2022-2023学年江苏省苏州市高新某中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市高新一中九年级（下）开学数学试

卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1.体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试.成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，

2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（）

A.2.29米B.2.30米C.2.31米D.2.33米

2.抛物线），=2%2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）

A.（-3,0）B.（3,0）C.（0,-3）D.（0,3）

3.已知。。的面积为16何在，若点。到直线相的距离为ncm则直线机与。。的位置关

系是（）

A.相交B,相切C.相离D.无法确定

4.如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米

时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度

为（）

A.8米B.10米C.C米D.20米

5.如图，已知是。。的直径，ZADC=50a,A。平分/8AC,则/AC。的度数是（）

A.110°B.100°C.120°D.130°

6.关于x的方程/+4日+2/=4的一个解是2,则k值为（)

A.2或4B.0或-4C.4或0D.-2或2

7.一次函数丫=3-“（c=0）和二次函数（a#0）在同一平面直角坐标系中的

图象可能是（）

8.如图，AO=8O=CO=6厘米，0C是一条射线，OCLAB.一动点P从点A以1厘米/

秒的速度向点B运动，另一动点。从点。以2厘米/秒的速度沿射线0C方向运动.它们

同时出发，当点P到达8点时点Q也停止运动，设运动时间为，秒，下列结论错误的是

()

ApOB

A.0Q=2t

B.经过2秒或4秒或3WI7秒时，△尸0。的面积为8平方厘米

C.当△OPC与△OP0相似时，f=3或t=12-6«

D.当△P8Q为等腰三角形时，/=-4+2'运或量等亘

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9.己知为锐角，且co$A=1-,则NA度数等于度.

2

10.某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小

明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为分.

11.圆锥的高〃=3,母线1=5,则圆锥的侧面积是.

12.一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为r,2r,3r,则小钢球停止在蓝

色区域的概率为

13.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表.如

图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为8尺.已知，此

地冬至时的正午日光入射角/ABC约为28°,则立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距

离（即BC的长）约为尺.（参考数据：sin28°七0.47,cos28°«0.88,tan28°

冬至线。.作作分立熨灯至线

、工冬秋分立秋

14.如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、

乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离A。与8。均为0.9米，绳子甩到最高

点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点O水平距

离为切米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则机的取值范围

是

15.如图，多边形4A2A3…4是0。的内接正”边形.已知的半径为r,△AQ1A2的度

数为a,点。到4A2的距离为d,△AQA2的面积为S.下面三个推断中，①当〃变化时,

a随n的变化而变化，a与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若a为定值，当r

变化时，d随『的变化而变化，”与/•满足的函数关系是正比例函数关系；③若〃为定值,

当/•变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系.其中正确的

是（填所有正确答案的序号）.

16.如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O,P是边CD上靠近点D的三等分点，连

接尸A,PB,分别交AC于N.连接MN,若正方形的边长为3,则善照的值

SAONB

是_______

三、解答题（本题共82分）

17.计算：2tan450+4sin30°•cos60°.

18.解方程：3（2x-3）2=2（2x-3）.

19.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余

力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A.音

乐；B.体育；C.美术；D.阅读：E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，

随机抽取部分学生进行「调查统计，并根据统计结果，绘制「如图所示的两幅不完整的

统计图.

（1）①此次调查一共随机抽取了名学生；

②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

③扇形统计图中圆心角a=度；

（2）若该校有2800名学生，估计该校参加。组（阅读）的学生人数.

20.春节期间，苏州所有旅游景点免费，某天小华计划在拙政园、狮子林和网师园等三个景

点中选择游玩.

（1）若小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是；

（2）小华从中随机选择两处景点游玩，请用画树状图或列表的方法，求小华选择的景点

中至少有一处是“网师园”的概率（这三个景点依次分别用字母4,B,C表示）.

21.已知关于x的方程/-尔+2切-4=0.

（1）求证：无论加取任何实数时，该方程总有两个实数根；

（2）如果该方程的两个实数根的平方和为4,求〃?的值.

22.图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动,测得8c

=10cm,AB=24cm,ZBAD=60°,NABC=50°.

（1）在图2中，过点8作BELA。，垂足为E.填空：NCBE=°；

（2）求点C到AO的距离.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin20。

=0.342,cos20°=0.940,tan20°=0.364)

B

501

23.如图，A2是。0的直径，延长AB到£>,使BD=OB,点C在。。上，且NA=30°.

（1）求证：C£>是。。的切线；

（2）若。。的半径为6,求图中阴影部分的面积.

24.一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为

40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y=-2X+400.

（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600

元：

（2）若获利不得高于进价的80%,那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大

利润是多少元？

25.如图1,已知RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,E是线段48上的一点，点。

是线段BC上的一个动点，沿4。折叠△AC。，点C与C重合，连接BC；

（1）当BE为何值时，△AEC'saACB?

（2）在⑴的条件下，若点F是BC上的一点，且8F=2,求BC吟FC'的最小值.

A

26.平面直角坐标系中，直线y=-x+4与抛物线y=x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N

（几，1）.

(1)求”和6的值；

(2)A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM,AN,求的面积的最大值；

(3)当点A为抛物线y=/+法+4的顶点时(如图2),将△4WN沿着直线MN翻折得

到△/!'MN,求4'M与抛物线的另一个交点C的坐标.

27.如图，锐角AABC中/A的平分线交于点E.交△ABC的外接圆于点。，边8c的

中点为M.

(1)求证：垂直BC；

(2)若AC=4,BC=5,AB=6,求四的值;

AD

(3)作/4CB的平分线交AD于点P,若将线段绕点M旋转180°后，点P恰好与

△ABC外接圆上的点P,重合，求sin/BAC.

D

参考答案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1.体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试.成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，

2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（）

A.2.29米B.2.30米C.2.31米D.2.33米

【分析】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数.

解：••,这组数据按照从小到大排列是：2.29米，2.30米，2.31米，2.34米和2.35米，

这组数据的中位数是2.31米，

故选：C.

【点评】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果

数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.

2.抛物线y=2%2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）

A.（-3,0）B.（3,0）C.（0,-3）D.（0,3）

【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标.

解：抛物线y=2》2的顶点坐标是（0,0）,将该顶点向下平移3个单位长度所得的顶点

坐标是（0,-3）.

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上

加下减.并用规律求函数解析式是解题的关键.

3.已知。。的面积为若点O到直线的距离为7TC7”，则直线，〃与0。的位置关

系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

【分析】设圆。的半径是广，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线/的距离TT

比较即可.

解：设圆。的半径是〃

贝ij-nr2—XCm,

：.r=4,

•••点。到直线/的距离为TT,

V4>n,

即：r>d,

...直线/与o。的位置关系是相交，

故选：A.

【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r

时相离；当「="时相切；当时相交.

4.如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米

时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度

为（）

■■■■

■■■■

■■■■

A.8米B.10米C.18米D.20米

【分析】如图，CD=2m,50=12〃?，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”得到

黑•Th，则可计算出。E,然后再利用票二七可计算出A8

DE1.5BE1.5

解：如图，CD=2m,BD=\2m,

..CD_1

'DF=1.5'

.•.£>E=1.58=3,

..AB_1

*BE-1.5,

1.5

二旗杆的高度为10m.

故选：B.

A

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角

形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理

解决.

5.如图，已知AB是。。的直径，NAQC=50°,A。平分/8AC,则/AC。的度数是（）

A.110°B.100°C.120°D.130°

【分析】连接BC,根据直径所对的圆周角是直角可得/AQB=90°,从而可得/BCC=

140。，然后利用圆内接四边形对角互补可得NB4C=40°,再利用角平分线的定义可得

ND4C=20°,最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答.

解：连接BO,

是的直径,

：.ZADB=90°,

VZADC=5Q0，

ZBDC=ZADB+ZADC=140°,

四边形ABDC是。0的内接四边形，

.•./B4C=I8O°-ZBDC=40°,

：AQ平分/BAG

AZDAC=—ZBAC=20°,

2

.•.NACQ=180°-ZADC-ZDAC=110°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

6.关于x的方程N+4日+2N=4的一个解是2,则k值为（）

A.2或4B.。或-4C.4或0D.-2或2

【分析】直接把x=2代入方程N+4■+2R=4得4+8Z+2公=4,然后解关于k的一元二次

方程即可.

解：把x=2代入方程/+4履+2/=4,

得4+弘+2公=4,

整理得炉+4%=0,

解得“i=0，ki--4,

即k的值为0或-4.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未

知数的值是一元二次方程的解是解题关键.

7.一次函数），=5-4（c=0）和二次函数y=<zv2+x+c（〃W0）在同一平面直角坐标系中的

图象可能是（）

【分析】可先由一次函数y=cx-“图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=«x2+x+c

的图象相比较看是否一致.

解：A、由抛物线可知a<0,又6=1>0,所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合

题意；

B、由抛物线可知a<0,又匕=1>0,所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；

C、由抛物线可知，a>0,c<0,由直线可知，a>0,c>0,故本选项不符合题意；

D、由抛物线可知，a>0,c<0,由直线可知，a>0,c<0,故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数丫=履+人在不

同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐

标等.

8.如图，AO=8O=CO=6厘米，0C是一条射线，OCLAB.一动点P从点A以1厘米/

秒的速度向点B运动，另一动点Q从点。以2厘米/秒的速度沿射线0C方向运动.它们

同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动，设运动时间为/秒，下列结论错误的是

ApOB

A.0Q=2t

B.经过2秒或4秒或3W77秒时，△P0。的面积为8平方厘米

C.当AOPC与△OPQ相似时，f=3或t=12-6E

D.当△PBQ为等腰三角形时，/=-4+2J石或冬芋运

【分析】根据动点Q从点。以2厘米/秒的速度沿射线0C方向运动，知。Q=2f,判定

A正确；当尸在AO上，2tLEtJ=8,P在2。上，2tqF)=8,解方程可判断8

22

正确；当尸在线段OA上时，△OPQSAOPC,可得国装="，当P在线段OB上时，

62t

上g=-^-,解方程可判断C正确；当尸8=8Q时，4产+36=144-24+凡当尸B=PQ

2t6-t

时，144-24升於=4户+(6-r)2,即方程可判断。错误.

解：：动点。从点。以2厘米/秒的速度沿射线0C方向运动，

：.0Q=2t,故A正确，不符合题意；

当p在A。上，*(巾)=8,

2

解得：力=2,亥=4.

・・"=2,较=4在0V/V6范围内,

A=2,,2=4.

P在8。上，2t"6)=8,

2

解得：6=3+,17,f4=3-717,

>3=3+近7在6<?<12范围内，

・"=3+百7；

经过2秒或4秒或3WI7秒时，△POQ的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题

意；

当P在线段0A上时，如图：

■:△OPQSXOPC,

.OP_OP即6_t_6-t

''CO~OQ'_62t'

解得f=3；

当P在线段OB上时，如图：

■:△OPQsXocP、

.OP_QC即t-6_6

^OQ-OP'元一百，

解得f=12-6«或1=12+6料(P不在线段。8上，舍去)，

.•.当△OPC与402。相似时，/=3或t=12-6«，故C正确，不符合题意；

在Rtz^BOQ中，由勾股定理得：8Q2=45+36,

；8P=12-t,

；.BP2=i44-24r+凡

当PB=BQ时,45+36=144-24什凡

解得：h=-4+2-/13'（2=-4-2^/13（舍去）.

当PB=PQ时，144-24什於=4产+（6-t）2,

解得t3=_3+3«,以=—―—3"I3-（舍去）.

22—

当△P8。为等腰三角形时，--4+2后或"+3后,故D错误，符合题意;

【点评】本题考查了动点问题的运用，涉及三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方

程的解法，相似三角形等知识，解答的关键是运用直角三角形的性质及勾股定理的应用.

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9.已知N4为锐角，且cosA=1，则NA度数等于30度.

2

【分析】根据特殊角的三角函数值解决问题即可.

“Jo

解：VcosA=--,

2

—30°,

故答案为30.

【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

10.某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小

明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为9分.

【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题.

解：由题意可得，

10X2+9x3+8x2+9X2+9Xj

2+3+2+2+1'

答：他期末操行得分为9分.

故答案为：9.

【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法.

11.圆锥的高人=3,母线/=5,则圆锥的侧面积是，Q]I_.

【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为4,再根据圆锥的侧面展开图为一扇形,

这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的

面积公式可计算出圆锥的侧面积.

解：圆锥的底面圆的半径=值[]=4,

所以圆锥的侧面积得X2n><4X5=20n.

故答案为：20n.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

12.一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为r,2r,3r,则小钢球停止在蓝

色区域的概率为5

-3-

【分析】根据儿何概率的求法：小钢球停止在蓝色区域的概率为蓝色区域的面积与总面

积的比值.

解：蓝色区域的面积为n（2r）2-冗户=371凡总面积为冗（3r）2=9TT/2,

则小钢球停止在蓝色区域的概率为型三=《.

2

9Hr3

故答案为：

【点评】此题考查几何概率的求法，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.

13.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表.如

图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为8尺.已知，此

地冬至时的正午日光入射角/ABC约为28°,则立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距

离（即BC的长）约为15.1尺.（参考数据：sin28°^0.47,cos28°弋0.88,tan28。

冬至线①锌作分立熨矍至线

、工冬秋分立秋

【分析】根据题意可得：/ACB=90。，然后在RtZsABC中，利用锐角三角函数的定义,

进行计算即可解答.

解：由题意得：ZACB=90°,

在RtZXABC中，NABC=28°,AC=8尺,

能=高一焉215.1（尺），

立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即8c的长）约为15.1尺，

故答案为：15.1.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是

解题的关键.

14.如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、

乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离A0与8。均为0.9米，绳子甩到最高

点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点。水平距

离为，"米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则，〃的取值范围

是1cm<5.

【分析】以AO所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛

由题意可知C(3,1.8),

设抛物线的解析式为y=aU-3)2+1.8,

把A(0,0.9)代入y=a(x-3)2+1.8,得

a=-0.1,

...所求的抛物线的解析式是y=-o.l(x-3)2+1.8,

当y=1.4时，-0.1(x-3)2+1.8=1.4,

解得X1=1,X2=5,

.,.则〃，的取值范围是l<m<5.

故答案为：1<根<5.

【点评】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关

键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问

题的能力.

15.如图，多边形A1A2A3…4是的内接正”边形.已知的半径为r,△40小2的度

数为a,点。到4A2的距离为d,△AQ4的面积为S.下面三个推断中，①当〃变化时，

a随〃的变化而变化，a与〃满足的函数关系是反比例函数关系；②若a为定值，当r

变化时，d随厂的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若“为定值，

当「变化时，S随/•的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系.其中正确的

是①②③（填所有正确答案的序号）.

【分析】分别表示出a与〃、d与八S与，•的关系式，进而判定出结论.

解：①•心题匚，

；.a是〃的反比例函数,

故①正确，

②如图，

•：OAt=OAi,

：.ZBOAt=—ZA\OA=—a,

222

/.J=r*cos-a,

Va为定值，即cosa为定值,

."是，•的正比例函数,

故②正确,

③•为定值，a=——,

n

.,.a为定值，

'/—A1A2—BAi=r,sin—a,

22

S——/11/I2,d=r,sin-^a•r,cos—a-(sin—a*008—a)•/,

22222

，S为r的二次函数，

故③正确，

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数、反比例函数、

二次函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.

16.如图所示，正方形A8CD的对角线交于点0,尸是边上靠近点。的三等分点，连

接PA,PB,分别交BO,AC于M,N.连接MN,若正方形的边长为3,则，△。睡的值

SA0NB

是4•

-2~

【分析】由正方形的性质可得A8=BC=CO=AO=3,AB//CD,AC=B£>=3迎，OA

=0B=0C=0Q=WY2,通过证明可得】巳出L,即可求0M=MD

2ABBM

=2亚，由平行线分线段成比例可求ON的长，即可求SAONB=±,即可

4820

求解.

解：•.•四边形A2CD是正方形，且正方形的边长为3,

：.AB=BC=CD=AD=3,AB//CD,AC1BD,AC=BD=3近,OA=OB=OC=OD=

-啦-------,

2

是边C。上靠近点。的三等分点，

：.DP=\,PC=2,

'JAB//CD,

.DPDM_1

"AB"BM-T

:.MB=3DM,且OM+MB=BO=3&,

：.OM=MD=^^~,

4

'：AB//CD,

.AB_AN3

■"CP'CNV

3

：.AN=—CN,

2

：.AN=^^~,CN=^^~,

55

10___

•••S&OMA=4Xa"2—x3,2•=得，S4ON8=4XX3^"^.x9,

-2248221020

.SAOMA_5

••~~.

SAONB2

故答案为：-1.

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定

理，掌握相似三角形的判定和性质是本题的关键.

三、解答题(本题共82分)

17.计.算：2tan450+4sin30°*cos60°.

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答.

解：2tan45°+4sin30°*00860°

—2X1+4X--X--

22

=2+1

=3.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

18.解方程：3(2r-3)2=2(2x-3).

【分析】利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

解：3(2x-3)2=2(2x-3),

3(2x-3)2-2(2x-3)=0,

(2x-3)[3(2x-3)-2]=0,

(2x-3)(6x-11)=0,

2x-3=0或6x-11=0,

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分

解法是解题的关键.

19.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余

力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A.音

乐；B.体育；C.美术；。.阅读：E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，

随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的

统计图.

（1）①此次调查一共随机抽取了400名学生;

②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

③扇形统计图中圆心角a=108度;

（2）若该校有2800名学生，估计该校参加。组（阅读）的学生人数.

【分析】（1）①由8组的人数除以所占百分比即可；

②求出A、C组的人数，补全条形统计图即可；

③由360°乘以C组所占的比例即可；

（2）由该校共有学生人数乘以参加。组（阅读）的学生人数所占的比例即可;

（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再

由概率公式求解即可.

解：（1）①调查人数：罂=400（名），

25%

故答案为：400；

②A组的人数：400X15%=60（名），

C组的人数：400-100-140-40-60=60（名），

③扇形统计图中圆心角a=360°*义=54°,

400

故答案为：54°,

（2）2800x-^-=980（人），

答：参加。组（阅读）的学生人数为980人.

【点评】本题考查的概率及其应用，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关

键.

20.春节期间，苏州所有旅游景点免费，某天小华计划在拙政园、狮子林和网师园等三个景

点中选择游玩.

（1）若小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是2；

一3一

（2）小华从中随机选择两处景点游玩，请用画树状图或列表的方法，求小华选择的景点

中至少有一处是“网师园”的概率（这三个景点依次分别用字母4,B,C表示）.

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可：

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

解：（1）小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是

故答案为：得；

0

(2)圆树状图得:

:共有6种等可能的结果，其中小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的有4种结

果，

，小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率为

63

开始

ABc

/\z\z\

BCAcAB

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.已知关于x的方程x2-mx+2m-4=0.

(1)求证：无论机取任何实数时，该方程总有两个实数根；

(2)如果该方程的两个实数根的平方和为4,求〃?的值.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△=〃-4ac,可得出△=所-4)220,

进而可证出：无论，”取任何实数时，该方程总有两个实数根；

(2)利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根

两个实数根的平方和为4,即可得出结论.

【解答】(1)证明：a=1,b=-m,c=2m-4.

△—b2-4ac=(-m)2-4XlX(2/T?-4)=m2-8〃i+16=-4)2^0,

...无论用取任何实数时，该方程总有两个实数根.

(2)解：Vx2-mx+2m-4=0,

即(x-2)次-(m-2)]=0,

解得：Xi=2,X2=m-2.

..2,2_.

•xi+x2-4.

.,.4+(m-2)2=4,

/./?!=2.

【点评】本题考查r根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）

牢记“当A》。时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根.

22.图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动,测得BC

=l（krc,AB=24cm,ZBAD=60°,ZABC=50°.

（1）在图2中，过点B作BELAZ）,垂足为£填空：ZCBE=20°；

（2）求点C到A。的距离.（结果保留小数点后一位，参考数据：向比1.73,sin20°

—0.342,cos20°七0.940,tan200仁0.364）

图I图2

【分析】（1）根据垂直定义可得NAEB=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可

得NA8E=30°,然后利用角的和差关系进行计算即可解答；

（2）过点C作CF±AD,垂足为F,过点C作CGLBE,垂足为G,则GE=CF,ZBGC

=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得/BCG=70°,然后在RtZXABE中，

利用锐角三角函数的定义求出8E的长，再在RtZVBGC中，利用锐角三角函数的定义求

出8G的长，进行计算即可解答.

'：BELAD,

：.ZAEB=90°,

VZBAD=60°,

AZAB£=90°-/8AD=30°,

；NA8c=50°,

ZCBE=ZABC-NABE=20°,

故答案为：20；

(2)过点C作CFLAO,垂足为尸，过点C作CGLBE,垂足为G,

:NCBE=20°,

：.ZBCG=90Q-NCBE=70°,

在Rt/XABE中，ZBA£=60°,AB=24cro,

.".BE=AB«sin60°=24X^=12«(.cm),

在RtZ;J5GC中，BC=10cm,

・・・8G=BC・cos20°^10X0.94=9.4(cm),

；.CF=GE=BE-BG=12百-9.4F2X1.73-9.4%1.4(cm),

:.点C到AD的距离约为11.4cm.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的己知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

23.如图，48是。。的直径，延长AB到。，使8。=。8,点C在。。上，且/A=30°.

(1)求证：CQ是00的切线；

【分析】(1)连接OC.只需证明NOCn=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;

(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.

【解答】(1)证明：连接。C.

'：AC=CD,ZACD=120°,

：.ZA=ZD=30°.

・.,OA=OC,

AZACO=ZA=30°.

AZOCD=ZACD-ZACO=90°.B|JOCLCD

・•・CO是00的切线.

(2)解：VZA=30°,

：.ZCOB=2ZA=60°.

Sm80C=6O兀.6一=6TT,

360

在RtaOC。中，CD=OC*tan60°=6百，

.'.S^ocD--^OC*CD--^y.gX6^/3=18-^/3,

SAOCD-S«oc=18-^/3-6w,

...图中阴影部分的面积为1873-

【点评】此题考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，熟练

掌握切线的判定是解题的关键.

24.一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为

40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系），=-2X+400.

（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600

元；

（2）若获利不得高于进价的80%,那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大

利润是多少元？

【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；

（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，

即可求解.

解：（1）依题意得（x-40）（-2x+400）=5600,

整理得：x2-240x+10800=0,

解得x=60或180,

•.•物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，

.,.x=180不合题意舍去，

答:当售价为60元时，利润达到5600元.

(2)设利润为W元，贝I」W=(x-40)(-2x+400)=-2(x-120)2+12800,

V40X(1+80%)=72,

xW72,

：-2<0,

.•.当x=72时，W品大=8192,

答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，一次函数的实际

应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键.

25.如图1,己知RtZVIBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,E是线段48上的一点，点。

是线段8c上的一个动点，沿4。折叠△ACD点C与。重合，连接BC；

(1)当BE为何值时，△AECS/XACB?

(2)在(1)的条件下，若点尸是8c上的一点，且B尸=2,求BC^FC'的最小值.

【分析】(1)由线段的数量关系可得空尸，可得结论；

AC'AB

(2)由相似三角形的性质可得BC+"c=(EC+FC),则当点E,点C,点尸三点共

线时，EC+FC有最小值，即BC+5/C有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求

EF的长，即可求解.

解：(1)I•沿AQ折叠△ACO,点C与C重合，

：.AC=AC=6,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

.\/1B=A/AC2+BC2=^62+82=IO)

・・•"AE=ZBAC,,

.•.要△AECsaACB,—,

AC'AB

.•3^12金耳

AB105

1oqo

：.BE=AB-AE=W--=—,

55

故当5E=善时，△AECSAACB.

(2)②•.,△AECSAACB,

.EC/_AE_ACZ_6_3

,•Be，AC，AB105’

5

：.BC=—EC

3f

55

^BC+—FC=—(EC+FC),

33

，当点E、C、/三点共线时，EC+bC有最小值,即BC'+巨FT有最小值,

3

如图，过点E作E"_LBC于凡

32

由(1)得：NC=90°,4C=6,AB=10BC=8,BE=—

95;

VZACB=ZEHB=90°,/ABC=NEBH,

：.AABCSAEBH,

.BE_BH_EH即善_BH_EH

-ABBCAC''卡86'

EH=—,

2525

'：BF=2,

：.HF=BH-BF=^--2=—,

2525

?22=2=.6717

•*-£1/=7EH+HF-J(患)?+("jj")■-----,

5

8C+±C的最小值=4X量正=2JF

335

A

【点评】本题是相似三角形的判定和性质，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾

股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

26.平面直角坐标系中，直线y=-x+4与抛物线丫=/+公+4交于过y轴上的点M和点N

(m1).

(1)求力和6的值；

(2)A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM,AN,求△4MN的面积的最大值；

(3)当点A为抛物线丫=/+灰+4的顶点时(如图2),将△AMN沿着直线MN翻折得

到aA'MN,求A'M与抛物线的另一个交点C的坐标.

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)设4(〃?，w2-4m+4),过点A作AT〃y轴交直线MN于点T,如图1,可得

=S&AMT+S&ANT=--|(//7--1)2+今，运用二次函数性质即可求得答案；

(3)根据轴对称性质可求得点A'的坐标，利用待定系数法求得直线A'M的解析式，

联立方程组即可求得交点C的坐标.

解：(1)把N(〃，1)代入y=-x+4得：1=-n+4,

解得：〃=3,

：.N(3,1),

•・•抛物线y=9+法+4过点N(3,1),

Al=9+3沙+4,

解得：b=-4；

(2)由(1)可得：抛物线解析式为y=/-4x+4,

：.M(0,4),

设A(如加2-4机+4),过点A作AT〃y轴交直线MN于点7,如图1,

则T(