《9.2 用样本估计总体》复习教案与课后作业

《9.2用样本估计总体》复习教案9.2.1总体取值规律的估计【基础知识拓展】1．频率分布直方图能够直观、形象地反映样本的分布规律，可以大致估计出总体的分布，但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．在频率分布直方图中，由于长方形的面积S＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各个小长方形的面积表示相应各组的频率，这样频率分布直方图就以面积的形式反映了数据在各个小组的频率的大小，各个小长方形的面积总和等于1.2．一般地，样本量越大，这种估计就越精确．总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；(2)“图”(频率分布直方图)．提醒：直方图的纵轴(小长方形的高)一般是频率除以组距的商，横轴一般是数据的大小，小长方形的面积表示频率．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)频率分布直方图的纵轴表示频率．()(2)数据落在各小组内的频率用eq\f(各小组频数,样本量)来表示．()(3)频率分布直方图把样本数据落在各小组的比例大小直观化，更有利于我们从整体上把握数据分布的特点．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：组号12345678频数1013x141513129则第3组的频率为()A．0.03 B．0.07C．0.14 D．0.21(2)一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频率和频数分别为0.125和40，则n的值为()A．640 B．320C．240 D．160(3)一个容量为20的样本，分组后，组距与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则样本在[10,50)上的频率为()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,10)(4)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的底部周长小于100cm.答案(1)C(2)B(3)D(4)24【核心素养形成】题型一频率分布直方图的画法例1从某校高一年级1002名新生中随机抽取一个容量为100的身高样本，数据如下(单位：cm)，试作出该样本的频率分布表和频率分布直方图．168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174171165179163172180174168164174171165179163169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166[解](1)在全部数据中找出最大值180，最小值151，计算极差＝180－151＝29.(2)取组距为3，则组数为eq\f(29,3)≈10.(3)从第一组[150.5,153.5)开始，统计出各组的频数，再计算各组的频率，并将结果填入下表：频率分布直方图如图．【解题技巧】绘制频率分布直方图的注意事项(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．【跟踪训练】美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65，52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51，54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.(1)将数据分为7组，列出频率分布表，并画出相应的频率分布直方图；(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．解(1)以4为组距，列频率分布表如下：分组频数频率[42,46)20.0444[46,50)70.1555[50,54)80.1778[54,58)160.3556[58,62)50.1111[62,66)40.0889[66,70]30.0667合计451.0000画出相应的频率分布直方图，如图所示．(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小.题型二频率分布直方图的应用例2为了迎接某市作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查项目是自己对该市各方面卫生情况的满意度(假设被问卷的路人回答是客观的)，以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于50分的分成五段：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：(1)求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；(2)估计全市市民满意度在60分及以上的百分比．[解](1)因为各组的频率之和等于1，故低于50分的频率为f＝1－(0.015×2＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.1，故低于50分的人数为60×0.1＝6.(2)依题意，60分及以上的频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽样满意度在60分及以上的百分比为75%.于是，可以估计全市市民满意度在60分及以上的百分比为75%.【解题技巧】频率分布直方图的应用频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，其中：(1)频率分布直方图中纵轴表示eq\f(频率,组距)；(2)频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于频率，各个小长方形的面积之和为1；(3)长方形的高的比也就是频率之比．【跟踪训练】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．答案0.0303解析因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为eq\f(18,60)×10＝3.题型三统计图表的应用例3某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？[解](1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的eq\f(18,50)×100%＝36%.(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1000(人)，eq\f(8,50)×100%×1000＝160(人)，所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.【解题技巧】(1)柱形图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成高度不同的小矩形，然后把这些小矩形按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即柱形图能清楚地表示出每个项目的具体数目．(2)扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数．总之，用图表来表示数量关系更生动形象、具体，使人一目了然．【跟踪训练】下表给出了2018年A，B两地的降水量(单位：mm)：(1)根据统计表绘制折线图；(2)根据折线图比较A，B两地的降水量，分析哪个地方的降水量较大？解(1)建立直角坐标系，用横坐标上的点表示月份，用纵坐标上的点表示降水量，描出每个月份对应的点，然后用直线段顺次连接相邻的点，得到折线统计图如图表示．(2)观察折线图，从整体上看，B地降水量较大．【课堂达标训练】1．反映某种股票的涨跌情况，应选择()A．条形图 B．折线图C．扇形图 D．三种图均可答案B解析条形图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数，折线图主要用于描述数据随时间变化的趋势，扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例．故选B.2．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18答案C解析志愿者的总人数为eq\f(20,0.24＋0.16×1)＝50，所以第三组的人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12.3．一个频率分布表(样本量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为()A．14 B．15C．16 D．17答案B解析∵样本中数据在[20,60)内的频率为0.8，∴样本数据在[20,60)内的频数为30×0.8＝24，∴样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为24－4－5＝15.4．某电子商务公司对10000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．答案(1)3.0(2)6000解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2.0×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.0，消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2.0×0.1＋3.0×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000.5．从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；(4)估计成绩在80分以下的学生比例．解(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合计501(2)频率分布直方图如图所示．(3)样本中成绩在[60,90)分的学生比例为0.20＋0.30＋0.24＝0.74＝74%.由样本估计总体，成绩在[60,90)分的学生约占74%.(4)样本中成绩在80分以下学生比例为1－(0.24＋0.16)＝1－0.4＝0.6＝60%.由样本估计总体，成绩在80分以下的学生约占60%.《9.2.1总体取值规律的估计》课后作业基础巩固训练一、选择题1．空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A．条形统计图 B．折线统计图C．扇形统计图 D．频率分布直方图答案C解析根据题意，要直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选C.2．某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球等4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是()A．0.3 B．0.4C．0.2 D．0.1答案D解析参加羽毛球活动的人数是4，则频率是eq\f(4,40)＝0.1.故选D.3．为了解某地区高一学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高一男生体重(kg)，得到频率分布直方图(如图所示)．可得这100名高一男生中体重在[56.5,64.5)的人数是()A．20 B．30C．40 D．50答案C解析由频率分布直方图易得到体重在[56.5,64.5)的高一男生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，那么高一男生的人数为100×0.4＝40.故选C.4．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组中的频率为m，在频率分布直方图中，该组对应的小长方形的高是h，则|a－b|等于()A．hm B.eq\f(m,h)C.eq\f(h,m) D．与m，h无关答案B解析因为对应的小长方形的高h＝eq\f(频率m,组距|a－b|)，所以|a－b|＝eq\f(m,h)，故选B.5．一个样本量为100的样本的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a，样本数据落在[2,10)内频率为b，则a，b分别为()A．32,0.4 B．8,0.1C．32,0.1 D．8,0.4答案A解析由样本的频率分布直方图知：数据落在[6,10)内的频率是4×0.08＝0.32，又样本量n＝100.所以数据落在[6,10)内的频数为a＝100×0.32＝32，样本数据落在[2,10)内的频率为b＝4×(0.02＋0.08)＝0.4.故选A.二、填空题6．甲、乙两个城市2019年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是________．答案甲解析从折线图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市的气温相对来说较稳定，变化基本不大．7．某地为了了解该地区10000户家庭的用电情况，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有________户．答案1200解析根据频率分布直方图得该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有10000×0.012×10＝1200(户)．8．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为18，则n的值是________．答案48解析根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为1－(0.0375＋0.0125)×5＝0.75.又前3个小组的频率之比为1∶2∶3，∴第3小组的频率为eq\f(3,1＋2＋3)×0.75＝0.375.又第3小组对应的频数为18，∴样本量n＝eq\f(18,0.375)＝48.三、解答题9．某部门计划对某路段进行限速，为了调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)这300辆车中车速低于限速的汽车有多少辆？(2)求这300辆车中车速在[50,70)的汽车占总数的比例．解(1)这300辆车中车速低于限速的有两类[40,50)，[50,60)，其频率为(0.025＋0.035)×10＝0.6，∴车速低于限速的车辆为300×0.6＝180(辆)．(2)由频率分布直方图可知，车速分布在[60,70)的频率为1－(0.035＋0.025＋0.010)×10＝0.3，∴车速在[50,70)的频率为0.3＋0.035×10＝0.65，即车速在[50,70)的汽车占总数的65%.能力提升训练为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？解(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数,样本量)，所以样本量＝eq\f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.《9.2.2总体百分位数的估计9.2.3总体集中趋势的估计》复习教案【基础知识拓展】众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量．其中平均数与每一个样本数据有关，对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平；众数反映各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，它是样本数据的最大集中点；中位数仅与数据的排列位置有关．某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给的数据中(当数据的个数为奇数时，中间的那个数为中位数)，也可能不在所给数据中(当数据的个数为偶数时，中间两个数据的平均数为中位数)．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数值．()(2)中位数一定是样本数据中的某个数．()(3)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a(2)奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A．减少计算量 B．避免故障C．剔除异常值 D．活跃赛场气氛(3)某次数学测验中，五位同学的分数分别是89,91,105,105,110.这组数据的中位数是________，众数是________，第60百分位数是________．(4)10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，这一天10名工人生产的零件的中位数是________，第25百分位数是________．(5)一组数据按从小到大顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中中位数是22，则第75百分位数是________．(6)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中中位数为16，则x＝________.答案(1)D(2)C(3)105105105(4)1514(5)27.5(6)15【核心素养形成】题型一百分位数的计算例1某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m1，第60百分位数为m2，众数为m3，则()A．m1<m3<m2 B．m3<m1<m2C．m3<m2<m1 D．m2<m3<m1[解析]由图知m3＝5.由中位数的定义，知第15个数与第16个数的平均数为m1＝eq\f(5＋6,2)＝5.5；由百分位数的定义，且30×60%＝18，则第18个数与第19个数的平均数为m2＝eq\f(6＋6,2)＝6.故m3<m1<m2，选B.[答案]B【解题技巧】计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．【跟踪训练】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了100位顾客的相关数据：已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.请确定x，y的值，并估计顾客一次购物的第80百分位数．解由已知，得25＋y＋10＝55，x＋y＝35，所以x＝15，y＝20.因为第80个数据和第81个数据都是2.5，所以顾客一次购物的结算时间的第80百分位数为2.5.题型二百分位数与频率分布直方图例2某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：高一参赛学生成绩的第60百分位数．[解]由图可知，第1个小矩形的面积为0.3，第2个小矩形的面积为0.4，则第60百分位数一定位于[60,70)内，由60＋10×eq\f(0.6－0.3,0.7－0.3)＝67.5，可以估计高一参赛学生成绩的第60百分位数约为67.5.【解题技巧】利用频率分布直方图求百分位数百分位数表示左侧小矩形的面积之和．首先确定在哪个区间，然后从左到右所有小矩形计算面积和，百分位数所在区间需按照对应边比例计算面积．【跟踪训练】从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求这50名学生成绩的75%分位数．解由题意可知，前四个小矩形的面积之和为0.6，前五个小矩形的面积之和为0.84>0.75，∴第75百分位数位于第五个小矩形内．由80＋eq\f(0.75－0.6,0.84－0.6)×10＝86.25，故75%分位数约为86.25.题型三众数、中位数、平均数的计算例3某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解](1)平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,33)×(5500×1＋5000×1＋3500×2＋3000×1＋2500×5＋2000×3＋1500×20)≈2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)新的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,33)×(30000×1＋20000×1＋3500×2＋3000×1＋2500×5＋2000×3＋1500×20)≈3288(元)，新的中位数是1500元，新的众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资与大多数人的工资差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．【解题技巧】众数、中位数、平均数的特点(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(3)众数考查各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数描述这组数据的集中趋势．【跟踪训练】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m)．答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m，1.69m.题型四众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系例4某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求这次测试数学成绩的平均数．[解](1)由图知众数为eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(3)由图知这次数学成绩的平均数为：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.【解题技巧】用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．【跟踪训练】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．解(1)由题图可知参赛学生成绩的众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4,0.3＋0.4>0.5，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴参赛学生成绩的中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴参赛学生的平均成绩约为67分.题型五众数、中位数、平均数的实际应用例5个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：李某大厨二厨采购员杂工服务生会计30000元4500元3500元4000元3200元3200元4100元(1)计算所有员工8月份的平均工资；(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？[解](1)所有员工8月份的平均工资是eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,7)×(30000＋4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝7500(元)．(2)计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．(3)去掉李某工资后的平均工资eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,6)×(4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝3750(元)，该平均工资能代表打工人员当月收入的一般水平．(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．【解题技巧】众数、中位数、平均数的优缺点众数、中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，而平均数与每一个样本数据都有关系，可反映出更多的关于样本数据的全体信息，但受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对总体估计的可靠性，因此用平均数估计总体有时不可靠．【跟踪训练】(1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A．平均数 B．极差C．中位数 D．众数(2)某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：码号3435363738394041数量/双259169532如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么下列统计量中对你来说最重要的是()A．平均数 B．众数C．中位数 D．极差答案(1)C(2)B解析(1)判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．(2)鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大，由表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数．故选B.【课堂达标训练】1．北京市2019年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25,28,30,29,31,32,28，则这周的日最高气温的第75百分位数为()A．28℃ B．29℃C．31℃ D．32℃答案C解析将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的第75百分位数为31℃.故选C.2．已知一组数据按从小到大的顺序排列为14,19，x,23,27，其中位数是22，则x的值为()A．24 B．23C．22 D．21答案C解析一组数据按从小到大的顺序排列为14,19，x,23,27，则中位数是x.因为中位数是22，所以x＝22.故选C.3．下列说法中，不正确的是()A．数据2,4,6,8的中位数是4,6B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是eq\f(8×5＋7×3,11)答案A解析数据2,4,6,8的中位数为eq\f(4＋6,2)＝5，显然A错误，B，C，D都正确．故选A.4．如图是一次考试结果的统计图，根据该统计图可估计，这次考试的平均分数约为()A．46 B．36C．56 D．60答案A解析根据题中统计图，可知有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和约为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和约为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和约为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和约为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和约为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩约为40＋240＋500＋420＋180＝1380，平均分数约为eq\f(1380,30)＝46.5．已知7,4,3和m这四个数的平均数是5；18,9,7，m，n这五个数的平均数为10，求m，n的值．解由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7＋4＋3＋m,4)＝5，,\f(18＋9＋7＋m＋n,5)＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝10.))∴m的值为6，n的值为10《9.2.2总体百分位数的估计9.2.3总体集中趋势的估计》课后作业基础巩固训练一、选择题1．某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表：则该公园“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和第25百分位数分别是()A．2万、1.5万 B．2万、2.2万C．2.2万、2.2万 D．2万、1.85万答案A解析游客人数的平均数＝eq\f(1,7)×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(万)．将数据由小到大排列，因为7×25%＝1.75，所以这组数据的第25百分位数为1.5万．故选A.2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和得75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90答案C解析该小组成绩的平均数为eq\f(1,10)×(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87，其中85分出现的最多，有4个，故众数为85，把该小组的学习成绩按由低到高排列，其中第五个数，第六个数都是85，∴中位数为eq\f(85＋85,2)＝85.故选C.3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图．估计这批新产品长度的中位数约为()A．20 B．25C．22.5 D．22.75答案C解析∵0.02×5＋0.04×5＝0.3＜0.5,0.3＋0.08×5＝0.7＞0.5，∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3＋(x－20)×0.08＝0.5，解得x＝22.5.∴这批新产品长度的中位数约为22.5.故选C.4．如下表是某公司员工月收入的资料．月收入/元45000180001000080007000500034002000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是()A．平均数和众数 B．平均数和中位数C．中位数和众数 D．平均数答案C解析平均数会受(极大或极小)极端值影响，不能准确反应员工的工资水平，众数和中位数可以很好地反映数据的集中趋势．5．已知数据x1，x2，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是()A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变C．年收入平均数大大增大，中位数一定不变D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大答案B解析极端值对平均数有很大影响，对中位数影响不大，选B.二、填空题6．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间(分)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq\o(x,\s\up6(－))＝________.答案9.5解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.7．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数，众数，中位数中的哪一种集中趋势的特征数．甲：__________，乙：__________，丙：__________.答案众数平均数中位数解析对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求平均数可得，平均数＝(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)÷8＝8，故运用了平均数；对丙分析：共8个数据，最中间的是7和9，故其中位数是8，即运用了中位数．8．某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的期末数学测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．据此统计，期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为________．答案74解析因为(0.005＋0.015＋0.03)×10＝0.5，0．5＋0.025×10＝0.75>0.6，故60%分位数应位于第四小组内．由70＋10×eq\f(0.6－0.5,0.75－0.5)＝74，得期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为74分．三、解答题9．根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2019年对该市进行为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．(1)求a的值；(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的第80百分位数．解(1)由题意，得10×(0.032＋0.03＋a＋0.01＋0.008)＝1.解得a＝0.02.(2)因为(0.01＋0.02＋0.032)×10＝0.62<0.8，0．62＋0.03×10＝0.92>0.8，所以第80百分位数应位于[30,40)内．由30＋10×eq\f(0.8－0.62,0.92－0.62)＝36，可以估计这一年度的空气质量指数的第80百分位数约为36.能力提升训练统计局就某地居民的月收入(元)情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(下图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2500,3000)内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用比例分配的分层随机抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4000,4500)内的应抽取多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．解(1)因为(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以500a＋500a＝0.5，即a＝eq\f(0.5,1000)＝0.0005，月收入在[4000,4500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[4000,4500)内的应抽取的人数为0.25×100＝25.(2)因为0.0002×500＝0.1,0.0004×500＝0.2,0.0005×500＝0.25,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.所以样本数据的中位数是3500＋eq\f(0.5－0.1＋0.2,0.0005)＝3900(元)．(3)样本数据的平均数为(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900(元).《9.2.4总体离散程度的估计》复习教案【基础知识拓展】1．方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．2．平均数、方差公式的推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也是s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方差越大，数据的稳定性越强．()(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．()(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[eq\o(x,\s\up6(－))－2s，eq\o(x,\s\up6(－))＋2s]内．()(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)下列说法不正确的是()A．方差是标准差的平方B．标准差的大小不会超过极差C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：①平均命中环数为________；②命中环数的标准差为________．(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．答案(1)D(2)①7②2(3)2【核心素养形成】题型一样本的标准差与方差的求法例1从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．[解]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝eq\r(104.2)≈10.208.eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，同理seq\o\al(2,乙)＝128.8，s乙＝eq\r(128.8)≈11.349.【解题技巧】对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．【跟踪训练】某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求这次考试成绩的平均数和标准差．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：标准差s＝\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]),＝\r(\f(1,n)[x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\o(x,\s\up6(－))2])))解设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－)).根据题意，有eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90×20＋80×20,40)＝85，42＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,20)－20×902)，62＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,21)＋xeq\o\al(2,22)＋…＋xeq\o\al(2,40)－20×802)，∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由变形公式，得s2＝eq\f(1,40)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)－40eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,40)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)－40×852)＝eq\f(1,40)×(291040－289000)＝51，∴s＝eq\r(51).题型二样本标准差、方差的实际应用例2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：9582888193798478乙：8392809590808575(1)试比较哪个工人的成绩较好；(2)甲、乙成绩位于eq\o(x,\s\up6(－))－s与eq\o(x,\s\up6(－))＋s之间有多少？[解](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成绩较稳定．综上可知，甲的成绩较好．(2)∵s甲＝eq\r(s\o\al(2,甲))＝eq\r(35.5)≈5.96，eq\o(x,\s\up6(－))甲－s甲＝79.04，eq\o(x,\s\up6(－))甲＋s甲＝90.96，∴甲位于[eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s]之间的数据有4个．又s乙＝eq\r(s\o\al(2,乙))＝eq\r(41)≈6.4，eq\o(x,\s\up6(－))乙－s乙＝78.6，eq\o(x,\s\up6(－))乙＋s乙＝91.4，∴乙的成绩位于[eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s]之间的有5个．【解题技巧】比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．【跟踪训练】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲897976101086乙10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．解(1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，乙的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8，甲的标准差为s甲＝eq\r(\f(1,10)×[8－82＋9－82＋…＋6－82])＝eq\r(2)，乙的标准差为s乙＝eq\r(\f(1,10)×[10－82＋9－82＋…＋8－82])＝eq\f(\r(30),5)，故甲的平均数为8，标准差为eq\r(2)，乙的平均数为8，标准差为eq\f(\r(30),5).(2)∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，且s甲>s乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.题型三标准差、方差的图形分析例3样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是()A．第一组 B．第二组C．第三组 D．第四组[解析]第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为eq\f(\r(6),3)；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为eq\f(2\r(5),3)；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2eq\r(2)，故标准差最大的一组是第四组．[答案]D【解题技巧】由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案．【跟踪训练】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案C解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为eq\f(1,5)×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为eq\f(1,5)×(12×3＋32)＝2.4.故C正确．【课堂达标训练】1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A．平均数 B．中位数C．方差 D．众数答案C解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为()A．40 B．8C．2eq\r(10) D．2eq\r(2)答案D解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为eq\r(\f(1,5)×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62])＝2eq\r(2).3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)答案丙解析分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．答案0.1解析这组数据的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，则方差s2＝eq\f(4.7－5.12＋4.8－5.12＋5.1－5.12＋5.4－5.12＋5.5－5.12,5)＝eq\f(0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.16,5)＝0.1.5．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定.《9.2.4总体离散程度的估计》课后作业基础巩固训练一、选择题1．与原数据单位不一样的是()A．众数 B．平均数C．标准差 D．方差答案D解析由方差的意义可知，方差与原数据单位不一样．2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数答案B解析平均数和中位数反映一组数据的集中趋势，标准差和方差反映一组数据的稳定程度．故选B.3．某公司10位员工的月工资(单位：元)分别为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为()A.eq\o(x,\s\up6(－))，s2＋1002 B.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2＋1002C.eq\o(x,\s\up6(－))，s2 D.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2答案D解析解法一：因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度保持不变，即方差不变．解法二：由题意，知x1＋x2＋…＋x10＝10eq\o(x,\s\up6(－))，s2＝eq\f(1,10)×[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x10－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，则所求平均数eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝eq\f(1,10)×(10eq\o(x,\s\up6(－))＋10×100)＝eq\o(x,\s\up6(－))＋100，所求方差为eq\f(1,10)×[(x1＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋(x2＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋…＋(x10＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,10)×[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x10－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝s2.4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB答案B解析由题图，知A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝eq\f(25,4)，eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)＝eq\f(35,3).显然eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B.又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.5．若某同学连续三次考试的名次(第一名为1