积为1．【答案】(1)A32,0【分析】（1）分别令x=0，y=0，即可求解；（2）设Pa,−2a+3，则PD=a,PC=−2a+3，根据矩形OCPD的面积为1，可得到关于a【详解】（1）解：当x=0时，y=3；当y=0时，−2x+3=0，解得：x=3∴A32,0（2）解：∵点P在一次函数y=−2x+3的图像上，∴可设Pa,−2a+3，则PD=a,PC=−2a+3∵矩形OCPD的面积为1，∴a⋅−2a+3即2a解得a1=1，∴−2a+3=1或−2a+3=2，综上所述，当P1,1或P12【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．熟练掌握一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式是解题的关键．22．在直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过三点A4(1)求这个一次函数解析式；(2)求m的值；(3)求一次函数y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)y=−(2)m=10(3)4【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式，求出k、b即可；（2）把Cm，−3（3）求出y=−1【详解】（1）解：把A4，04k+b=0b=2解得：k=−1∴这个一次函数解析式为：y=−1（2）解：把Cm，−3代入：y=−∴m=10；（3）解：当x=0时，y=2，∴与y轴的交点坐标0，当y=0时，x=4，∴与x轴的交点坐标4，∴两坐标轴所围成的三角形的面积=1【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．23．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，过点A4,0的直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2(1)求直线l1(2)当y1<y【答案】(1)y=−43【分析】(1)先求P1,4，结合A4,0确定(2)根据交点坐标，结合图像确定解集即可．【详解】（1）∵直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2：∴a=1+3=4，∴P1,4∵y1=kx+b过∴4k+b=0k+b=4解得k=−4∴y=−4（2）∵直线l1：y1=kx+b（k≠0）与直线l2：y2∴x＞故答案为：x＞【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图像求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键．24．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A(1)点A的坐标是．点B的坐标是．(2)若点Cm,6是直线y=−43x+4上一点，则直线(3)在直线AB上是否存在一点D（不与点B重合），使△AOD的面积等于△OAB的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点E是y轴上一动点，把线段AB沿着直线AE翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式．【答案】(1)3,0；0,4(2)y=−4x(3)存在，6,−4(4)y=−【分析】（1）分别令x=0，y=0，即可求解；（2）先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解；（3）先求出OA=3,OB=4，设点D的坐标为a,−43a+4，根据△AOD（4）设点B的对称点为F，连接EF，BF，根据折叠的性质可得AE垂直平分BF，AB=AF=5，然后在Rt△OEF【详解】（1）解：令x=0，y=4，令y=0，x=3，∴点A的坐标是3,0．点B的坐标是0,4；故答案为：3,0；0,4（2）解：∵点Cm,6是直线y=−∴6=−43m+4∴点C−设直线OC的解析式是y=kx，把点C−32解得：k=−4，∴直线OC的解析式是y=−4x，故答案为：y=−4x；（3）解：存在，由（1）得：点A的坐标是3,0．点B的坐标是0,4，∴OA=3,OB=4，设点D的坐标为a,−4∵△AOD的面积等于△OAB的面积，∴12解得：a=6或0（舍去），∴点D的坐标为6,−4；（4）解：如图，设点B的对称点为F，连接EF，BF，根据题意得：AE垂直平分BF，AB=AF=O∴BE=EF，OF=AF−OA=2，设点E的坐标为0,s，则OE=s，∴EF=BE=4−s，在Rt△OEF中，O∴s2解得：s=3∴点E的坐标为0,3设直线AE的解析式为y=k把点0,32，b1=3∴直线AE的解析式为y=−1【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，图形的折叠，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．二、二次函数的图象和性质例3．（1）由二次函数y=2x−32+1A．顶点坐标1，−3C．x<3，y随x的增大而增大 D．其图象的对称轴为直线x=−3【答案】B【分析】由解析式可知a>0，对称轴为直线x=3，最小值为1，顶点坐标为3，1，在对称轴的左侧y随【详解】解：∵二次函数解析式为y=2x−32+1∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为3，∴二次函数有最小值1，当x<3，y随x的增大而减小，∴四个选项中只有选项B说法正确，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知二次函数y=ax−k2+ℎa≠0的对称轴为直线（2）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点−1,0，且对称轴为直线x=1①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点4,y1与点−3,y2，则y1>y2；④无论a，b，cA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线y=ax2+bx+c过点3,0，当x=3时，y=9a+3b+c=0，又由a>0即可做出判断；③由对称轴为x=1，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当x=−ca时，y=a−ca2+b−【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点−1,0∴抛物线y=ax2+bx+c∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∵点4,y1与点−3,y∴y1<y当x=−ca时，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca时，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点−ca,0x=m对应的函数值为y=amx=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c∵对称轴为x=−b∵b=−2a，∴2a+b=0，∴am∴am2+bm+a≥0正确的为②④⑤，故选：B【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键．（3）抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点5,−2，对称轴是直线【答案】−2【分析】根据题意求得5,−2关于直线x=3对称的点的坐标即可求解．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点∴点5,−2，关于直线x=3对称的点的坐标为1,−2，当x=1时，y=a+b+c=−2∴a+b+c=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．（4）在平面直角坐标系中，将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）.若直线y=b【答案】−4<b<0##0>b>−4【分析】由图可知，当y=b与新函数有4个交点时，y=b在新函数的顶点D和折线之间，求出点D的坐标，即为求解．【详解】解：原二次函数y=−x∴顶点C1翻折后点C对应的点为D1∴当直线y=b与新函数的图象有4个公共点，则b的取值范围是−4<b<0，故答案为：−4<b<0.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，翻折的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键．例4.已知二次函数y=ax2−4ax+4(1)求a的值；(2)当0≤x≤m时（m>0），函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是______．【答案】(1)a=1(2)2≤m≤4【分析】（1）根据二次函数y=ax2−4ax+4的图像与x（2）配方找到对称轴，确定最小值，代入最大值即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，∵二次函数y=ax2−4ax+4∴一元二次方程ax∴a≠0，(−4a)2解得：a=1；（2）解：由（1）得，y=x∴当x=2时，ymin∵当x=0时，y=4，∴抛物线上点(0,4)的对称点为(4,4)∵0≤x≤m时（m>0），函数的最大值为4，且最小值为0，∴2≤m≤4．【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题问题及最值问题，解题的关键是根据有唯一公共点得到判别式等于0解出a及配方找到对称轴．例5.已知二次函数y=ax(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点3,y①请判断y1与y2的大小关系：y1y2（用“>”“②若y1，y2，y3，y【答案】(1)抛物线与y轴交点的坐标为0,3，对称轴x=2(2)①=；②−【分析】（1）x=0，可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；（2）①根据题意可得点3,y1,1,y2关于直线x=2对称，即可求解；②根据题意可得点1,y【详解】（1）解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴交点的坐标为0,3．对称轴x=−−4a（2）解：①∵函数图象的对称轴为直线x=2，∴点3,y1,∴y1故答案为：=；②∵函数图象的对称轴为直线x=2，3>1>−1>−2，∴点1,y2,当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴y1当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则y1y1，y2，y3，y∴y3即当x=−1时，y3=a+4a+3≥0，当x=−2时，解得−3【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．知识点训练1．关于二次函数y=x−22+3A．当x=2时，y有最大值3 B．当x=−2时，y有最大值3C．当x=2时，y有最小值3 D．当x=−2时，y有最小值3【答案】C【分析】y=ax−ℎ2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是ℎ,k【详解】∵二次函数y=x−2∵1>0，∴抛物线开口向上，函数有最小值，∴当x=2时，y有最小值3．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数y=ax−ℎ2+k（a，b，c为常数，a≠02．已知A−1,y1,B1,A．y1<y2<y3 B．y1<【答案】A【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵−1<0，∴二次函数图象开口向上，∵y=−x−3∴二次函数的对称轴为直线x=3，∵抛物线y=−x−32+k的图象上有三个点A∴y1故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．3．已知抛物线y=x−22+1A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2C．抛物线的顶点坐标为2,1 D．当x<2时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，即可一一判定．【详解】解：∵抛物线y=x−22+1∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为2,1，对称轴为直线x=2，当x<2时，y随x的增大而减小，故A、B、C正确，D错误，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．4．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线xA．abc<0 C．a−b+c>0 D．当x=−n2−2（【答案】D【分析】由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，根据对称轴方程得到b>0，于是得到abc>0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点，得到b2−4ac>0，求得4ac−b2<0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=−1时，y=a−b+c<0，于是得到c−a<0，故C错误；根据函数图象可知，当【详解】解：由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，又对称轴方程为x=−1，所以−b2a<0，所以b>0∴abc>0，故A错误；∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A∴b∴4ac−b∵−b2a=−1∴b=2a，∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴a−2a+c<0，∴c−a<0，故C错误；∵二次函数y=ax2+bx+c根据函数图象可知，当x≥0或x≤−2时，y≥c，∵−n∴当x=−n2−2（故D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b<m(am+b)(m≠1A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】D【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判断即可．【详解】解：开口向下，a<0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b>0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0，则abc<0当x=−1时图象在x轴下方，则y=a−b+c<0，即a+c<b，所以②对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0，所以③正确；x=−b2a=1，则a=−12b，而a−b+c<0，则开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，则a+b+c>am2+bm+c故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数的关系．6．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点坐标为−1,0，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④点−2,yA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为(3,0)；①函数对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，故①正确，符合题意；②∵x=−b2a=1而x=−1时，y=0，即a−b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0．∴②正确，符合题意；③由图象知，当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，∴③正确，符合题意；④从图象看，当x=−2时，y1当x=2时，y2∴有y1故④正确，符合题意；故正确的有4个，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c7．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④6a−2b+c<0；A．②③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．【详解】解：∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=−1，∴−b∴b=2a>0，∵图象与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴abc<0，①错误；由图象可知抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b2由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为1,0，∴抛物线与x轴的另一个交点为−3,0，当x=−3时，y=0，∴9a−3b+c=0，③正确；∵9a−3b+c=0，b=2a，∴c=−3a，∴6a−2b+c=6a−4a−3a=−a<0，故④正确；∵抛物线对称轴为x=−1，0.5−−1=1.5，∴点0.5,y1比点∴y1>y综上可知，正确的有②③④⑤．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．8．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程aA．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】D【分析】将ax2+bx+c−3=0转化为a【详解】解：∵a∴ax2+bx+c=3由图可知最高为1，∴不存在y=3，即ax故选D．【点睛】本题主要考查二次函数图像与方程，能够熟练转化方程与图像的交点问题是解题关键．9．二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+nA．−3<x<3 B．−3<x<0 C．x<−3或x>1 D．x<−3或x>0【答案】B【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，−3<x<0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足y1>y2的故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b<0；③−b2−4ac>0；④不等式A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据开口方向，对称轴，以及与y轴的交点，判断①②③，根据y=−x与y=ax2+bx+c交于点−1,1【详解】解：抛物线开口向上，则a>0，故①正确；∵对称轴为直线x=−1，∴x=−b2a=−1，即b=2a>0抛物线与y轴交于正半轴，则c>0∴b2+4ac>0，故∵y=−x与y=ax2+bx+c∴不等式ax2+故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．11．如图．抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，A．x>−1 B．x<3 C．1<x<3 D．x<−1或x>3【答案】D【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A由图可知：抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n上方时，x的范围是：x<−1即ax2+c>mx+n的解集是x<−1故选D．【点睛】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．小明同学研究二次函数y=−x−m2−m+1①这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点Ax1,y1与点Bx2④当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【详解】解