人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析（共三套）

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版第二册：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为()。A、B、C、D、2．下列说法中错误的是()。A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D、斜二测坐标系取的角可能是3．在下列命题中，正确命题的个数为()。①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若、是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是；⑥的充要条件是。A、B、C、D、4．设、是两个不同的平面，则的充要条件是()。A、平面内任意一条直线与平面垂直B、平面、都垂直于同一条直线C、平面、都垂直于同一平面D、平面内存在一条直线与平面垂直5．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为()。A、B、C、D、6．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为()。A、B、C、D、7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则()。A、B、C、D、8．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为()。A、B、C、D、二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设为虚数单位，则下列命题错误的是()。A、，复数是纯虚数B、在复平面内对应的点位于第三象限C、若复数，则存在复数，使得D、，方程无解10．如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的()。A、B、C、D、11．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有()。A、B、C、不与垂直D、12．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是()。A、不论折至何位置(不在平面内)，都有平面B、不论折至何位置(不在平面内)，都有C、不论折至何位置(不在平面内)，都有D、在折起过程中，一定存在某个位置，使三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算。14．已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为。15．已知非零向量、满足，，且与的夹角为，则的取值范围是。16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知、，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围。18．（本小题满分12分）已知三个点，，。(1)求证：；(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。(1)在图中作一个平面，使得，且平面；(不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。)(2)若，，求点到所作截面的距离。20．（本小题满分12分）如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，，四边形为平行四边形，且。(1)求证：；(2)若，，，求此五面体的体积。21．（本小题满分12分）如图所示的空间几何体中，平面平面，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上。(1)求证：平面；(2)求多面体的体积。22．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求三棱锥的体积。参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，则，解得或，又，∴，∴，故选D。2．下列说法中错误的是()。A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D、斜二测坐标系取的角可能是【答案】B【解析】平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选B。3．在下列命题中，正确命题的个数为()。①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若、是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是；⑥的充要条件是。A、B、C、D、【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，时，，②错，为实数时，也有，③错，时，，④错，⑤⑥正确，故选B4．设、是两个不同的平面，则的充要条件是()。A、平面内任意一条直线与平面垂直B、平面、都垂直于同一条直线C、平面、都垂直于同一平面D、平面内存在一条直线与平面垂直【答案】D【解析】若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面、都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面、都垂直于同一平面，则平面、可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确；故选D。5．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】设，，，则长方体的体积，又，且三棱锥的高为，∴，则剩余部分的几何体体积，则，故选A。6．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】将四面体置于一个长方体中，∴四面体的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为、、，则根据图形可有，则外接球的直径，∴，则球的表面积为，故选C。7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则()。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图所示，建立以、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，∴，，∴，故选B。8．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】延长和交于点，连接，∵平面，平面平面，∴，且，∵，∴，∴，∴，又，∴，∵∽，∴，且，∴，∵∽，∴，且，∴，又，∴，又直线与侧面所成角为，则，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设为虚数单位，则下列命题错误的是()。A、，复数是纯虚数B、在复平面内对应的点位于第三象限C、若复数，则存在复数，使得D、，方程无解【答案】ABD【解析】A选项，只有当时，复数是纯虚数，错，B选项，，对应的点位于第一象限，错，C选项，若复数，则存在复数，使得，对，D选项，，方程成立，错，故选ABD。10．如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】A选项为在上的投影，C选项为在上的投影。11．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有()。A、B、C、不与垂直D、【答案】BD【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知、、恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故B真，C选项，∵，∴与垂直，故C假，D选项，，成立，故D真，故选BD。12．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是()。A、不论折至何位置(不在平面内)，都有平面B、不论折至何位置(不在平面内)，都有C、不论折至何位置(不在平面内)，都有D、在折起过程中，一定存在某个位置，使【答案】ABD【解析】由已知，在未折叠的原梯形中，，，∴四边形为平行四边形，∴，折叠后如图所示，A选项，过点作，交于点，连接，∵、分别是、的中点，∴点为的中点，故，又，，∴平面平面，故平面，对，B选项，由已知，，，∴，，又，∴平面，又平面，∴，对，C选项，假设，则与确定平面，从而平面，平面，与和是异面直线矛盾，错，D选项，当时，，∵，，，∴平面，平面，∴，对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算。【答案】【解析】原式。14．已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为。【答案】【解析】设正四面体的棱长为，则，高，设点在底面内的射影是，则，∴即为所求异面直线与所成角，则。15．已知非零向量、满足，，且与的夹角为，则的取值范围是。【答案】【解析】令，则，与的夹角为，∴，又，∴，∴的取值范围是。16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为。【答案】【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，∴，设底面圆的半径为，则有，解得，∴这个圆锥的高为，这个圆锥的体积为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知、，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围。【解析】∵，∴，2分∴对恒成立，4分当，即时，不等式恒成立，6分当时，，9分综上，。10分18．（本小题满分12分）已知三个点，，。(1)求证：；(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。【解析】(1)证明：∵，，，∴，，2分∵，∴，即；4分(2)解：∵，四边形为矩形，∴，5分设点坐标为，则，6分∴，解得，∴点坐标为，7分从而，，且，，，9分设与的夹角为，则，11分∴矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。12分19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。(1)在图中作一个平面，使得，且平面；(不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。)(2)若，，求点到所作截面的距离。【解析】(1)如图，取、的中点、，连接、、，则平面即为所求平面；6分(2)设点到平面的距离为，由等体积法得：，又，8分∵，又，∴，10分又由得：，∴。12分20．（本小题满分12分）如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，，四边形为平行四边形，且。(1)求证：；(2)若，，，求此五面体的体积。【解析】(1)过作交于，连接，由平面平面，平面平面，得平面，∴，2分∵，，，∴≌，∴，由已知得为等腰直角三角形，∴，4分又，，平面，∴平面，；6分(2)取中点，连接、，由(1)可知，，又，∴四边形为平行四边形，棱柱为斜棱柱且为此斜棱柱的直截面，在四棱锥中，由(1)知，，又平面平面，∴平面，∴。12分21．（本小题满分12分）如图所示的空间几何体中，平面平面，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上。(1)求证：平面；(2)求多面体的体积。【解析】(1)证明：由题意知，、都是边长为的等边三角形，取中点，连接、，则，，∵平面平面，∴平面，2分作平面，则，根据题意点落在上，∴，易求得，∴四边形是平行四边形，，4分∵平面，平面，∴平面；5分(2)解：∵平面平面，，∴平面，又∵，∴平面，7分∴三棱锥体积，9分又三棱锥体积，11分∴多面体体积为。12分22．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求三棱锥的体积。【解析】(1)如图，取的中点，连接、，∵为中点，∴，且，∵，，∴且，∴四边形是平行四边形，2分∴，又平面，平面，∴平面；4分(2)在直角梯形中，，∴，∴，即，6分又平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面；8分(3)∵为边上的中点，平面，∴，10分∵，，∴。12分人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（二）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版第二册：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．复数在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2．若复数(为虚数单位)，则()。A、B、C、D、3．已知向量，，且与平行，则()。A、B、C、D、4．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是()。A、若，，且，，则B、若，，且，则C、若且，则D、若，，且，，则5．如图所示，已知一圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，其中在上底面上，在下底面上，从的中点处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到点，则这条绳子的长度最短为()。A、B、C、D、6．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为()。A、B、C、D、7．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为()。A、B、C、D、8．如图所示，三棱锥中，、、、、，是的中点，，则三棱锥的体积为()。A、B、C、D、二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法中错误的是()。A、若、、，则B、若且，则C、若、非零向量且，则D、若，则有且只有一个实数，使得10．下列四个命题中是真命题的是()。A、若复数满足，则B、若复数满足，则C、若复数满足，则D、若复数、满足，则11．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是()。A、球的表面积为B、上存在一点，使得C、若为的中点，则D、四面体体积的最大值为12．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线、的平面分别与棱、交于、，设，，则下列命题中正确的是()。A、平面平面B、当且仅当时，四边形的面积最小C、四边形周长是单调函数D、四棱锥的体积为常函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则。14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为。15．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为。16．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为，该几何体的体积为。(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知复数、满足、，且，求与的值。18．（本小题满分12分）设向量、满足，且。(1)求与夹角的大小；(2)求与夹角的大小；(3)求的值。19．（本小题满分12分）正四棱台两底面边长分别为和。(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高。20．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，且底面为边长为的菱形，，。(1)证明：平面平面；(2)在图中作出点在平面内的正投影(说明作法及其理由)，并求四面体的体积。21．（本小题满分12分）如图，多面体是由三棱柱截去一部分而成，是的中点。(1)若，平面，，求点到平面的距离；(2)若为的中点，在上，且，问为何值时，直线平面？22．（本小题满分12分）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。(1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求三棱锥体积的最大值；(3)若，点在线段上，求的最小值。参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．复数在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】B【解析】，在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B。2．若复数(为虚数单位)，则()。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故选A。3．已知向量，，且与平行，则()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵、，且与平行，∴，解得，故选A。4．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是()。A、若，，且，，则B、若，，且，则C、若且，则D、若，，且，，则【答案】D【解析】A选项错，∵、两条直线的位置关系不确定，∴只有、相交时才能得到，B选项错，如图所示，把看作，看作，平面看作，平面看作，此时，C选项错，若且，则或在内，D选项对，∵，，∴，若，，则，故选D。5．如图所示，已知一圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，其中在上底面上，在下底面上，从的中点处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到点，则这条绳子的长度最短为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】画图，则设，圆心角为，则，，解得，，则，，，故选C。6．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，故选B。7．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】将平面平面，又∵平面平面，平面，，∴平面，∵四边形为平行四边形，∴，同理平面，∴、均为，设中点为，连、，则，为三棱锥外接球半径，则，，则，故三棱锥外接球的表面积为，故选C。8．如图所示，三棱锥中，、、、、，是的中点，，则三棱锥的体积为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由、、可知，∴为直角三角形，∴，由、、可知，∴为直角三角形，∴，又，平面，平面，∴平面，由是的中点得，，∵，∴为直角三角形，，∴，又，，∴，即为直角三角形，，∴，∴，故选D。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法中错误的是()。A、若、、，则B、若且，则C、若、非零向量且，则D、若，则有且只有一个实数，使得【答案】ABD【解析】A选项，当、中至少有一个时，与可能不平行，错，B选项，由且，可得或，错，C选项，，则两边平方化简可得，∴，对，D选项，根据向量共线基本定理可知当为零向量时不成立，错，故选ABD。10．下列四个命题中是真命题的是()。A、若复数满足，则B、若复数满足，则C、若复数满足，则D、若复数、满足，则【答案】BC【解析】A选项，，，，则A是假命题，具体做：设()，则，则或，当、时为纯虚数，当、时为纯实数，B选项，一个数的平方小于，则这个数一定是虚数，而且还是纯虚数，则B是假命题，具体做：设()，则，则且，则时可取，则时不可取，则，，，为纯虚数，C选项，，则，又恒成立，∴，∴，则C是真命题，具体做：设()，则，则且，则，D选项，、，，，则D是假命题，具体做：设()，()，则，则，解有很多种可能，当且时符合条件，此时、，、，不一定成立，故选BC。11．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是()。A、球的表面积为B、上存在一点，使得C、若为的中点，则D、四面体体积的最大值为【答案】ACD【解析】∵是球的一条直径，∴，，∴，球的半径为，球的表面积为，A正确，∵与平面相交，上找不到一点，使得，B错误，连接、，∵，为的中点，∴，C正确，易知点到平面的距离的最大值为球的半径，∴四面体体积的最大值为：，D正确，故选ACD。12．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线、的平面分别与棱、交于、，设，，则下列命题中正确的是()。A、平面平面B、当且仅当时，四边形的面积最小C、四边形周长是单调函数D、四棱锥的体积为常函数【答案】ABD【解析】A选项，∵，，，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面，A对，B选项，∵四边形为菱形，∴，又，要使四边形的面积最小，只需最小，则当且仅当时，四边形的面积最小，B对，C选项，∵，，∴在上不是单调函数，C错，D选项，，，点到平面的距离为，，又，点到平面的距离为，，∴为常函数，D对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则。【答案】【解析】，∵复数()是纯虚数，∴，且，∴。14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为。【答案】【解析】设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，∴，∴圆柱的底面半径为，高为，∴最多可以注入的水的体积为。15．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为。【答案】【解析】如图建系，则、、，则，，设()，则()，则，，∴，，∴，当时取最大值。16．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为，该几何体的体积为。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形，，，∵，，，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知复数、满足、，且，求与的值。【解析】设复数、在复平面上对应的点为、，由于，2分故，4分故以、为邻边的平行四边形是矩形，从而，7分则，。10分18．（本小题满分12分）设向量、满足，且。(1)求与夹角的大小；(2)求与夹角的大小；(3)求的值。【解析】(1)设与的夹角为，，又，∴，∴，即，又，∴与的夹角为；4分(2)设与的夹角为，∵，又，，∴，又，∴与的夹角为；8分(3)，，∴。12分19．（本小题满分12分）正四棱台两底面边长分别为和。(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高。【解析】(1)如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，2分由题意知，，4分又，∴斜高，6分∴；7分(2)由题意知，，∴，9分∴，又，。12分20．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，且底面为边长为的菱形，，。(1)证明：平面平面；(2)在图中作出点在平面内的正投影(说明作法及其理由)，并求四面体的体积。【解析】(1)∵平面，平面，∴，1分在菱形中，，且，∴平面，2分又∵平面，∴平面平面；4分(2)取的中点，连接、，易得是等边三角形，∴，又∵平面，∴，5分又，∴平面，在平面中，过作于，则，7分又，∴平面，则是点在平面内的正投影，9分经计算得，在中，，，10分，，11分∴。12分21．（本小题满分12分）如图，多面体是由三棱柱截去一部分而成，是的中点。(1)若，平面，，求点到平面的距离；(2)若为的中点，在上，且，问为何值时，直线平面？【解析】(1)∵多面体是由三棱柱截去一部分而成，是的中点，平面，，1分∴平面，则，2分又∵，∴，又∵，∴，3分可得，即，4分又，∴平面，∴点到平面的距离；5分(2)当时，直线平面，证明如下：设，则，取的中点，连接，可得，6分∵是梯形的中位线，∴，8分∴当时，四边形为平行四边形，即，10分∵平面，∴直线平面，此时。12分22．（本小题满分12分）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。(1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求三棱锥体积的最大值；(3)若，点在线段上，求的最小值。【解析】(1)证明：在中，∵，为的中点，∴，1分又垂直于圆所在的平面，∴，∵，∴平面；3分(2)∵点是圆上，∴当时，到的距离最大，且最大值为半径，又，∴的面积的最大值为，5分又∵三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为；6分(3)在中，，，∴，同理，∴，8分在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图，当、、共线时，取得最小值，10分又∵，，∴垂直平分，即为中点，从而，亦即的最小值为。12分人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（三）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版第二册：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为()。A、B、C、D、3．在中，，点满足，若，则的值为()。A、B、C、D、4．如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为()。A、B、C、D、5．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为()。A、B、C、D、6．已知正三角形的边长为，是边的中点，将三角形沿翻折，使，若三角锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为()。A、B、C、D、7．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为()。A、B、C、D、8．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为()。A、B、C、D、二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若复数满足，则关于复数的说法正确的是()。A、复数的实部为B、复数的虚部为C、复数的模长为D、复数对应的复平面上的点在第一象限10．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是()。A、B、C、D、11．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是()。A、若与是异面直线，则至少与、中的一条相交B、若不垂直于，则与一定不垂直C、若，则必有D、若、，则必有12．已知、是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是()。A、、的夹角是B、、的夹角是C、D、三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设为虚数单位，已知复数满足，则复数的虚部为。14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则。15．在中，，，若与线段交于点，且，，则的最大值为。16．如图所示，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，、分别是侧棱、上的动点，，点在棱上，且，若平面，则。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）设方程的根分别为、，且，求实数的值。18．（本小题满分12分）若、、是同一平面内的三个向量，其中。(1)若，且，求的坐标；(2)若且与垂直，求与的夹角。19．（本小题满分12分）如图，矩形中，，。、分别在线段和上，，将矩形沿折起。记折起后的矩形为，且平面平面。(1)求证：平面；(2)若，求证：；(3)求四面体体积的最大值。20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且，。(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离。21．（本小题满分12分）如图1，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长。22．（本小题满分12分）如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，。(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离。参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】A【解析】由得，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A。2．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】复数，根据共轭复数的概念得到的共轭复数为：，故选A。3．在中，，点满足，若，则的值为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】取的中点为，连接，则，∴，设，则，解得，∴是等边三角形，∴，故选C。4．如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形中易知，∴，则该几何体体积为，故选A。5．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】连接交于，连结，由题意得，∴平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，也等于点到平面的距离，作于，，，则为中点，为所求，故选A。6．已知正三角形的边长为，是边的中点，将三角形沿翻折，使，若三角锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】正如图，将三角形沿翻折后，注意以为底面，形成三角锥，则平面，∵，，∴，三角锥的外接球球心一定在经过底面的外心且垂直于底面的垂线上，设球心为，外心为，中点为，外接球半径为，由底面可知，做剖面，则，过做，垂足为，则为中点，，在中，，则，故选A。7．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图，与交于点，由得：四边形是菱形，且，则，，由图知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵点是圆内一点，则，∴，故选A。8．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】设球、半球的半径分别为、，则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，由题意得，得，根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，在中，，，，则，解得，∴球的表面积，故选B。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若复数满足，则关于复数的说法正确的是()。A、复数的实部为B、复数的虚部为C、复数的模长为D、复数对应的复平面上的点在第一象限【答案】ABC【解析】设()，则，化简得，根据对应相等得：，解得，，∴，，复数对应的复平面上的点在实轴上，故选ABC。10．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是()。A、B、C、D、【答案】AD【解析】如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则，如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则，故选AD。11．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是()。A、若与是异面直线，则至少与、中的一条相交B、若不垂直于，则与一定不垂直C、若，则必有D、若、，则必有【答案】BD【解析】A选项，若与是异面直线，则至少与、中的一条相交，对，B选项，时，若，则，此时不论，是否垂直，均有，错，C选项，当时，则，由线面平行的性质定理可得，对，D选项，若，则，时，与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，错，故选BD。12．已知、是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是()。A、、的夹角是B、、的夹角是C、D、【答案】ABD【解析】由题可知，，∵、是两个单位向量，且的最小值为，∴的最小值为，则，解得，∴与的夹角为或，∴或，∴或，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设为虚数单位，已知复数满足，则复数的虚部为。【答案】【解析】由得，故复数的虚部为。14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则。【答案】【解析】连接交于点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，∴。15．在中，，，若与线段交于点，且，，则的最大值为。【答案】D【解析】∵线段与线段交于点，设()，则，即，又∵、、三点共线，则，即，∵，∴当为中点时最小，此时最大，又，故此时，∴，即，即的最大值为，故选D。16．如图所示，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，、分别是侧棱、上的动点，，点在棱上，且，若平面，则。【答案】【解析】如图，连接交于，连接，∵平面，平