高中数学必修二《第十章 概率》同步练习

高中数学必修二《第十章概率》同步练习《10.1.1有限样本空间与随机事件》同步练习[合格基础练]一、选择题1．下列现象中，不可能事件是()A．三角形的内角和为180°B．a⊥α，b⊥α，a∥bC．锐角三角形中两内角和小于90°D．三角形中任意两边之和大于第三边C[锐角三角形中两内角和大于90°.]2．下列事件中的随机事件为()A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)cB．没有水和空气，人也可以生存下去C．抛掷一枚硬币，反面向上D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾C[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]3．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个C[该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以试验的样本点共有3个．]4．下列事件中，随机事件的个数为()①三角形内角和为180°；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边A．1个B．2个C．3个 D．4个A[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴③是随机事件，而①②④均为必然事件．]5．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为()A．2个B．3个C．4个 D．5个C[从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．]二、填空题6．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有个．5[样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．]7．下列试验中是随机事件的有．①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等；③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽．①③④[①③④都是随机事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]8．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为，满足“它是偶数”样本点的个数为．Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2,4,6,8,10，共有5个．]三、解答题9．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．[解](1)Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}．(2)试验样本点的总数是12.(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3)．10．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．(1)写出该试验的样本空间；(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？[解]以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．(2)“三人出拳相同”包含的样本点有：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．[等级过关练]1．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有()A．6种 B．12种C．24种 D．36种D[试验的全部样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种．]2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品C[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件．]3．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为．16[至少需摸完黑球和白球共15个．]4．下列试验中，随机事件有，必然事件有．①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天．②④①[①是必然事件，③是不可能事件，②④是随机事件．]5．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)写出A，B包含的样本点；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？[解](1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．《10.1.2事件的关系和运算》同步练习[合格基础练]一、选择题1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为()A．“都是红球”与“至少1个红球”B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”C．“至少1个白球”与“至多1个红球”D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”D[A，B，C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．]3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B[(1)还有可能出现一次出现正面，一次出现反面这种情况，所以事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，所以(1)错误；(2)正确；(3)中可能出现2件次品，1件正品的情况，所以事件A与事件B不是互斥事件．故选B.]4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪DD[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪C≠B∪D.]5．如果事件A，B互斥，那么()A．A∪B是必然事件B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)一定互斥D.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)一定不互斥B[用集合的表示法中的“Venn图”解决比较直观，如图所示，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)＝I是必然事件，故选B.]二、填空题6．事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是．某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球[事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”．]7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为．①一个是5点，另一个是6点；②一个是5点，另一个是4点；③至少有一个是5点或6点；④至多有一个是5点或6点．③[同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．]8．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是．C＝A∪B[由题意可知C＝A∪B.]三、解答题9．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[解](1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解]设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为A∩B＝∅，所以事件A与事件B互斥且不对立．(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为C∩D＝D，所以D⊆C.即事件C与事件D不互斥(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F＝{(4,5)}，因为E∪F＝Ω，E∩F＝∅，所以E和F互为对立事件．(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，则G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，由于G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．[等级过关练]1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件 B．互斥但不对立事件C．不可能事件 D．以上说法都不对B[因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]2．下列各组事件中，不是互斥事件的是()A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%B[对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．]3．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列不成立的是()A．A⊆C B．A∩B＝∅C．A∪B＝C D．B∩C＝∅D[易知A∪B＝C，B∩C＝B，所以选项D不正确．]4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件“取出的是理科书”可记为．B∪D∪E[由题意可知事件“取出的是理科书”可记为B∪D∪E.]5．从学号为1,2,3,4,5,6的6名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？(3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？(4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？(5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？[解](1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，G，H；不可能事件有：F.(2)如果事件C1发生，则事件H一定发生．(3)可能是C1，C3，C5发生，H＝C1∪C3∪C5.(4)D2和D3同时发生时，即为C5发生了．D2∩D3＝C5，(5)有，如：C1和C2；C3和C4等等．《10.1.3古典概型》同步练习[合格基础练]一、选择题1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)C[试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)D[设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(2,10)C.eq\f(3,10)D.eq\f(3,5)C[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为eq\f(3,10).]4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)C[试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面，二枚反面的样本点有3种，故概率为P＝eq\f(3,8).]5．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是()A.eq\f(3,20)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,10)D[设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A，试验的样本空间Ω＝{(1,3,5),(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三种情况，故所求概率为P(A)＝eq\f(3,10).]二、填空题6．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为．eq\f(1,2)[设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).]7．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为．eq\f(1,3)[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]8．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．eq\f(1,5)[从5个数中任意取出两个不同的数，样本点的总数为10，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种样本点，所以取出的两数之和等于5的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).]三、解答题9．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．[解](1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P1＝eq\f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq\f(7,12)，因为eq\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此游戏不公平．10．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．[解](1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).[等级过关练]1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)D[设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)B[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选B.]3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为．eq\f(2,5)[如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，试验空间共有15个样本点，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6个样本点，故构成的四边形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为．eq\f(2,5)[设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则试验的样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，则样本空间的总数有15个．两球颜色为一白一黑的样本空间有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．∴其概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]5．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．[解](1)由题意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).《10.1.4概率的基本性质》同步练习[合格基础练]一、选择题1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7C[∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.]2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是()A．60% B．30%C．10% D．50%D[“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.]3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)B[试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]4．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.40 B．0.30C．0.60 D．0.90A[不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40.]5．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)C[试验的样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率为eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).]二、填空题6．甲、乙两人打乒乓球，两人打平的概率是eq\f(1,2)，乙获胜的概率是eq\f(1,3)，则乙不输的概率是．eq\f(5,6)[乙不输表示为和棋或获胜，故其概率为P＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).]7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为．eq\f(3,5)[设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种，所以所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).]8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为．eq\f(1,12)[易知试验样本点的总数为36，由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))共3个样本点，所以P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).]三、解答题9．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[解]法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法三：(利用对立事件求概率)(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).10．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．[解](1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．又满足条件n≥m＋2的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq\f(3,16)，故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).[等级过关练]1．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)C[掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因为eq\o(B,\s\up6(－))表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，从而P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则eq\f(8,9)是下列哪个事件的概率()A．颜色全同 B．颜色不全同C．颜色全不同 D．无红球B[试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)＝1－eq\f(8,9)，所以eq\f(8,9)是事件“颜色不全同”的概率．]3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为eq\f(4,5)，那么所选3人中都是男生的概率为．eq\f(1,5)[设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，∴P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).]4．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率为．eq\f(5,6)[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件eq\o(A,\s\up6(－))＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，eq\o(A,\s\up6(－))包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).]5．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．[解](1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人，试验空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．②由表格知，事件M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，所以，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).《10.2事件的相互独立性》同步练习[合格基础练]一、选择题1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．非相互独立事件D[根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B为非相互独立事件．]2．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为()A.eq\f(1,20)B.eq\f(15,16)C.eq\f(3,5)D.eq\f(19,20)C[设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).]3．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96C[∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.]4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为()A.eq\f(7,64)B.eq\f(25,192)C.eq\f(35,192)D.eq\f(35,576)C[由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为eq\f(25,60)×eq\f(35,60)×eq\f(45,60)＝eq\f(35,192).]5．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为()A．0.504B．0.994C．0.496 D．0.064B[由题意知，所求概率为1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.]二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为．eq\f(3,5)[设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5).]7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(Aeq\x\to(B))＝；P(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))＝.eq\f(1,6)eq\f(1,6)[∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3).∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).]8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是．0．240.96[由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.]三、解答题9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．[解]记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)，则P(D)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.10．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．[解]记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1,2,3)，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，且这三次试跳相互独立．∴P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)＝1－0.3×0.4＝0.88.[等级过关练]1．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,7)D.eq\f(5,12)D[根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).]2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于()A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)D[由题意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))．设P(A)＝x，P(B)＝y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x1－y＝\f(1,9)，,1－xy＝x1－y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y.))∴x2－2x＋1＝eq\f(1,9)，∴x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)，∴x＝eq\f(2,3).]3．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．0．128[记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.]4．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于．eq\f(1,n)[由“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴第k次恰好打开房门的概率为eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(n－k－1,n－k－2)×eq\f(1,n－k－1)＝eq\f(1,n).]5．某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为eq\f(1,2)，“三步上篮”的命中率为eq\f(3,4)，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率．[解]设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，依题意有P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(3,4)(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.P(eq\o(C,\s\up12(－)))＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＋P(A1eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＋P(A1)·P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2＝eq\f(19,64).∴P(C)＝1－eq\f(19,64)＝eq\f(45,64).《10.3.1频率的稳定性》同步练习[合格基础练]一、选择题1．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是()A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上说法均不正确C[选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.]2．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．按照这个规则，当选概率最大的是()A．二班 B．三班C．四班 D．三个班机会均等B[掷两枚硬币，共有4种结果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故选四班的概率是eq\f(1,4)，选三班的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，选二班的概率为eq\f(1,4)，故选B.]3．给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是eq\f(51,100)；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是eq\f(9,50).其中正确命题有()A．① B．②C．③ D．④D[①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的；②③混淆了频率与概率的区别．④正确．]4．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点”；③投掷前默念几次“出现6点”；投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19.其中正确的见解有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个B[①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是eq\f(1,2)，故①正确；②“出现1点”是随机事件，故②错误；③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误；④连续掷3次，每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故④正确．故选B.]5．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是()A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜B[对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是eq\f(1,2)，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．]二、填空题6．某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：分组频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01]500.50[40.01,40.03)200.20合计1001.00若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，则这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率约为．0．90[标准尺寸是40.00mm，并且误差不超过0.03mm，即直径需落在[39.97,40.03]范围内．由频率分布表知，所求频率为0.20＋0.50＋0.20＝0.90，所以直径误差不超过0.03mm的概率约为0.90.]7．小明和小展按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则．(填“公平”或“不公平”)不公平[当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论是第二个人取1支还是取2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜，所以不公平．]8．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：种子粒数100100100100100100发芽粒数797881798082发芽率79%78%81%79%80%82%根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为．80%[由表格中的数据可知，该猕猴桃种子的发芽率约为80%.]三、解答题9．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率eq\f(m,n)(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？[解](1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.10．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：每批粒数251070130700150020003000发芽的粒数24960116637137017862709发芽的频率(1)请完成上述表格(保留3位小数)；(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？[解](1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.填表如下：每批粒数251070130700150020003000发芽的粒数24960116637137017862709发芽的频率1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.[等级过关练]1．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为()A.4.33% B.3.33%C.3.44% D.4.44%B[因为掷硬币出现正面向上的概率为eq\f(1,2)，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用兴奋剂．因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．]2．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球任取两个球取1个球任取两个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜问其中不公平的游戏是()A．游戏1 B．游戏1和游戏3C．游戏2 D．游戏3D[游戏1中取2个球的所有可能情况有：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以游戏1是公平的．游戏2中，显然甲胜的概率是0.5，游戏是公平的．游戏3中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1),(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的概率为eq\f(1,3)，所以游戏3是不公平的．]3．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是．0．4[由频率的定义可知用电量超过指标的频率为eq\f(12,30)＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.]4．从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5g之间的概率约为．0．25[易知袋装白糖质量在497.5～501.5g之间的袋数为5，故其频率为eq\f(5,20)＝0.25，即其概率约为0.25.]5．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值．(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.《10.3.2随机模拟》同步练习[合格基础练]一、选择题1．已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：75270293704098570347437386366947141746980301623326168045600136619597742476104001据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,20)C.eq\f(1,4)D.eq\f(4,5)D[∵4件产品中有1件或2件合格品的有：7040,0301,6001,4001，∴所求概率P＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).]2．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271，989,730,537,925,907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5A[由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝eq\f(2,10)＝0.2.]3．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A．0.85 B．0.8192C．0.8 D．0.75D[该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为eq\f(15,20)＝0.75.]4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)A[随机取出两个小球有：(1,2)，(1,3)，(1,4)