高中数学暑假初高衔接讲义15+基本不等式

遍历山河，人间值得。第第页练习主题基本不等式知识点一：基本不等式如果a、b是正数，那么≤（当且仅当a=b时，等号成立），我们把不等式≤（a、b≥0）称为基本不等式.证法一：对于正数a、b有-=（a+b-）=[（）2+（）2-2]=（-）2因为（-）2≥0，所以-≥0，即≤，当且仅当=，即a=b时，等号成立.当a、b∈R时，由（a-b）2≥0可得：a2+b2≥2ab，a2+b2+2ab≥4ab，即≥ab，（）2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立.从而得到：当a、b∈R时，ab≤（当且仅当a=b时，等号成立）ab≤（）2（当且仅当a=b时，等号成立）这两个不等式通常可以直接使用.例1、设a、b为正数，证明下列不等式成立.（1）+≥2；（2）a+b++≥4；对应练习：1、下列不等式中正确的是（）A.a+≥4B.x2+≥C.≥D.a2+b2≥4ab2、不等式a+1≥（a＞0）中等号成立的条件是（）A.a=0B.a=C.a=1D.a=23、证明：（1）a+≥3（a＞1）；（2）x+≤-2（x＜0）知识点二：基本不等式与最大（小）值1、和积（最值）定理（1）已知a＞0，b＞0，则如果a+b=m（和为定值），那么当a=b时，ab有最大值：；（2）已知a＞0，b＞0，则如果a·b=m（积为定值），那么当a=b时，a+b有最小值：；证明：因为a、b都是正数，所以≥，当且仅当a=b时，等号成立.（1）当a+b为定值m时，有≤，所以xy≤，当且仅当a=b时，等号成立。因此当a=b时，ab有最大值：；（2）当ab为定值m时，有≥，所以a+b≥，当且仅当a=b时，等号成立。因此当a=b时，a+b有最小值：；上述结论可快速求解两正数所对应的两类最值问题：（1）和为定值，积有最大值；（2）积为定值，和有最小值.因此，上述结论也称为最值定理.可以简单的记为“和定积最大，积定和最小”基础练习：1、已知x＞0，若x+的值最小，则x为（）A．81B．9C．3D．162、若实数a，b，满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18B．6C．2D．33、若a＞0，b＞0，且a+2b-2=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2 D．4利用基本不等式求最值方法1：凑项例1、已知函数y=x+，x∈（-2，+∞），求此函数的最小值.对应练习：1、函数y=x+（x＞2）的最小值为.2、函数y=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=.3、已知x＜，则函数y=4x-2+的最大值是.方法2：凑系数例2、已知0＜x＜，求函数y=2x-5x2的最大值．对应练习：1、已知0＜x＜4，则y=x（8-2x）的最大值为．2、设0＜x＜，则函数y=4x（3-2x）的最大值为．方法3：分离法例3、设x＞0，则的最小值为．对应练习：1、求当x＞0时，y=的最小值.2、求当x＞0时，y=的最小值.3、函数y=（x＞-1）的最小值为．方法4：换元法例4、函数y=的最大值为．对应练习：1、函数y=的最小值为．方法5：巧用“1”代换的最值问题例4、已知正数a、b满足a+2b=1，求+的最小值.对应练习：1、已知x＞0，y＞0，+=1，求x+y的最小值.2、已知x＞0，y＞0，且x+y=2，求的最小值为．3、已知x＞0，y＞0，x+2y=3，求的最小值为．基本不等式的综合应用求参数值或取值范围例1、已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为.对应练习：1、若不等式x2-ax+1≥0对一切x∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是________．2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（）A．9B．12C．18D．243、已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．4、已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，若+＞2m恒成立，求实数m的取值范围．知识点二：基本不等式的应用例1、某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元?例2、如图所示，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.则广告牌的高与宽分别设计为多少（单位：cm）时，能使矩形广告牌的面积最小.对应练习：1、某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．2、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=.（1）如果不限定车型，L=6.05,则最大车流量为辆/时；（2）如果限定车型，L=5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时.巩固练习：1、已知两个正数m，n，满足mn=3，则m+3n的最小值为（）A．3B．6C．D．2、已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值是（）A.B．4C.D．53、已知x≥0，则y=的最小值是（）A．-2B．C．3D．24、若a，b都是正数，则（1+）（1+）的最小值为（）A．7B．8C．9D．105、若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为（）A．1B．2C．3D．46、若-1＜x＜1，则y=的最大值为.7、已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是________．8、已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20.则+的最小值为________．9、设m，n为正数，且m+n=2，则则的最小值为________．10、当x＜时，求函数y=x+的最大值；11、设0＜x＜2，求函数y=的最大值．12、已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．13、某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为200平方米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁（与矩形的一边所在直线平行）建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚