2024届高三二轮复习联考（一）数学试题（含解析）

2024届高三二轮复习联考(一)

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.样本数据36,26,17,23,33,106,42,31,30,33的第60百分位数为()

A.23B.31C.33D.36

2.若复数z满足3z+45=7+i,则|z+2i|=（）

A.lB，V2C*D.4

3.已知向量a=(1,1),0=(4,5),则卜―2'=()

A.^/130B.4V10C.3V7D.6vH

4.某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1,且上底面圆直径的

一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3,则这个圆台的体积为()

A.3兀B.5兀C.7兀D.8兀

sin(a+⑶1

5.已知一^--4=2,cososin4二:，则sin(a+「)=()

sin(cif-p)6

1212

A.-B.—C.-D.——

3393

19

6."=("是"直线bc—y+l+左=0与圆(x—2)2+(y—3)2=4相切”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知数列｛4｝满足自着7=〃+1,则。2024=（）

k=i2k—1

A.2024B.2023C.4047D.4048

2jr

8.在中，AD=-AC,^ADB=-,若CD=2,则的最大值为（）

33BA2

1

A.73B.2C.V7-2D.2L__

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.函数"x)=Asin[ox+《卜0〉0,4〉0)的最小正周期为兀，将y=的图象向左平移十个单位长度

得y=g(x)的图象，则()

A.①=2

39

B.y=g(九)的图象关于直线x-兀对称

8

C./(x)-^(x)=4/，(2x)

D"(x)-g(x),,^A2

10.已知抛物线C:丁=2px(p>0)的准线方程为X=-1,A(—1,0),P,Q为C上两点，AP=AAQ(A>1)，则

()

/\.OPOQ=5Q.AP-AQ>8

C.若2=2,则p@=孚D.SPQO=4五,则|PQ|=16近

11.已知/(x)..O,且x>0时，/(2X)=COS2X-/(X),则()

7C

B.f(%)„2tanxf(2x)—+hr,^eZ

c.若d曰=j且g⑴=三多为常函数，则八%)=i在区间(o,i)内仅有i个根

兀―sin2x

D.若/(1)=1,则“8)(为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合A={—2,—1,0,2,3,4},3=We>2_1>0},则AcB的子集个数为.

22(2j

13.已知8为双曲线c：=—5=1(。〉0］〉0)上一点，A—(C为半焦距)为C的渐近线上一点，

ab\cc

2

若AB〃为轴，|O同=c,则双曲线。的离心率为.

14.在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A4G中，M为底面三角形斜边5C上一点，且

AM-BC=O,AC=A4=1,P为线段BG上一动点，则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了自动步枪社团来促进

同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，己知该同学每次射击成

功的概率均为

2

（1）求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率；

（2）若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记

X为三次射击总得分，求X的分布列及数学期望.

16.（15分）已知函数/（X）=511次+三一仅+2）X.

（1）当A=1时，求曲线y=/（x）在点（1,7（1））处的切线方程；

（2）求/（尤）的单调区间.

17.（15分）在棱锥尸―A5CD中，24,平面A6CD,四边形为平行四边形.3。=3,

CD=1,AP=4,CP=2y/6.

（1）求yp-ABCD；

（2）求平面。CP与平面6cp夹角的余弦值.

22

18.（17分）已知椭圆c：%+云=I，A，A分别为椭圆c的左、右顶点，耳,工分别为椭圆c的左、右焦点,

斜率存在的直线/交椭圆c于尸,Q两点，记直线4尸，尸4，4Q，2A的斜率分别为左、内&及.

3

（1）证明:左3,左4=；

4

3

(2)若匕+左4=—(^2+&)，求SF2PQ的取值范围.

19.(17分)约数，又称因数.它的定义如下：若整数。除以整数加(加工。)所得的商正好是整数而没有余数，

我们就称〃为根的倍数，称相为〃的约数.设正整数〃共有左个正约数，即为%,

4，,%一1，/<a2<<％).

(1)若Q=8,求左的值；

(2)当左..4时，若｛久―/_1｝为等比数列，求正整数Q；

4111

(3)记A=+%。3++ak-\ak»证明：-------<1.

°k

2024届高三二轮复习联考(一)

数学参考答案及评分意见

1.C【解析】将这组数据从小到大排列为17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,数据的第60百分位数为

33+33_

------二33,故选C,

2

2.B【解析】设z=x+yi(x,y$R),则3z+4彳=3x+3;yi+4x-4yi=7x-yi=7+i,解得x=l,y=-l,

故z=l—i，则|z+2i|=|l+i|=JL故选B.

3.A【解析】因为a=(l,l)力=(4,5),所以

"=(1,1)—2(4,5)=(―7,—9),1—2同=J(—7『+(—9)?=同,故选A.

4.C【解析】如图，设圆台上、下底面圆心分别为CAE为点。在底面的投影点，上、下底面圆的半径分别

为CD,AB，由题意得AC=3,CD=1,A5=2,设上底面圆的面积与下底面圆的面积分别为SpS2,所以

该圆台容器的容积V=g(H+S2+'ms2)/z=g(兀+4兀+,兀+4兀)义3=7兀,故选C.

4

sin(67+3=2可得sin((/+4)=2sin(a—4)=3cos«sin/7=sinccos/7.又

5.B【解析】由一一

sincr-

，：所以，所以(。+，)=，

cosasin=,sintzcos=g,sinsincrcos+coscrsin/?=—I—二一，故选B.

263

6.A【解析】圆(x—2)z+(y-3)2=4是以(2,3)为圆心，半径为2的圆,所以点(2,3)到直线依一y+l+左=0

J2左-3+1+43左-212

的距离为—r-——'=^=^=2,解得左=。或左=一,故选A.

VF+1+15

7.C【解析】由题意可得％H——H—-+H-----—n+\,当”=1时，％=2；当.2时,

352n-l

2,〃=1,

CL+—+—++&」=〃，两式相减得，^=1,即4=2〃—1.综上所述，an=<所以

"352n-32n-l2n-1,n..2,

“2024=4047,故选C.

8.D【解析】依题意得AD=4,C£>=2,设3£>=。«>2),在.BCD中,

BC2=BD2+CD2-2BD-CDcosNCDB=/+4+2人在：,ABD中,

AB--BD2+AD2-2BD-AD-cos^ADB=r2+16-4^则

2

3c2t+4+2t,6?-12,6(Z-2)6,62+百

BA2r+16—4//_务+16("2)2+12(”2)+卫2m2，当且仅当

"-2)2=12,即f=2+26时取等号，故选D.

解得a)=2,A正确；

ac兀兀71

—Asin2xH----1—=Acos，对称轴为2x+—=E(keZ),解得

I24>+力4

得上=10,即ZeZ成立，则B正确;

5

/(x)g⑴=A2sin[2x+cos[2x+；[=；A2sin[4x+]]=；A2cos4x„A2,Af(2%)=A2.

sin14x+：19

w—Acos4x,所以c错,。对.故选ABD.

2

10.ABD【解析】由题知，p=2,C:丁=4%,A、尸、。三点共线，故可设直线PQ：X=9—LP十,外,

(4J

Q与，为，联立2\49+4=0,A=16/—16>0,解得

14)〔V=4%

2

t>l,yl+y2=4t,y1-y2=4,OP-OQ=^^-+yly,=4+l=5'A正确；

16

Ap.Ae=(Z^L+/±i+i+yi｝；2=6+2r±i>6+l3；i3；2=8)8正确；4=2时，由AP=2AQ,

得X=2%,贝ij%=2血,％=应或％=—20,%=—0,|PQ|=半，故C错；

SPQO=POA—SgoA|=^'|-^|=5个(弘+为)—4%%=-1=40,得/'=±3,

耕―为|=8及,归。|=而工|%-%|=16后,故。正确，故选4BD.

11.AD【解析】由/（2X）=COS24（X）,得/⑴=COS2m,,/「），/正确;

/(x)="2")=h+tan2x)./(2x)，%w二十也左wZ,又1+tan2x®tanx,2tanxf(2x),B错误;

cosx')2

<l,g⑺…

则则

sinx

22

g(/2>、)=4x4-scoisnxf'(?x)

-2

g(x)=1,则/(%)=si、％,令Mx)=x-sinx(x..O),则〃(x)=l-co&x…。恒成立,所以

•2•2

/z（x网0）=0,.”sinx（短0）,.•.史手＜1,即/（力=与詈=1在区间（0,1）内无实根,C错;

XX

6

/(8)=cos24/(4)=cos24-cos22/(2)=cos24-cos22-cos2If(1)=(cos4-cos2-cosl)2<(cos2cosl)2,

令cos21=t，得/⑻</(2f—1)2,令°G)=/(2"l)2,/e[,£|,则

^(r)=(2r-l)2+4r(2r-l)=(2f-l)(6r-l),令0'(f)=0,得/=，或

6

%=不1，<0(71=):1乂47；=2二,，”8)2成立，D正确.故选AD.

216/692727

12.4【解析】由题意可得3=(2,+。)，所以AcB={3,4},共两个元素，所以其子集的个数为2?=4.

13.72【解析】设3(4,%)，由AB〃x轴可得%=他，..XB==土,+g.又因为

IOfi|=C,；./+1+客=°2,又〃2=。2—。2a2c2+/+片卜2—。2)=04,整理可得2/=02C的

离心率e=JR=V2-

14.1【解析】分如下三种情况，①如图1,延长交耳。于点N,过点N作4cl的垂线交AC]于

2一

点S,连接AS,则四边形AAWS为所求截面；②如图2,延长上。交8。］于点M，过点乂作gG的垂

线交8用于点跖，连接AS1，则四边形AMNS为所求截面；③如图3,延长交BB］于点乂，连接AN2,

则三角形

图1图2图3

显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相

/

同，故只需考虑情况①即可.在①中，易知SN//AM,AMLMN,设GN=x源此则

x4+>/2x+-1,易知函数

7

y=x4+^x+』在0,上单调递增，故s,,工+后也+」=也,故截面面积的最大值为

42242

受

~T

15.解：（1）记"该同学进行三次射击恰好有两次射击成功为事件8"，

1111111113

则=———I——X—x——I——X—X—=—.

',2222222228

（2）设事件4,4分别表示第一次射击成功，第二次射击成功，第三次射击成功,

根据题意可知x=0,2,4,6,8.

故p(x=o)=p(A)P(a)P(A)=:；

p(x=2)=p(a)p(a)p(A)+p(A)p(4)p(A)=：；

P(X=4)=P(A)P(4)P(A)+P(A)P(A)P(A,)=：；

P(X=6)=P(4)P(A)^(A)+^(A)^(A)^(A)=^

p(x=8)=p(A)p(4)p(A)=d=1

所以X的分布列为：

X02468

££J_

P

84448

故X的数学期望石(X)=0xg+2x；+4><：+6x；+8><；=4.

16.解：(1)当/?=1时，/(x)=lnx+x2-3x,/(l)=-2,

r(x)」+2x-3,

X

/‘⑴=o，

故曲线y=/（九）在点（1,7（1））处的切线方程为y=-2

(2)/(x)=Z?lnx+x2-(Z?+2)x,其定义域为(0,+动,

2x2-仅+2)%+b

xX

8

A

①当5，,0,即伉,0时，令/'(x)<0,得0<x<l,令/''(x)>。，得x〉l，

故/(%)的单调递减区间为(o,l)，单调递增区间为(1,+。).

AA

②当5〉o,即〃>0时，由/'(x)=o,得石=万,々=1.

b

(i)当0<—<1,即0<Z?v2时，

2

AA

令/''(x)>。，可得0<x<5或x〉l；令/''(x)<0,可得5<%<i,

故/(%)的单调递增区间为„和(1,+8),单调递减区间为C，lj.

(ii)当g=1，即6=2时，/⑺=(2X2)(X—1)=2(1)20

2xx

故/(九)的单调递增区间为(0,+。)，无单调递减区间.

b

(iii)当一〉1,即/?>2时，

2

AA

令/''(x)>。，可得0<%<1或》〉]；令/''(%)<0，可得i<x<5，

故/(%)的单调递增区间为(0,1)和1,+[,单调递减区间为

综上，当伉,0时，/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+")；

当0<Z?<2时，/(%)的单调递增区间为„和(1,+8),单调递减区间为1，1

当b=2时，/(尤)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当6>2时，/(%)的单调递增区间为(0,1)和单调递减区间为[1,^].

17.解：(1)R4_L平面ABCD,

:.PA±AC.

在RtE4c中，A。=/pc?—AT?=2及,

在〈CAB中，AB-+AC2=1+8=9=BC2,

：.CA±AB,

'''S四边形ABC»='AC=2A/2,

9

VP-ABCD=gx4x20=

(2)由(1)知A&AP、AC两两互相垂直.

以A为原点，A3、AP、AC所在直线为x,〉,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(1,0,0),0(0,0,2后),£>(-1,0,20),月(0,4,0),

所以℃=(1,0,0),CP=(0,4,—2后),CB=(1,0,-272).

设m=(%4),“=(无2,%，Z2)分别为平面CDP与平面BCP的法向量,

m-DC=0,玉二0,

则得VL令4=夜，得％=1,所以加=倒,1,、巧)为平面CDP的一个法向量.

m,CP=0,[2%-丹=0,

nCP=0,2y2—V2Z2=

令Z2=A/2,得马=4,%=1,所以〃=(4』,、历)为平面CBP的一个法向

nCB=0,x2-2S12Z2=

量.

设平面。cp与平面5cp夹角为。，则

cose=|cos(«,附|=回以=L3=里平面OCP与平面BCP夹角的余弦值为血.

|m||7z|73x7191919

x-ty+m,

2

18.(1)证明：设/的方程为x="+m,联立＜x2y2消去工，得(3/+4)/+6mty+3m-48=0.

----1-----=1,

11612

-6mt3m2-48

设尸&，x)，Q(%,%)，则%+为

易知A(T,0),4(4,0),所以匕,&•於4K_yi3

x；-16_424,

31

22

%%=%=%3

同理上3,左4=左24,左2A2

1X,+4—4x/—16424.

-“2

10

⑵解：因为匕+%=2(幺+%)，则由(0知，一3一3=|■他+“3)，即'[I=!■(&+%)，

34左24左33、4k2k33

9o

由/与x轴不垂直可得网+&*0,所以&&=一五，即左飞•%4=—五，

V,y,9/、/、

所以1一7=一布，即20yly2+9(^+m-4)((y2+m-4)=0,

%—4%一4NU

整理得(%2+20)%%+%(加一4)(弘+%)+9(一-4>=0,

(9/+20).3；；-：+%(吁司.；+外加_打=0,

整理得—3〃z—4=0，解得加=—1或机=4.

3m-48

因为P、Q在x轴的两侧，所以%%=:+；＜°，解得-4＜相＜4,

又加=—1时，直线/与椭圆C有两个不同的交点，因此加=—1,直线/恒过点。(—1,0).

,6t-45

当z加=-1时，X+%=E，JV2=R'

S-第/加I》-W=[4乂+%)2-4%%=|J[工]14•二=18^P，

_____/vc1844/+572272

设14/+5=2,则由/与x轴不垂直得彳＞石，且3可＞。=3产+4=豆41=1一7，