第01讲 不等式的性质、解集（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第01讲不等式的性质、解集1、理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数并比较大小；2、理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小；3、理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表示不等式的解集。知识点一：不等式的定义（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．知识点二：不等式的基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果，那么如果，那么基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．知识点三：不等式的解集不等式的解集①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。②用数轴表示不等式解集解集x>−4在数轴上表示为解集x≥−4在数轴上表示为解集x<4在数轴上表示为解集x≤在数轴上表示为【题型1：不等式的定义】【典例1】（2022春•惠济区校级期中）下面给出了5个式子中，①﹣2x＜0，②2x+3＞0，③x＝2，④2x+3，⑤b﹣5≤7是不等式的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：①﹣2x＜0，②2x+3＞0，⑤b﹣5≤7都运用不等号表示不相等的关系式，属于不等式．③x＝2是等式，④2x+3是代数式．故选：B．【变式1-1】（2022春•成华区校级期中）以下数学表达式：①4x+3y＞0；②x＝3；③x2+xy+y2；④x≠5．其中不等式有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解答】解：4x+3y＞0和x≠5是不等式，x＝3和x2+xy+y2不是不等式，即不等式有2个，故选：C．【变式1-2】（2022春•惠州期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③．故选：C【典例2】（2022春•昭平县期末）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【答案】D【解答】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，则气温范围是：25≤t≤32，故选：D．【变式2-1】（2022春•雁塔区校级期中）今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20【答案】D【解答】解：若4月1日高新区最高气温是20℃，最低气温8℃，则4月1日高新区的气温t（℃）的变化范围是8≤t≤20．故选：D．【变式2-2】（2022春•仓山区校级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：类型深度冷链冻链冷藏链温度（t℃）t≤﹣70﹣70＜t≤﹣202≤t≤8常见疫苗埃博拉疫苗水痘、带状疱疹疫苗流感疫苗我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（）A．深度冷链 B．冻链 C．冷藏链 D．普通运输【答案】C【解答】解：根据表中t的取值范围可得，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于冷藏链运输．故选：C．【题型2：不等式的性质】【典例3】（2023春•薛城区月考）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．m2a＞m2b【答案】D【解答】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；C、∵a＜b，∴2a＜2b，∴2a+1＜2b+1；故C成立，不符合题意；D、∵a＜b，m2≥0，∴m2a≤m2b，故D不成立，符合题意；故选：D．【变式3-1】（2023春•普宁市月考）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1【答案】B【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，故A不符合题意；∵a＞b，∴，故B符合题意；当c＝0时，ac2＝bc2，故C不符合题意；∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a﹣1＞2b﹣1，故D不符合题意，故选：B．【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）若x＞y，则下列式子中，不正确的是（）A．﹣3x＞﹣3y B．x+3＞y+3 C．x﹣3＞y﹣3 D．3x＞3y【答案】A【解答】解：∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，故选项A不正确；∵x＞y，∴x+3＞y+3，故选项B正确；∵x＞y，∴x﹣3＞y﹣3，故选项C正确；∵x＞y，∴3x＞3y，故选项D正确；故选：A．【变式3-3】（2022秋•市中区校级期末）若m＞n，则下列各式中错误的是（）A．m+3＞n+3 B．﹣6m＞﹣6n C．5m＞5n D．【答案】B【解答】解：A．不等式m＞n的两边都加上3，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意；B．不等式m＞的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，原变形错误，故本选项符合题意；C．不等式m＞n的两边都乘5，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意；D．不等式m＞n的两边都除以2，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．故选：B．【典例4】（2023春•谯城区校级月考）如果a﹣b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a+b＜0 B．a+1＞b+1 C．a＜b D．﹣a＞﹣b【答案】B【解答】解：∵a﹣b＞0，∴a＞b，A、∵a﹣b＞0，∴不能判断a+b＜0，故A不符合题意；B、∵a﹣b＞0，∴a＞b，∴a+1＞b+1，故B符合题意；C、∵a﹣b＞0，∴a＞b，故C不符合题意；D、∵a﹣b＞0，∴a＞b，∴﹣a＜﹣b，故D不符合题意．故选：B．【变式4-1】（2023•东胜区模拟）若不等式﹣2x＜1，两边同时除以﹣2，结果正确的是（）A． B． C．x＞﹣2 D．x＜2【答案】A【解答】解：若不等式﹣2x＜1，两边同时除以﹣2，结果正确的是x．故选：A．【变式4-2】（2023春•秦皇岛月考）如果x﹣1＜y﹣1，那么下列不等式不正确的是（）A．﹣2x＜﹣2y B． C．2﹣x＞2﹣y D．x+1＜y+2【答案】A【解答】解：A、∵x﹣1＜y﹣1，∴x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故A符合题意；B、∵x﹣1＜y﹣1，∴x＜y，∴，故B不符合题意；C、∵x﹣1＜y﹣1，∴x＜y，∴﹣x＞﹣y，∴2﹣x＞2﹣y，故C不符合题意；D、∵x﹣1＜y﹣1，∴x＜y，∴x+1＜y+1，∴x+1＜y+2，故D不符合题意；故选：A【题型3：不等式的解集】【典例5】（2022秋•云阳县期末）不等式x＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：不等式x＞3的解集在数轴上表示为，故选：B．【变式5-1】（2022秋•零陵区期末）不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：不等式x＞4的解集在数轴上表示，故选：D．【变式5-2】（2022秋•长兴县期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1【答案】A【解答】解：由题意，得：x＜1，故选：A．【变式5-3】（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：将不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示如下：故选：D．【典例6】（2022春•汝南县期末）不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：不等式组的解集在数轴上可以表示为：故选：D．【变式6-1】（2022春•灵台县期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：解不等式组，得﹣1＜x≤1，在数轴上表示为：故选：C．【变式6-2】（2022春•安次区校级期末）如图，数轴上表示的解集为（）A．x＞﹣3 B．x≤2 C．﹣3＜x≤2 D．﹣3≤x＜2【答案】C【解答】解：由数轴得：，∴﹣3＜x≤2．故选：C．【典例7】（2023•佛山模拟）下列数是不等式5x﹣3＜6的一个解的是（）A． B．2 C． D．3【答案】A【解答】解：5x﹣3＜6，5x＜9，x＜，∵，∴是不等式5x﹣3＜6的一个解，故选：A．【变式7-1】（2022秋•娄星区期末）下列不等式的解集中，不包括﹣3的是（）A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣4 D．x＞﹣4【答案】C【解答】解：根据题意，不包括﹣3即﹣3不在解集内，只有C选项，x≤﹣3，不包括﹣3．故选：C．【变式7-2】（2022春•大田县期中）若x＝3.5是某不等式的解，则该不等式可以是（）A．x＞5 B．x＞4 C．x＜4 D．x＜3【答案】C【解答】解：∵3.5＜4，∴x＝3.5满足不等式x＜4，故选：C．【变式7-3】（2022春•大田县期中）若x＝3.5是某不等式的解，则该不等式可以是（）A．x＞5 B．x＞4 C．x＜4 D．x＜3【答案】C【解答】解：∵3.5＜4，∴x＝3.5满足不等式x＜4，故选：C．1．（2023•沈阳）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：不等式x≥1的解集在数轴上表示为：故选：B．2．（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0【答案】D【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．3．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：所以不等式组的解集为﹣1＜x＜2，在数轴上表示为：，故选：C．4．（2022•六盘水）如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是（）A．6.5m B．6m C．5.5m D．4.5m【答案】D【解答】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过5m，故选：D．5．（2022•十堰）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为0≤x＜1．【答案】0≤x＜1．【解答】解：该不等式组的解集为：0≤x＜1．故答案为：0≤x＜1．1．（2023春•石狮市校级期中）下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解答】解：①3＞0，属于不等式；②4x+5＞0，属于不等式；③x＜3，属于不等式；④x2+x属于代数式，不合题意；⑤x＝﹣4属于方程，不合题意；⑥x+2＞x+1，属于不等式．故选：B．2．（2023•盐田区二模）不等式组的解集如图所示，则该解集表示为（）A．﹣1＜x≤2 B．﹣1＜x＜2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x≤2【答案】A【解答】解：由数轴上表示的不等式的解集，得﹣1＜x≤2，故选：A．3．（2023春•西乡塘区期末）不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵x≥1，∴1处是实心原点，且折线向右．故选：D．4．（2023春•达川区校级期末）已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜；则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜2 D．a＞2【答案】D【解答】解：∵关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜，∴2﹣a＜0，解得：a＞2．故选：D．5．（2023•清远一模）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80【答案】B【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．故选：B．6．（2023•吉林二模）不等式2x+1＜3的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：2x+1＜3，解得x＜1，在数轴上表示为：故选：D．7．（2023春•新都区期末）如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的整数解有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【解答】解：由题意得：不等式的解集为：﹣2＜x≤4，∴该不等式的整数解为﹣1，0，1，2，3，4，∴该解集中所含的整数解有6个，故选：C．8．（2023春•福清市期末）数轴上表示不等式的