2024年3月莆田市高三数学高考二模质检试卷附答案解析

2024年3月莆田市高三数学高考二模质检试卷

试卷满分150分.考试时间120分钟.2024.03

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.i为虚数单位，iz=l+i,则目=（）

A.1B.41C.百D.2

2.若集合”={3,4,5},4门8={3,4},则集合3可能为（）

A.{2,3,4}B.{2,3,5}C.{3,5,6}D.{4,5,6}

3.某校高三年级有男生600人，女生400人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配

的分层随机抽样抽取样本，得到男生、女生的平均身高分别为173cm和163cm，估计该校高三年级全体学

生的平均身高为（）

A.167cmB.168cmC.169cmD.170cm

4.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点.六氟化硫

具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图

2）.若正八面体外接球的体积为：，则此正八面体的表面积为（）

]—41

5•若尸（存）=历，尸（彳）=不尸（8）="则（）

A.事件A与3互斥B.事件A与B相互独立

13-1

CP…五D.P(AB)=-

6.已知抛物线/=4x的焦点为尸，点M在抛物线上.若点。在圆（x-3了+/=1上，则+的

最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

7.已知角。的顶点为坐标原点，始边与1轴的非负半轴重合，把它的终边绕原点逆时针旋转角，后经过

点则sin“=()

1633—5663

A.—B.—C.—D.—

65656565

8.对于函数y=/(x)和y=g(x),及区间。，若存在实数4,6,使得/(x)2丘+62g(x)对任意xe。恒

成立，则称＞=/(x)在区间。上“优于"V=g(x).有以下四个结论：

①/(x)=COSX在区间R上“优于"g(x)=1-；

②/(x)=tanx在区间上“优于"g(x)=sinx；

③f(x)=e*-1在区间(-l,+oo)上“优于"g(x)=ln(x+l)；

④若/'(x)=ox(x-l)在区间(0,+e)上“优于"g(x)=lnx,则。=1.

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=siiucosx,则()

B.〃x)的最大值为1

C.〃x)在词上单调递增

D.将函数/(无)的图象向右平移兀个单位长度后与/(x)的图象重合

10.在正方体48a中，点M在平面NCR上异于点C),则()

A.直线与。与CM垂直.

B.存在点使得CM〃A8i

C.三棱锥4-8G/的体积为定值

2

D.满足直线G"和4G所成的角为三的点〃的轨迹是双曲线

11.已知定义在R上的函数/(x)满足：/(x+y)=/(x)+/(y)-3j(y(x+y),则()

A.y=/(x)是奇函数

B.若〃1)=1,则/(-2)=4

C.若=则>=/(尤)+/为增函数

D.若Vx>0,/(x)+x3>0,则y=f(x)+x3为增函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知3=(1,。),晨3=2,则向=,B在)上的投影向量的坐标为.

13.已知AABC的内角4及。的对边分别为。，“c,若cosC=，,a=2忌，则cos/=.

14.如图，点。是边长为1的正六边形N8COE厂的中心，/是过点O的任一直线，将此正六边形沿着/折

叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛g｝的前〃项和为5.，公差dwO,且电,%，%成等比数列，£=15.

(1)求数列｛七｝的通项公式；

⑵若b„=1'；然:'求数列抄“｝的前2n项和Tln.

16.如图，在四棱柱/BCD-44GA中，底面/BCD为直角梯形，AB±AD,AB//CD,CD=2AB.

(1)证明：8。〃平面48。；

3

⑵若AAtl平面ABCD,AB=AAi=1,AD=2,求二面角A「BD「D的正弦值.

17.某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀

的股子.若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6

的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”.

(1)据往年统计，顾客消费额X(单位：元)服从正态分布N(130,25).若某天该商场有20000位顾客,

请估计该天消费额X在［105,180］内的人数；

附：若X~N(〃,cr2),则尸(〃-bVXV〃+b)*0.6827,尸(〃-2(TVXW〃+2O•b0.9545.

31

(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为a,刮出乙奖品的概率为

①求顾客获得乙奖品的概率；

②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率.

18.已知椭圆£：・+%=1(。>6>0)的离心率为:，且£上的点到右焦点的距离的最大值为2+G.

(1)求椭圆E的方程；

⑵己知。为坐标原点，对于E内任一点尸，直线。交E于4c两点，点反。在£上，且满足丽=2丽，

求四边形48CD面积的最大值.

19.已知函数/'(x)=e*-/nx,xe(O,+8).

(1)证明：当/Ve时，/(x)>0；

⑵若函数g(x)=/(x)-尤hu-1有两个零点玉,马.

①求加的取值范围；

②证明：再+lnx2<m~~~■

1.B

【分析】根据复数的除法化简运算，在根据模长公式求解即可得答案.

【详解】因为iz=i+i,所以z=7=9=1-i,则目=［『+(-1)2=VL

故选：B.

2.A

【分析】根据题中条件逐项验证即可.

【详解】对于A,若3={2,3,4},则/c3={3,4},

4

符合题意，故A正确;

对于B,若5={2,3,5},则/口8={3,5},

不符合题意，故B错误；

对于C,若8={3,5,6},则4口8={3,5},

不符合题意，故C错误;

对于D,若3={4,5,6},则/cB={4,5},

不符合题意，故D错误，

故选：A.

3.C

【分析】根据题意结合平均数的计算公式运算求解.

【详解】由题意可得：估计该校高三年级全体学生的平均身高为0.6x173+0.4x163=169（cm）.

故选：C.

4.D

【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半

径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.

【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接AC,BD,PE,设/CcBD=O,

根据其对称性可知，PE过点O,

又该八面体为正八面体，则面48c0,又/Ou面48cD,故尸OL/O；

显然正八面体的外接球球心为。，设其半径为R,PA=a,

则尸=A,在直角三角形尸/。中，a=PA=^OA2+OP2=72/?；

47r47r

由々-斤=工-可得R=1,贝!Ja=；

故该八面体的表面积S=8x立/=2、/5x2=4y/”.

5

故选：D.

5.B

【分析】对于A,由尸(/B)HO即可判断，对于B,由对立事件概率公式以及独立乘法公式验证；对于C,

由尸(4+3)="(4)+尸(3)-尸(48)即可判断;对于D,由尸(五8)=尸尸(/2)即可判断.

32211

【详解】对于AB,P(^)=l--=-,MJP(^)JP(S)=-x-=—=^(^5)^0,故A错误B正确；

对于C,尸(/+8)=尸(/)+尸(8)-尸(/3)=；+|-5=5,故C错误；

_11Q

对于D,Pi^AB)=—P^AB^=—YQ=2Q,故D错误.

故选：B.

6.C

【分析】画出图形结合抛物线定义、三角形三边关系以及圆上点到定值线距离的最值即可求解.

由题意抛物线r=4尤的准线为x=-l,它与x轴的交点为(-1,0),焦点为尸(1,0),

过点M向抛物线的准线引垂线，垂足为点N,

设圆。-3『+：/=1的圆心为网3,0),已知圆与x轴的交点为点后，

\MF\+\MQ\=\MN\+\MQ\>\NQ\>|诋|一归°|=|2VP|-r=|^|-1>|DP|-1=4-1=3,

且\MF\+\MQ\=3成立的条件是M,O重合且QE重合，

综上所述，|儿加|+|同。|的最小值为3.

故选：C.

7.B

【分析】根据同角三角函数关系求得sin",cos£的值，再结合正弦两角差公式即可得sina的值.

6

【详解】因为tan£=g£《O,/所以3夕=黑吃则sm£=*s£,

144(71\1?5

又sin2/?+cos2〃=l,所以COS2/?=7^,由£e|0,彳|得cos/?=不，贝ljsin〃=：n

169I2J1313

(43、43

由题意可知角a+£的终边经过点[不,贝1人击(。+夕)=),(：05(。+/)=不，

Ain3533

所以sine=sin[(c+£)-£]=sin(a+4)cos尸-cos(ar+^)sin^=yx---x—=—

故选：B.

8.B

【分析】对于①②:根据题意结合函数图象分析判断;对于③:构建函数/卜)=/⑺-x,G(x)=g(x)-x,

利用导数判断函数单调性，可证f(x"x2g(x),x>7；对于④：根据〃l)=g⑴=0结合公切线可得

a=l,并检验.

【详解】对于①：若cosx2Ax+6在区间R上恒成立,

结合余弦函数的图象可知：k=0,b<-\,

若左=0,64-1,此时>=6与g(x)=l-g/必有两个交点,

由图象可知：6,1-0‘不恒成立'

即不存在实数上泊，使得/(无"依+6g@)对任意xeR恒成立，故①错误;

tanx,xG

7171

结合正切函数图象可知，不存在在实数左力,使得+6对任意恒成立，故②错误;

252

7

对于③：构建b(x)=/(x)-x=eX-x-l,x>-l,

则F(x)=ex-I,x>-1,

令尸(x)>0,解得x>0；F(x)<0,解得-l<x<0；

可知尸(x)在(TO)内单调递减，在(0,+功内单调递增，

则P(x)士尸(0)=0,gp/(x)>x,x>-l；

构建G(x)=g(x)-x=ln(x+l)—JC,X>-1,

1Y

贝!JG'(x)=--1=-----,x>-1,

令G[x)>0,解得T<x<0；G(x)<0,解得x>0；

可知G(x)在(0,+s)内单调递减，在(-1,0)内单调递增，

则G(x)4G(0)=0,即g(x)4x,x>-1；

综上所述：/(%)>%>g(x),x>-l,

即存在实数上=1,6=0,使得/(无)2丘+62g(x)对任意xe(T,+8)恒成立,

所以/(x)=e*-1在区间(-1,+8)上“优于"g(x)=In(x+1),故③正确；

对于④：因为八l)=g⑴=0,且/'(x)=a(2x-l),g'(x)=：,

若/(x)="(X-1)在区间(0,+8)上“优于"g(x)=lnx,

可知符合条件的直线>=h+匕应为/(x),g卜)在x=1处的公切线，

则/'⑴=g'。)，可得。=1,则切线方程为>=x-l,

构建，(x)=/(x)-x+l=(x-l)2"在即xe(0,+8)内恒成立，

可得/(x)2x-l,x>0；

由③可知：ln(jc+l)<jc,x>-l,可得lnx4x-l,x>0;

综上所述：/(x)>Jc>g(x),Jc>0.

所以。=1符合题意，故D正确;

8

故选：B

【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明/(x)2x2g(x),x>-l；

对于④：根据/'(i)=g(i)=o,结合题意分析可得了'(l)=g'(l),即可得a=l,注意检验.

9.AD

【分析】由二倍角公式化简函数表达式，可直接判断AB,举反例判断C,由函数平移变换法则可判断

D.

【详解】对于AB,f(x)=sinxcosx=^-sin2x<^,/f｝山5=:,故A对B错；

当/(-Llsin2E=l>/f2ZE]=lsin^=故C错误；

[4222I8J244

将函数/(无)的图象向右平移兀个单位长度后的图象所对应的函数表达式为

/(x)=gsin2(尤一7t)=；sin2x,故D正确.

故选：AD.

10.ACD

【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可判断A；采用反证的方法判断B；根据三棱锥的体

积公式判断C；结合圆锥曲线的形成判断D.

【详解】对于A,在正方体488-4月。。1中，8片，平面/BCD,/Cu平面/BCD,

故又BD工AC,且BBicBD=B,BBi，BDu平面B&D,

故ZC_L平面目3。，BQu平面B[BD,故AC，BD,

同理可证AD,1BD,AD}^AC=A,ADi,AC^^ACDl,

故BQ1平面ACD,,CMu平面ACD,，故BQVCM,A正确;

对于B,由于3月〃D。，假设存在点M,使得CM〃84,而CNu平面NCR,

9

BB\<z平面ACDlt则BBl//平面ACDt,则DDt//平面ACDt或DD{u平面4C%,

而直线与平面AC%显然相交，故B错误；

对于c,由于2G〃/尻2G=/8,故四边形/8G2为平形四边形，

则8G〃N2，/Qu平面NCR,8G<Z平面NCR,故8G〃平面NCR,

同理可证4G〃平面NCR,4GnBC{=G,4GGu平面43G,

故平面45G〃平面ACDt,即平面48G和平面4CDI之间的距离为定值，

而M€平面/C2,故M点到平面42G的距离为定值，

由于V4BG的面积为定值，故三棱锥/-43G的体积为定值，

则三棱锥4-80/的体积为定值，c正确；

对于D,直线G"和4G所成的角为W，则M轨迹为以4G为轴、以G"所在直线上的线段为母线的

圆锥被平面NCR所截得的曲线，

由于4G〃平面NCR,结合圆锥曲线的形成（淡蓝色部分为双曲线），

可知满足直线G"和4c所成的角为方的点”的轨迹是双曲线，D正确

故选：ACD

11.ABD

【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选

项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：定义域为R,关于原点对称；

对原式，令x=y=O,可得/⑼=2〃0）,解得/（0）=0；

10

对原式，令〉=-工，可得f(o)=/(x)+“T),即“X)+/'(_”=0,

故y=f(x)是奇函数，A正确；

对B：对原式，令x=y=l,可得〃2)=2〃1)一3x2,

又/⑴=1，贝Uf(2)=2xl-6=-4；

由A可知，y=/(x)为奇函数，故/(-2)=-[(2)=4,故B正确;

对C：由A知，[(0)=0,又/(1)=-1,对了=/(力+》3,

当x=0时，>=/(0)+0=0；当x=l时，>=/(1)+1=0；

故y=/(x)+x3在/⑴=一1时，不是单调增函数，故C错误；

对D：在R上任取%>%,令Mx)=f(x)+x3,

贝(]〃(国)一〃(尤2)=/(再)+)；—/()2)-只

=/[(%1-X2)+X2]-/(X2)+(%1-X2)(X+4+占@

=-x2)+f(x2)-3(x,-x2)x2[(玉一龙2)+^2]-Xxj{X]-x)(彳+石+玉@

=f-x2)-3xtx2(X,-X2)+(X1-X2)(XI+xl+X]xj

=/(X)-X2)+(Xj+Xj-2XJX21

=〃X]-%)+(X]_X2)3,

由题可知Vx>0J(x)+x3>0,又再-12>0，故/(尤1一%)+(西一工2丫>0，

即访(国户力5)>°，”(再)>〃("),故了=〃(尤)在R上单调递增,

也即y=/(x)+/在R上单调递增，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值;

二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D选项处理过程中，对[(七)合理变形为

/[(^-x2)+x2],进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题.

11

fl走］

12.2

、乙2’乙2)

【分析】根据向量的模长的坐标计算公式，代入数值即可求得同；根据投影向量的计算公式，结合已知

条件，即可求得投影向量的坐标.

【详解】因为］=(1,G),故同="2+(若『=2；

一一_/I~\

B在让的投影向量为7xj=又)=(1,理则京=［；，?

0

故B在a上的投影向量的坐标为

-

故答案为：2；-9-z.

1

13.——

3

【分析】根据余弦定理可得。=36,再利用余弦定理即可得cos4的值.

【详角军】由余弦定理可得^二片+从―2Q6COSC=1262+62—2x2^〃招=9b：,

3

所以c=3b,

1

b+02_Q2b2+9b2-l2b2_-2b2_1

于是有cosA=

2bc2b-3b——­3

故答案为：

14.673-9

【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求

出最值即可.

如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大,

12

此时，折叠后面积为正六边形面积的：与△尸九w面积的3倍的和.

由正六边形的性质和对称性知，PM+PN+MN=\,NMPN=120°,

在△尸儿W中，由余弦定理可得：

MN2=（1-PM-PN｝2=PM2+PN2-2-PM-PNCOS120,

^2（PM+PN）-PM-PN-1=Q,

由基本不等式可知PM+PN>2dpM-PN，则0之NPM•PN-PM-PN-1,

故PM-PN-41PM•PN+l>0»

因0〈尸M<1,Q<PN<1,解得尸ArPNV（2-6）2=7一46，

当且仅当2攸=尸眩=2-#时等号成立，

故国弧=Q尸M.PNsin120。4彳（7-亚），

又正六边形的面积S=6x1=XA,

42

所以折叠后的面积最大值为：字（7-4班卜3+，<?=6/-9.

故答案为：6A/3-9.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而

得解.

15.（l）a„=«（2）7；„=«2+1（4n-l）

【分析】（1）根据题意列式求生,",进而可得结果；

（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.

%+2d=3

S5=5。3—15

【详解】（1）由题意可得:

a：=a2a8(4+3d『=(4+d)(4+7(7)'

且dW0,解得ax=d=\,

所以数列｛4｝的通项公式%=1+〃T=〃.

凡〃为奇数

（2）由（1）可得”二

2〃,〃为偶数'

13

可得T2n=4+b2+--+b2n=(4+&+2+621)+(62+64+3+62〃)

/\/242n\"(1+2”1)4(1-4〃)

=(1+3+---+2W-1)+(22+24+--«+22J=-^一-——1+；J

=n2+|(4"-l),

所以耳=/+g(4"-l).

16.(1)证明过程见解析(2)半

【分析】(1)取G2中点M,C。中点N,连接B\M,CM,BN,D\N,通过线面平行、面面平行的判定

定理首先得平面用CM”平面48,，再利用面面平行的性质即可得证;

(2)建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角余弦的坐标公式结合三角函数平方

关系即可得解.

【详解】(1)如图：

取。口中点M,C0中点N,连接B\M,CM,BN,D、N,

一方面：因为4B//CD,CD=2AB,

所以4B〃ND,4B=ND,即四边形/BND是平行四边形,

所以BN//AD,BN=AD,

又40〃42,40=42,

所以BN〃42,5N=42,即四边形4及是平行四边形,

所以NDJ/4B,

因为MDJICN,MD\=gGR=；CD=CN,

所以四边形"2NC是平行四边形，所以CM7/ND1,

仄而CM//A\B,

14

又因为CM<z面AXBDX,48u面AXBDX,

所以CM//面4区0],

另一方面：又因为44//四2,44,

所以四边形A^MD,是平行四边形，所以4"///Q,

又因为B[M<z面A[BD[,40u面AlBDl,

所以/面48A，

结合以上两方面，且注意到CNcJBm=M,CMJ8眼u平面4CN,

所以平面B、CMII平面4皿,

又4Cu平面4cM,

所以4c〃平面4BA；

（2）若平面48cD,又48,40u平面48c。，

所以/4_LAB,/4_LAD,

又AB工AD,

所以以A为原点，以4民组所在直线分别为X,%z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4（0,0,1）,5（1,0,0）,£>（0,2,0）,^（0,2,1）,

所以丽=（一1,2,0）,西=（0,0,1）,还=（1,0,-1）,西=（0,2,0）,

设％=（X],%zJ是平面Big的法向量，

fn}・BD=0f-x+2y.=0

则，------，即《八，令必=1，解得项=2/1=0,

丹•DR=0[马=0

即可取平面m2的一个法向量为子=（2,1,0）,

15

设内=(%J2/2)是平面的法向量,

n2•AXB=0x,-z9=0

则＜即"，令Z2=l,解得％=1,%=0,

〔2%=0一

n2-42=0

即可取平面48,的一个法向量为Z=(1,0,1),

设二面角4-BD「D的大小为e,

忖同—2_M

丽

所以sin0=巫，即二面角4-BD厂D的正弦值为叵.

55

3721

17.(1)16372(2)®—；②不

【分析】(1)由题意尸(105WXW180)=尸(〃-bVXW〃)+尸(〃4x(〃+2b),由此结合题中数据以及

对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；

1711

(2)由题意有P(4)=g,尸(切4)=77,尸(为4)=:，进一步分3大种情况求得尸(4)=『对于①，

o1646

由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.

【详解】(1)由题意P(105VX4180)=P(1054X4130)+尸(1304x4180)

=P(〃一bVXW〃)+尸(〃V_rV〃+2b).1(0.6827+0.9545)-0.8186,

若某天该商场有20000位顾客，

估计该天消费额X在［105,180］内的人数为0.8186x20000=16372；

(2)设事件4="顾客中龙腾奖”，事件4="顾客中旺旺奖”，事件2="顾客获得乙奖品”,

由题意知尸⑷.总尸(814)=1-图q”⑷=；,

事件4包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和

为18”，

则(i)若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2

点”，三类情况，

共有砥1+人；+1=3+6+1=10种；

16

(ii)若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点，5点”,“2点，4点，6点”,

“3点，4点,5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点,4点”,六类情况，

共有人；+《＜2；+人；+人；+(2；(2；+1=6+3+6+6+3+1=25种；

(iii)若“3枚骰子的点数之和为18”,则有“6点，6点,6点”,一类情况,

共有1种;

而方10+25+1361

所有尸⑷下蓝，

171137

①由全概率公式可得尸伍)=尸(4)尸⑷4)+尸(4)尸(切4)=£”+£:=荔7,

o10O43o4

37

即顾客获得乙奖品的概率为B;

384

②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是

J.7

*4吐*■4)尸(34)8、16，1

P(B)3737

384

所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是二.

37

18.(1)^+/=1(2)3

【分析】(1)由离心率公式以及焦半径的最值列出方程组，结合62=/一02算出见。即可;

(2)分直线/C是否垂直于无轴进行讨论即可，当直线ZC不垂直于X轴时，由弦长公式、点到直线的

距离公式表示出四边形/BCD的面积(含参数上,％),进一步结合过点3与直线NC平行的直线/与椭圆

至少有一个交点，由此,从而即可进一步求解.

【详解】(1)由题意可得0=9=迫,a+c=2+6,

a2

所以a=2,c=5/3,Z>2=a2-c?=1,

所以椭圆£的方程是片+丫2=1；

4-

(2)设点8到直线4C的距离为d,

因为丽=2而，所以点B到直线AC的距离是点D到直线AC的距离的2倍，

所以四边形/BCD的面积为5=5./匿+5“8=3/0,+，/1：=：］/16?,

当直线/C垂直于x轴时，|/C|=2,点3到直线NC的距离的最大值为2,

3

止匕时S=—x2x2=3,

4

17

当直线/C不垂直于X轴时，可设直线ZC的方程为'=日，

代入椭圆方程《+/=1,整理并化简得小=二7,即/=±2可+1,

4,1+4后24左2+1

所以一

设过点3与直线/C平行的直线/的方程为>=丘+，"，

代入椭圆方程1+/=1,整理并化简得(1+4左2+8•x+4/7?-4=0,

由△=64左2加2-40+4无2)(4加2>o=>m2<4k2+1,

所以「

g-S小・音=3,等号成立当且仅当上=0且机=1,

综上所述，四边形/BCD面积的最大值为3.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键是求出四边形面积表达式，还有一个约束条件是过点8与直线/C平

行的直线/与椭圆至少有一个交点，由此即可顺利得解.

19.(1)证明见解析(2)①(e-l,+co)；②证明见解析

【分析】(1)求导，分类讨论判断了(x)的单调性，结合单调性和最值分析证明；

/、T1px1

(2)①令g(x)=0,整理可得加-Inx-」=0,^h(x)=--m-\wc--,x>0,求导，利用导数判

XXXX

%i1Jy

断单调性，结合单调性分析零点问题；②分析可知原不等式等价于In(芭马)e芭-}-三，构建函

xi1Jy

数证明止1（再％2）<0<-e--%]-------即可.

【详解】(1)由题意可得：函数/切，且x>0,m<e,

18

若加,则/'(x)=e"一加>1一次NO在(0,+8)内恒成立，

可知/(x)在(0,+“)内单调递增,可得/⑺>/(O)=1-加N0；

^l<m<e,令/'(x)〉0,尚牟得x>ln加；令/'(x)<0,角军得0<xvln加；

可知/(x)在(0,In加)内单调递减，在(In加,+。)内单调递增，

可得f(x)~/(inm)=m(1-Inm),

_&l<m<e,则In冽(1,则加(l—ln加)>0；

综上所述：当冽We时，/(x)>0.

(2)①由题意可得：g(x)=ex-mx-xlwc-l,

令g(x)=0,整理可得h-〃Llnx-，=0,

XX

设〃(X)=《一/M-1IU-L,X>0,则"⑴―L_L=(U),

xxXXX1X2

且x>0,可知e「1〉0,

令〃(x