人教版高中数学必修二导学案全套

人教版高中数学必修二导学案全套6.1平面向量的概念【学习目标】素养目标学科素养1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念;2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念;3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念1.数学抽象;2.逻辑推理【自主学习】一、向量的概念和表示方法1．向量：在数学中，我们把既有又有的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：，，．(2)表示方法：向量可以用表示，向量的大小称为向量的(或称模)，记作.向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.思考（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？（2）两个向量可以比较大小吗？同方向的两个向量可以比较大小吗？（3）两个向量的长度可以比较大小吗？二、向量的模及两个特殊向量(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的______(或称模)，记作______．(2)零向量：长度为______的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于__________________的向量．思考（1）零向量的方向是什么？（2）两个单位向量方向相同吗？三、相等向量与共线向量1.且的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.2.方向的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，记作a∥b.任一组向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做．3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.()(2)向量就是有向线段．()(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段一定在同一条直线上．()(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．()(5)零向量是最小的向量．()(6)任意两个单位向量都相等.()2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有。【经典例题】题型一向量的概念点拨：1.判断一个量是否为向量的两个关键条件：①大小；②方向．2.理解零向量和单位向量应注意的问题：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向；但是单位向量长度相等。例1下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【跟踪训练】1给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．题型二向量的表示及应用点拨：用有向线段表示向量的步骤定起点：先确定向量的起点；定方向：再确定向量的方向；定终点：根据向量的长度确定向量的终点。例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使||＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．【跟踪训练】2一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量，，；(2)求||.题型三相等向量与共线向量点拨：寻找相等向量的方法：先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。例3（课本P4例2）如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心。写出图中的共线向量；分别写出图中与,,相等的向量。【跟踪训练】3在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图．(1)写出与向量共线的向量．(2)求证：＝.【当堂达标】1.下列说法正确的是()A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若|a|>|b|，则a>bD．单位向量的长度为12.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________．3.如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq\o(AD,\s\up6(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))长度的最小值为________．4.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为eq\r(,2)的向量共有个.5.如图所示，△ABC中三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．（1）写出与共线的向量；（2）写出与长度相等的向量；（3）写出与相等的向量。【课堂小结】向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我们将代数问题和几何问题互化．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行．【参考答案】【自主学习】一、大小方向起点方向长度有向线段长度||思考：（1）有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．（2）因为向量既有大小，又有方向，所以不能比较大小；同方向的向量也不能比较大小。（3）可以。二、长度||01个单位长度思考：（1）零向量方向是任意的。（2）两个单位向量的方向不一定相同。三、长度相等方向相同相同或相反平行共线向量【小试牛刀】1.×××√××2.②③④⑤【经典例题】例1D解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．【跟踪训练】1②③④解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．例2【解】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，又||＝4eq\r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是确定点A的位置，画出向量．(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq\r(3)≈5.2，画出向量．【跟踪训练】2例3【跟踪训练】3【当堂达标】1.D解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．2.0解析：因为A，B，C不共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线．又m与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))都共线，所以m＝0.3.eq\f(5\r(3),2)解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为eq\f(5\r(3),2).4.245.6.2.1向量的加法运算【学习目标】素养目标学科素养1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义。（重点）2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题。（重点）3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算。（难点）1.数学运算;2.直观想象【自主学习】向量加法的定义及其运算法则1.定义：求的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是向量。2.三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则，运用三角形法则的关键是首尾相连，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，这里的B点具有任意性。3.平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.运用平行四边形法则的关键是共起点，当两个向量共线时，不能用平行四边形法则。4.对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.二．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系(1)对于任意向量a，b，都有≤|a＋b|≤；(2)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝____；(3)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝或__．点拨：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．三．向量加法的运算律①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．()(4)若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形三个顶点．()(5)对于任意的点A，B，C，D，都有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()(6)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．()【经典例题】题型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则点拨：(1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用．（2）利用向量的三角形法则求a＋b，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a＋b，务必使它们的起点重合.（3）多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．例1如图(1),(2),(3)，已知向量a，b，分别求作向量a＋b.【跟踪训练】1如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．题型二向量的加法运算律的应用点拨：运用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量，加快解题速度.例2A,B,C,D,E,F为平面上的任意点，化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).【跟踪训练】2如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)).题型三向量加法的应用点拨：向量加法的实际应用中，要注意如下：（1）准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；（2）将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解;（3）将向量问题还原为实际问题.例3长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．【跟踪训练】3轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．【当堂达标】1．化简eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的结果等于()A.eq\o(QP,\s\up6(→)) B.eq\o(OQ,\s\up6(→))C.eq\o(SP,\s\up6(→)) D.eq\o(SQ,\s\up6(→))2.如图，在▱ABCD中，点E是AB的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EC,\s\up6(→))＝()A．a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a－b3．在▱ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定4.若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则()A．a，b同向共线B．a，b反向共线C．a，b同向共线且|b|>|a|D．a，b反向共线且|b|>|a|5．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．6.某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？【课堂小结】1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．【参考答案】【自主学习】两个向量和二．||a|－|b|||a|＋|b||a|＋|b||b|－|a||a|－|b|【小试牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×【经典例题】例1解：(1)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(1)．(2)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(2)．(3)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(3)．【跟踪训练】1作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以OA、OB为邻边作□OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以OD、OC为邻边作□ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求．例2[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.【跟踪训练】2解：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝0.例3[解](1)如图所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示船实际航行速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up12(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)))＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因为tan∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up12(→))|,\o(\s\up5(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10km/h，方向与江水速度方向间的夹角为60°.【跟踪训练】3解：如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分别是轮船的两次位移，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示最终位移，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2))＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40eq\r(3)km处．【当堂达标】1.B解析：选B.eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).2.B解析：由题意得eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.故选B.3.B解析：∵|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴▱ABCD是矩形．4.D解析:由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故选D．5.13解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.6.解：如图，设此人的实际速度为eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度为eq\o(OA,\s\up6(→))，游速为eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，则|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为eq\f(\r(3),3))，实际前进的速度大小为4eq\r(2)千米/小时．6.2.2向量的减法运算【学习目标】素养目标学科素养1.理解理解相反向量的概念。（重点）2.掌握向量减法的运算法则及其几何意义。（重点）3.能用向量的加法和减法解决相关问题。（难点）1.数学运算;2.直观想象【自主学习】一．相反向量定义如果两个向量长度，而方向那么称这两个向量是相反向量性质对于相反向量有：a＋(－a)＝____若a、b互为相反向量，则a＝____，a＋b＝____零向量的相反向量仍是零向量推论－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．二.向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的作法在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝_____.如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的指向向量a的的向量思考：已知不共线的两个向量a，b，a＋b与a－b的几何意义分别是什么？三．|a－b|与|a|，|b|之间的关系(1)对于任意向量a，b，都有≤|a－b|≤；(2)当a，b共线，且同向时，有|a－b|＝或；(3)当a，b共线，且反向时，有|a－b|＝____．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)相反向量一定是共线向量．(√)(2)两个相反向量之差等于0.()(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(4)两个向量的差仍是一个向量．()2.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()A．a与b的长度相等 B．a∥bC．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量【经典例题】题型一向量加减法法则的应用点拨：例1化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．【跟踪训练】1化简：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．题型二利用已知向量表示其他向量点拨：三个技巧(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例2如图，O为平行四边形ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝________．【跟踪训练】2如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.题型三向量减法的应用例3已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．【跟踪训练】3（1）已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为。分析：注意向量a＋b，a－b的几何意义．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．（2）在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则必有()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝0或eq\o(AD,\s\up6(→))＝0C．四边形ABCD为矩形 D．四边形ABCD为正方形【当堂达标】1．化简eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．02．在□ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(DB,\s\up6(→))3．(多选题)对于菱形ABCD，下列各式正确的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))B．|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|C．|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|D．|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))|4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(EF,\s\up6(→))等于________．5．已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝10，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝7，则|eq\o(CB,\s\up6(→))|的取值范围为______．6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|，试判断△ABC的形状．【课堂小结】知识点：1.相反向量2.向量减法3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系题型：1.向量加减法法则的应用2.利用已知向量表示其他向量3.向量减法的应用【参考答案】【自主学习】一．相等相反0－b0二．相反向量eq\o(BA,\s\up6(→))终点终点思考：如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．三．||a|－|b|||a|－|b||a|－|b||a|＋|b|【小试牛刀】1.(1)√(2)×(3)√(4)√2.C可能为零向量，此时C选项错误。【经典例题】例1[解析]方法一(统一成加法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.方法二(利用减法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.【跟踪训练】1解：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.例2a－b＋c解析：因为eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c.【跟踪训练】2b－a＋c解析：∵四边形ACDE为平行四边形，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.例3[2,6)解析：根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.【跟踪训练】3（1）平行四边形[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）C解析：因为|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形．故选C.【当堂达标】1.D[解析]原式＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.2.A[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，在□ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).3.BCD解析菱形ABCD中，如图，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|，∴B正确．又|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|，|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|，∴C正确；又|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(→))|，|eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(→))|，∴D正确；A肯定不正确，故选BCD．4.b－c解析：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－c.5.[3，17]解析：因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|－|\o(AC,\s\up6(→))|))≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|，即3≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|≤17，所以3≤|eq\o(CB,\s\up6(→))|≤17.6.解：因为eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).又|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．6.2.3向量的数乘运算【学习目标】素养目标学科素养1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律。（重点）2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线。（重点）1.数学抽象;2.直观想象；3.逻辑推理。【自主学习】一．向量的数乘运算1．向量的数乘运算的概念一般地，规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝．(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝．注意：λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝．(2)(λ＋μ)a＝．(3)λ(a＋b)＝．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝．二．共线向量定理1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使．注意：(1)定理中，向量a为非零向量(2)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可．(3)由定理知，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线．又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．2.三点共线的性质定理若平面内三点A，B，C共线，O为不同于A，B，C的任意一点，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．()(2)若ma＝mb，则a＝b.()(3)(m－n)a＝ma－na.()(4)若向量a和b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点共线．()【经典例题】题型一向量的的线性运算点拨：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．例1计算(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).【跟踪训练】1（1）化简eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________．（2）若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.题型二用已知向量表示其他向量(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．例2如图，平行四边形OADB中，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，试用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【跟踪训练】2如图所示，已知在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，DE∥BC，DE交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).题型三向量共线定理及其应用(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．(2)设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线。例3设两个非零向量a与b不共线，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；【跟踪训练】3(1)已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．（2）已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．【当堂达标】1.已知λ、μ∈R，下面式子正确的是()A．λa与a同向 B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|2.在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3b，则eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．a＋b B．a－bC．2a＋3b D．2a－3b3.在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，则eq\o(PB,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))4.已知点P在线段AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，则实数λ＝________．5.化简eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________.6.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．【课堂小结】1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2.若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→))，则eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(AC,\s\up10(→))共线，又eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(AC,\s\up10(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．3.设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线。【参考答案】【自主学习】一．1.向量λa|λ||a|相同相反02.(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.线性运算λμ1a±λμ2b二．b＝λa【小试牛刀】(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×【经典例题】例1解(1)原式＝(－3)×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b＋2a－b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.【跟踪训练】1（1）0解析：原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝(eq\f(2,5)－eq\f(2,3)＋eq\f(4,15))a＋(－eq\f(2,5)－eq\f(4,3)＋eq\f(26,15))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.（2）解：因为2x－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＋eq\f(3,2)x＋b＝0，所以eq\f(7,2)x－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＝0，所以eq\f(7,2)x＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，所以x＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.例2解：∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a－b)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)(a－b)＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.由eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，得eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(2,3)b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋\f(5,6)b))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.【跟踪训练】2解∵eq\o(DE,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，∵△ADE∽△ABC，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b－a)．∵△ADN∽△ABM，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).又∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(a＋b,2)，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．例3证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．【跟踪训练】3(1)－eq\f(1,3)解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))(2)[解析]由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.【当堂达标】1.C解析:对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.2.C解析:eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2a＋3b.3.C解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.eq\f(1,3)解析：因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，则eq\o(AP,\s\up6(→))的长度是eq\o(PB,\s\up6(→))的长度的eq\f(1,3)，二者的方向相同，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→)).5.0解析：原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.6.解：(1)如图，延长AD到点G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a.(2)证明：由(1)，知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共线．又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共点，∴B，E，F三点共线．6.2.4向量的数量积【学习目标】素养目标学科素养1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点）3.理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理。【自主学习】一．两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a与b；②当θ＝eq\f(π,2)时，向量a与b，记作a⊥b；③当θ＝π时，向量a与b．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角．作eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，则∠BAD才是向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角．二．向量的数量积已知两个向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的(或)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为.注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．三．投影向量若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe.当θ＝0时，投影向量为；当θ＝eq\f(π,2)时，投影向量为；当θ＝π时，投影向量为.四．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝.(2)a⊥b⇔．(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．特别地，a·a＝或|a|＝eq\r(a·a).(4