福建省福州时代中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（含答案解析）

福建省福州时代中学2023-2024学年九年级下学期月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在-后，1,-2,0这四个实数中，最小的是（）

A.-V2B.1C.-2D.0

2.由6个相同的正方体组成的立体图形如图所示，它的左视图是（）

再

3.我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射

面面积约为250000m2,用科学记数法表示数据250000为（）

A.2.5xl05B.0.25x10sC.25x10*D.2.5xl06

4.一个三角形两边的长分别是3和5,则这个三角形第三边的长可能是（）

A.1B.1.5C.2D.4

5.下列运算正确的是（）

A.a4-a3-aB.•a3=a1C.a44-a3=1D.（q=a

6.劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种

作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为x,则可列

方程为（）

A.300（1+x）=363B.300+300（1+%）+300（1+x）2-363

C.300+300/=363D.300（1+x）2=363

试卷第1页，共6页

7.如图，在“3C中，运用尺规作图的方法在3c边上取一点P,使PA+PB=BC,下

列作法正确的是（）

8.甲、乙两名学生五次的演讲比赛成绩分别如图所示:

下列说法正确的是（）

A.甲的平均数是69B.乙的众数是70

C.甲的中位数是65D.=^|,

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y=2x上，点A的横坐标为1,点P是

x轴正半轴上一点，点3在反比例函数y=，x>0）图象上，联结/尸、P3和08.如果四

X

边形。4%是矩形，那么上的值为（）

试卷第2页，共6页

A.-2B.-8C.-12D.-4

10.如图，将G>。的圆周12等分，圆内接矩形ZBCD的面积为20,则圆内接正六边形

面积为（）

A.25B.30C.35D.40

二、填空题

11.若在记账本上把支出6元记为-6元，则收入3元应记为元.

12.菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm,则它的面积为cm2.

13.如图，在“3C中，ZC=90°,平分NG43,CD=l,AB=4,则△48。的面

积是

14.种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽

查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结

黄瓜根数的中位数是

m〃3n7—H

5如果丁丁左，。，那么代数式…+的值是

16.已知二次函数了=办2一2"+3（其中x是自变量），当0<x<3时对应的函数值均为

正数，则。的取值范围是.

三、解答题

试卷第3页，共6页

17.计算：（2024-TI）0-|l-V2|+j-1j-V8.

4(2x-l)<3x+l®

18.解不等式组：2、>七1②’并写出它的所有整数解・

19.如图，AB=AC,CDVAB,BELAC,垂足分别为。，E.求证：BE=CD.

20.先化简，再求值：［”1-高■六七_,1

其中"废

21.某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：/：篮球，B：足球，C：

排球，D：羽毛球，E-.乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班

全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图.

(1)则该班的总人数为人，其中学生选。“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是

______度；

(2)补全条形统计图；

(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人

中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的

2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率.

22.如图，在“8C中，以N2为直径作。。交/C、3c于点E,且。是/C的中点,

过点。作DGL3C于点G,交8/的延长线于点〃.

试卷第4页，共6页

(1)求证：直线8G是。。的切线；

2

(2)若"1=3,COSB=M,求CG的长.

23.2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.2023

年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助

机械臂进行舱外作业.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，6M是垂直于

工作台的移动基座，AB、8c为机械臂，

(24=Im,AB=5m,BC=2m,ZABC=145°,ZBCD=60°.

(1)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长(结果精确到(Mm)；

⑵求的长(结果精确到0.1m).(参考数据：

sin250®0.42,cos25。a0.91,3?25。a0.47,5/2»1,41,V3®1.73)

24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线＞=°/+乐+百与x轴交于42两

点，与y轴交于点c,且A点坐标为(-i,o),抛物线的对称轴为直线x=i,连接直线Be.

图1图2

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点。为第一象限内抛物线上一动点，连接4D,交直线8c于点E,连接80,如

试卷第5页，共6页

s

图2所示，记AADE的面积为&,A/BE■的面积为凡，求U■的最大值.

⑶若点”为对称轴上一点，是否存在以",8,C为顶点的直角三角形，若存在，直接写

出满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.

25.在边长为4的菱形48CD中，4=60。，点E,尸分别是/民8C上的动点，^BEF

沿E厂翻折得到△GEF,连接DG.

(1)如图①，若点£是NB的中点.

①当点G落在3C边上时，求tan/CG。的值;

②当点下从点3运动到BC的中点时，求金边〜EGO的取值范围;

(2)如图②，若昉=2百，当点G落在/。边上时，求5E的长.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】本题考查实数大小比较，根据负数小于0,小于正数，两个负数，绝对值大的反而

小，进行判断即可.

【详解】解：：-2<_逝<0<1，

••.最小的是-2；

故选C.

2.C

【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.找到从左面看所

得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.

【详解】解：左视图有2歹1J,每列小正方形数目分别为3,1,即为"

故选：C.

3.A

【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定。=2.5,〃=5,再写

成形如axlO"的形式即可.

【详解】250000=2,5x105.

故选：A.

4.D

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小

于第三边.先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可.

【详解】解：设三角形第三边的长为X,则

5-3<x<5+3,即2<x<8,

只有选项D符合题意.

故选D.

5.B

【分析】本题考查合并同类项，同底数塞的乘法和除法，幕的乘方，掌握其运算法则是解题

的关键.

【详解】A.八/不是同类项，不能合并，原计算错误；

答案第1页，共19页

B.a4-a3=a7,计算正确；

C.a4a3=a>原计算错误；

D.原计算错误；

故选B.

6.D

【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为。，变化后的量

为6,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x『=6.根据作物的产量两年

内从300千克增加到363千克,列出方程即可.

【详解】解：第一年的产量为300x(1+》)，

第二年的产量在第一年产量的基础上增加x,为300x(l+x)x(l+x),

则列出的方程是300(1+尤甘=363.

故选：D.

7.C

【分析】由题意，PA=PC,由此判断即可.

【详解】解：由作图可知，选项C中，ZC=APAC,

J.PA^PC,

：.PA+PB=PC+PB=BC,

故选：c.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问

题.

8.D

【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数等知识，利用数据求出平均数，结合公式

求出方差，对数据进行恰当处理即可得出答案，牢记相关概念和公式是解题的关键.

_1

【详解】A.甲的平均数%甲=弓*(60+70+70+60+80)=68,故本选项不符合题意；

B.乙五次的成绩分别为70、80、80、70、90,众数是70、80,故本选项不符合题意；

C.由图可知，将甲五次的成绩从小到大排列为60、60、70、70、80,中位数是70,故本选项不

符合题意；

22

D.方差底甲=：x[(60-68)+(70-68>+(70_68)2+(60_68)2+(80-68)]=56

答案第2页，共19页

_1

乙的平均数XZ.=『(70+80+80+70+90)=78,

方差晓乙=1x[(70-78)2+(80-78)2+得。-78)?+(70-78)2+(90-78)2]=56

S\=S\,本符合符合题意.

故选：D.

9.B

【分析】当x=l,y=2x=2,即/(1,2),如图，联结48交。尸于。，过A作/CLO尸于C,

则/C=2,OC=1,。是48中点，在RM/OC中，由勾股定理求/。的值，证明

△AOCSAPOA,则段=空，求尸O的值，进而可得尸，D,8的点坐标，将3点坐标代入

POAO

反比例函数解析式求解左值即可.

【详解】解：当x=l,y=2x=2,即z(l,2),

如图，联结交OP于。，过A作/C_L。尸于C,

AAC=2,OC=1,

•四边形。4%是矩形，

二。是48中点，

在RLUOC中，由勾股定理得/0=疯耳就7=石,

ZACO=ZPAO=90°,ZAOC=ZPOA,

AAOCSAPO4,

翁吃艮备套解得尸。=5,

.•.尸（5,0）,Z）f1,0L

.•.3（4,-2）,

答案第3页，共19页

将8(4,-2)代入y=«(x>0)得，-2=),

X4

解得斤=-8,

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的

性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

10.B

【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.连接

NC,2。交于O,根据矩形的性质得到ZDAB=AABC=90°,求得ZAOB=2xAx360。=60°,

推出“08是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解.

【详解】解：连接NC,BD交于O,

四边形是矩形，

NDAB=NABC=90°,

AC,5。是。。的直径，

,••将。。的圆周12等分，，

ZAOB=2x—x360°=60°,

12

"05是等边三角形，

:.边4B即为圆内接正六边形的边,

•••圆内接矩形ABCD的面积为20,

S&AOB=[X20=5,

・••圆内接正六边形面积为6x5=30,

故选：B.

11.+3

【分析】本题考查正负数的意义，根据题意支出为负，则收入为正即可得到答案，熟记正负

答案第4页，共19页

数意义是解决问题的关键.

【详解】解：；在记账本上把支出6元记为-6元，

，收入3元应记为+3元，

故答案为：+3.

12.16

【分析】本题考查菱形的面积计算，菱形的面积等于对角线乘积的一半.

【详解】解：-x4x8=16cm2,

2

故答案为：16.

13.2

【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作

DE1AB,得出CD=0E=1即可求解.

【详解】解：作。E148,如图所示：

；4D平分NC4B,ZC=ZDEA=90°,

CD=DE=1

'：AB=4,

八ABD的面积=—xABxDE=—x4xl=2,

22

故答案为：2

14.13.5

【分析】本题考查了条形统计图，中位数，根据中位数的定义解答即可求解，由条形统计图

获得跟问题有关的信息是解题的关键.

【详解】解：由条形图可得，共抽查了10+15+20+5=5。株黄瓜，

中位数为第25株和第26株黄瓜结所黄瓜根数的平均数，

...中位数是号3=13.5,

故答案为：13.5.

答案第5页，共19页

【分析】本题考查了分式的基本性质，分式化简求值，由分式的基本性质可得机=3左，n=2k,

然后对分式化简，把加=3«,〃=2人代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的基本

性质是解题的关键.

【详解】解：•.•?=?…()，

32

••in—3k,YI—2k,

3m—n/_、3m-n/_、

——%-----■(2m+n)=----------r----------r'(2m+n)

4m2-n27(2加+〃)(2加_〃)

3m-n

—,

2m-n

3x3左一2左

一2x3左一2"'

7k

=我’

_7

二­，

4

7

故答案为：—.

4

16.或0<。<3

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，

熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.首先根据题意求出对称轴X=-g=1,然后分两

种情况：。>0和。<0,分别根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：：二次函数>="2-2依+3,

对称轴》=一g=1,

2a

当a>0时，

•.•当0<x<3时对应的函数值V均为正数，

,此时抛物线与x轴没有交点，

/.A=(-2。『-4ax3<0,

二解得0<a<3;

当a<0时，y=ax2-2ax+3=a(x-l)2-a+3,

♦.•当0<x<3时对应的函数值V均为正数，

答案第6页，共19页

・••当x=0时，>=3>0,

当x=l时，»=一。+3>0,

当x=3时，>=9。一6。+320,

・・・解得

-1WQ<0,

・・・综上所述，

当0<%<3时对应的函数值》均为正数，贝I」。的取值范围为-1«。<0或0VZ3.

故答案为：—1«Q<0或0v。v3.

17.6-3后

【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

先计算零次幕、负整数指数募，再化简绝对值、开方，最后算加减.

【详解】解：原式=1一行+1+4-2融’

=6-3A/2.

18.-1<X<1,整数解为0,1

【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

4(2x-l)<3x+l®

【详解】解：、尤-3…，

[2

解不等式①得：烂1,

解不等式②得：x>-1,

不等式组的解集为-1〈烂1,

不等式组的所有整数解为0,1.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用,

能求出不等式组的解集是解此题的关键.

19.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，证明A/BE父ANCD(AAS),即可证明

BE=CD.

【详解】证明：：CDL48,BELAC,

ZADC=NAEB=90°,

又；N4=N4AB=AC,

答案第7页，共19页

:."BE知ACD(AAS),

3

20.—u—1—

92

【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法

则.

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将。代入计算即可.

2

(a-l)(a+l)3a*2+2a+l

4-廿

-4(a+1)-

a+14—a-

当a=7时，原式==T=一;

222

21.(1)50,72

(2)见解析

【分析】(1)利用“选出篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数,

再利用学生选ZT羽毛球”的人数除以总人数，再乘以360。，即可求得结果；

(2)利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课

程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图；

(3)画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选

修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可.

【详解】(1)解：由题意可得：该班的总人数为：15+30%=50(人)，

学生选。“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：*360。=72。，

故答案为：50；72；

(2)解：由题意可得：

选“8：足球”的学生人数为：12%x50=6(人)，

答案第8页，共19页

选“E：乒乓球”的学生人数为：50-15-9-6-10=10(人)

补全条形统计图如下；

15

1010

10

ABCDE科目

(3)解：画树状图如下：

开始

AB

小小/N小

ABCABCAACAAB

共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种;

41

选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为尸=五=§.

【点睛】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树

状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键.

22.(1)见解析

【分析】(1)连接OD,利用三角形中位线的定义和性质可得OZ)〃8C,再利用平行线的性

质即可证明；

(2)先通过平行线的性质得出=设OD=OA=OB=r,再通过解直角三角

形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC,BG

的长度，即可求解.

【详解】(1)连接加，

答案第9页，共19页

DGIBC,

NBGH=90°,

・・•。是/C的中点，4B为直径,

:.OD//BC,

/BGH=/ODH=90。,

「•直线HG是。。的切线；

(2)由(1)得OD〃BC,

：.ZHBG=ZHOD,

2

cosZHBG=—,

5

/.cos/HOD=—,

5

设OD=OA=OB=Y,

♦：HA=3,

OH=3+/，

在必中，NHDO=90。,

ODr2

...cos/HOD=——=——=-,

OH3+r5

解得r=2,

：.OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7,

・・•。是/C的中点，4B为直径,

BC=2OD=4,

•・・/BGH=/ODH=90。,

:AODHfBGH,

答案第10页，共19页

OHOD52

---=---,即Rn一二---

BHBG7BG

146

...CG=BC—BG=4——=一.

55

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形

的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键.

23.(1)机械臂端点。到工作台的距离。。的长约为6.6m；

(2)QD的长约为3.8m

【分析】(1)过点4作过点5作3月，S,BH上AE,垂足为E、F、H,在RGBCF

中，求得CR=lm,在RtZiB必中，求得BH=4.55m,最后求得的长即可；

(2)在RSBCF中，求得8尸的长，在RtZXB附中，求得的长，最后求得的长.

【详解】(1)如图，过点/作ZELCO,过点5作加UC。，BHLAE,垂足为从F、H,

NFBH=90。,

在RUBCF中，BC=2m,/BCD=60°,

/.NCBF=30。,

CF

cos/BCD=----,

BC

.CF1

••一，

22

;.CF=Im

vZABC=145°f

/.AABH=/ABC-ZCBF-/FBH=145。—30。—90°=25°

在中，AB=5m,NABH=25。

cos/ABH=-----

AB

答案第11页，共19页

;差。0.91,

/.BHx4.55m

.,.在矩形跳5"中，EF=BH=4.55m

AE1CD,CDLOD.AOLOD

，四边形Z£Q。是矩形

•「OA=Im

DE=OA=Im

CD=CF+EF+DE=1+4.55+1^6.6m

•••机械臂端点C到工作台的距离CD的长约为6.6m.

(2)在RM2C/中，BC=2m,NBCD=60°,

BF

sinZBCD=——，

BC

.BF_6

••=,

22

BF=6mx1.73m

在RtA5Z£4中，AB=5m,ZABH=25°

•••sinZABH=-

AB

AH八八

—»0.42,

AH~2Am

■■■在矩形EFBH和矩形AEDO中,

DO=AE=AH+EH=1.73+2.1x3.8m

:.OD的长约为3.8m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

24.(l)y=-金+雪+6

33

或卜避

(3)存在，点〃的坐标为1,或0,-26)或卜,26)

答案第12页，共19页

【分析】(1)根据/点坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线X=l,可得B(3,0),利用

待定系数法即可求得抛物线的解析式；

(2)由图可知，△2DE与面积之间的关系为：同高，故面积之比等于底之比，即

*=隼，作。G〃F轴，交直线8c于点G,作轴，交直线8C于点“，可知

d2AL

△DGESAAHE,得空=当，结合二次函数与直线8C的解析式，即可求解；

AEAH

(3)分三种情况：当NBMC=90。时，BC2=MC2+MB。当NCBM==90°时，MC2=BC2+MB2,

当/3CN=90。时，MB2=BC2+MC2,分别进行讨论即可求解.

【详解】(1)解：..”(TO),抛物线的对称轴尤=1,

.•.8(3,0),

将4(—1,。)，8(3,0)代入y=ax?+队+石，

/—Z)+A/3=0

.[jl9<，

9。+36+6=0

[G

a=---

解得：二，

b-正

[3

•••抛物线的解析式为：y=一』+巫x+6

33

(2)当x=0时，y=也,即C(O,G),

设直线3C的解析式为：y=kx^c,

y\L=i

答案第13页，共19页

将8(3,0),c(o,V5)代入解析式，得

解得：<3,

c=>/3

...直线BC的解析式为：y=_Bx+6

3

作DG〃y轴，交直线8C于点G,

设。点的横坐标为加，

2

贝!J机+6,yG=+>

作加//y轴，交直线3C于点〃，贝I]/=XH=T,

+6=迪

3)3

3

DG〃AH,

：.ZDGE=ZAHE,ZGDE=ZHAE,

:.ADGES^AHE，

.DEDG

・•AE-AH

.•义=些

*S2AE'

q~^-m2+V3m

.d-31231(3丫9

----m-\——m=m+——

一邑42/344412)16

亍

SQ

I.肃的最大值为

*lo

(3)存在，理由如下:

设M点坐标为(1,〃)，

贝1J3C?=(3_0,+(0_6)2=]2,

答案第14页，共19页

MC?=(1-0『+("可=1+(〃-町

A/B2=(l-3)2+n2=4+w2,

当NBMC=90°时，BC2=MC2+MB2,

即：12=1+(〃-6y+4+〃2,

貂徂6+VHV3-A/1T

.••点M的坐标为，叵察］或‘安

当ZCBM=90。时，MC2=BC2+MB2,

BP：1+(〃一6『=12+4+02,

解得：〃=-26，

.•.点M的坐标为(1,-26)；

当/3CA/=90°时，MB-=BC2+MC2,

即：4+〃2=12+1+("-正『，

解得："=26,

.♦.点”的坐标为0,26)；

综上，点M的坐标为,叵空)或\号恒j或(1,-26)或(1,2^3).

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与三角形面积的综合

题、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定及性质、直角三角形的存在问题，分类讨论

是解决问题的关键.

25.(1)®—;②36V编„。6+2行

2

⑵6-26

【分析】(1)①先证明"8C是等边三角形，由点尸、点G都在8c上，且点尸与点3关于

E尸对称，点E是的中点，得EFLBG,BF=GF,则BE=GE,所以A£3G是等边三

角形，得BG=BE=CG=2,则/GL3C,即可求出/G的长，再求出tan/CGD的值；

②由GE=BE=2可知点G在以点£为圆心，以2单位长为半径的圆上运动，当GE，DE时,

答案第15页，共19页

+

S&GED最大，此时S四边物£GD最大；可由S四边形"GO=S/\AED^/\GED求出此时S四边形曲m的值；当点尸

运•动到BC的中点时，S^GED最小，由S四边形4EGD=S△皿）+S^GED求出此时S四边形久石般的值，即得到

金边形4EGD的取值范围；

（2）连接3G,作EHJ.BC于点H,由（1）可知菱形/3CE的对边4D与8c之间的距离

是26，则G厂的长等于点G到位）的垂线段的长，由此证明GF_LBC,再证明

NBFE=NHEF=45。,则FH=EH=CBH,于是有BH+退BH=4,求出瓦7的长，再求出8E

的长即可.

【详解】（1）解：如图，连接4G、AC,

V四边形/BCD是边长为4的菱形，

:・AB=CB=AD=4,ZB=60°,

**•。是等边三角形，

•・•点/、点G都在5C上，且点尸与点5关于斯对称，点E是45的中点，

:,EFtBG,BF=GF,

：.BE=GE,

・•・AEBG是等边三角形