高中数学暑假初高衔接讲义 函数的单调性

遍历山河，人间值得。第第页练习主题函数的单调性知识点一：函数的单调性在5.1节开头的第三个问题中，气温θ是关于时间t的函数，记为θ=f(t).观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的.怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高.也就是说，对于这段图象上的任意两点P（t1，θ1），Q（t2，θ2），当t1＜t2时，都有θ1＜θ2；类似地，对于区间（14，24）内任意两个值t1，t2，当t1＜t2时，都有θ1＞θ2.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x)的增区间.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x)的减区间.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间Ⅰ上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.例1、画出下列函数图像，并写出单调区间.（1）y=-x2+2；（2）y=；对应练习：1、（多选）如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在下列区间单调递增的是（）A.[2，5]

B.[-6，-4]C.[-1，2]

D.[-1，2]∪[5，8]2、已知函数f(x)=-x2，则（）A.f(x)是减函数B.f(x)在（-∞，-1）上是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在（-∞，-1）上是增函数3、函数f(x)=（）A.在（-1，+∞）内单调递增B.在（-1，+∞）内单调递减C.在（1，+∞）内单调递增D.在（1，+∞）内单调递减4、函数s=的单调递减区间为（）A.（-∞，]B.[，+∞）C.[0，+∞）D.（-∞，-3]5、画出函数f（x）=∣x+1∣的图像，并根据图像写出函数f（x）的单调区间.例2、证明：函数f(x)=-1在区间（-∞，0）上是增函数.对应练习：1、证明：函数f（x）=-2x+1是减函数.2、根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=-x3+1在R上是减函数.3、函数f（x）=2在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.巩固练习：1、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A.y=∣x+1∣B.y=3-xC.y=D.y=-x2+42、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2，均有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]＜0，则f(x)在(a，b)上是（）A.增函数B.减函数C.既不是增函数也不是减函数D.常数函数3、已知m＜-2，点(m-1，y1)，(m，y2)，(m+1，y3)都在二次函数y=x2-2x的图象上，则（）A.y1＜y2＜y3B.y3＜y2＜y1C.y1＜y3＜y2D.y2＜y1＜y34、如图所示的是定义在区间，[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是（）A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1，4]上单调递增C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减D.函数在区间[-5，5]上没有单调性5、用几何画板画出函数f(x)=x3-3x+1的图象如下，则函数f(x)的增区间是（）A.(-1，1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)和(1，+∞)D.(-∞，-1)或(1，+∞)6、函数f(x)=的增区间为（）A.(-∞，0)，[0，+∞)B.(-∞，0)C.[0，+∞)D.(-∞，+∞)7、已知函数f(x)=4x2-kx-8在(-∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A.(-24，40)B.[-24，40]C.(-∞，-24]D.[40，+∞)8、若函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(-m+9)，则实数m的取值范围是（）A.(-∞，-3)B.(0，+∞)C.(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(3，+∞)9、已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2-2x)＜f(3)的实数x的取值范围是（）A.[-1，3]B.(-∞，-1)∪(3，+∞)C.(-3，3)D.(-∞，-3)∪(1，+∞)10、函数f（x）=∣x-2∣x的单调递减区间是.11、已知函数f（x）=，则f（x）的单调递减区间是.12、若函数f（x）=在区间[-1，1]上单调递减，则实数a的取值范围是.13、已知函数f（x）=，则不等式f（x2+x+3）＞f（3x2-3）的x的解集是________．14、根据定义证明函数f（x）=x+在区间[3，+∞）上单调递增.函数的最大（小）值例1、求下列函数的最小值：（1）y=x2-2x；（2）y=，x∈[1，3]对应练习：1、函数f(x)在[-2，+∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（）A.3，0B.3，1C.3，无最小值

D.3，-22、已知二次函数f(x)=2x2-4x，则f(x)在[-1，]上的最大值为.求函数的最值1、利用单调性求最值例2、函数y=2x+的最小值为.【教材115页】第7题、已知函数f(x)=x+，x∈（0，+∞）.求证：f(x)在区间（0，1]上是减函数，在区间[1，+∞）是增函数；试求函数f(x)的最大值或最小值.例3、已知函数f(x)=，x∈[0，1]，求函数f(x)的单调区间和值域；对应练习：1、设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M、m，则=（）A.B.C.D.2、（多选）当x≥1时，下列函数的最小值为4的有（）

A.y=4x+B.y=C.y=D.y=5x3、已知函数f(x)=，x∈[1，+∞），（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．二次函数的最值问题1、定轴定区间例4、已知函数f(x)=3x2-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值.（1）R；（2）[0，3]；（3）[-1，1]2、动轴定区间例5、求函数f(x)=x2-2ax-1，x∈[0，2]的最大值和最小值.3、定轴动区间例6、已知函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式.4、动轴动区间例7、设a是正数，ax+y=2（x≥0，y≥0），记h（x，y）=y+3x的最大值为M（a），求M（a）的表达式.对应练习：1、已知函数f(x)=x2+2ax+2，求f(x)在[-5，5]上的最大值与最小值．2、已知函数f(x)=x2-2x+3，当x∈[t，t+1]时，求f(x)的最大值与最小值．3、已知函数f(x)=ax2+2（a-1）x-3（a≠0）在区间[，2]上的最大值是1，求实数a的值．巩固练习：1、函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1]上有最小值，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥12、若函数：y=ax+1在区间[1，3]上的最大值是4，则实数a的值为（）

A.-1B.1C.3D.1或33、二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=（）A.-1B.1C.-2D.4、函数y=3x+的值域是_______．5、函数f（x）=，的最小值为，最大值为.6、已知函数y=x2-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是_______．7、已知函数f（x）=，在区间[-8，4）上的最大值为______．8、已知f(x)=≥a在区间[3，5]上恒成立，则实数a的最大值是_______．9、设函数在x∈[-3，0]上的最大值a，最小值为b，则a+b=________．10、设f(x)=x2-2ax+a2，x∈[0，2]，当a=-1时，f(x)的最小值是；若f(0)是f(x)的