2023-2024学年广西防城港市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西防城港市九年级（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项

1.（3分）2023年11月5日，以“逐梦新时代•青春更精彩”为主题的第一届全国学生（青

年）运动会在广西壮族自治区南宁市开幕.以下各类运动会的会徽图是中心对称图形的

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2。〉

2.（3分）一元二次方程2?+3x-1=0的一次项系数是（）

A.2B.-1C.1D.3

3.（3分）''打开电视，正在播广告”这一事件是（）

A.必然事件B.确定事件

C.不可能事件D.随机事件

4.（3分）抛物线y=W+l的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,1）D.（1,0）

5.（3分）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则

至少应将它旋转的度数是（）

★

A.144°B.90°C.72°D.60°

6.（3分）已知A3是半径为3的圆的一条弦，则A8的长不可能是（）

A.3B.5C.6D.7

7.（3分）抛物线y=7+2x+c与冗轴只有一个公共点，则c的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

8.（3分）如图，是。。的直径，若AC=2,Z£>=60°,则8c长等于（）

c

A

A.4B.5C.V3D.2M

9.（3分）某校九年级足球赛实行单循环赛制，即每两支球队都要踢一场，共举行比赛15

场，设参加比赛的球队有x支，则可列方程为（）

A.x（x+1）=15B.x（x-1）=15

C-yx（x-1）=15D.-^-x（x+1）=15

10.（3分）如图，。。的半径为2,C1是函数的图象，C2是函数y=--的图象，则

阴影部分的面积是（）

A.TTB.2nC.4TTD.都不对

11.（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间，（单位：s）的函数解析

式是S=60LL5»,那么飞机着陆后滑行的最远距离为（）

A.600mB.400mC.300mD.200/T?

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（1,0）,A（1-ZM,0）,B（l+m,0）

（机＞0）,点P在以。（4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足NAPB=90°,

C.D.5WmW7

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）

13.（2分）平面直角坐标系内与点P（-1,2）关于原点对称的点的坐标是.

14.（2分）抛物线y=x2+2x的对称轴是直线.

15.（2分）一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏

16.（2分）如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开

关A、8都可以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率

17.（2分）若x=-1是方程/+x+m=O的一个根，则该方程的另一个根为.

18.（2分）我们定义一种新函数：形如（a#0,从-4ac>0）的函数叫做‘'鹊

桥”函数.小蕾同学画出“鹊桥"函数y=|?-2x-3］的图象（如图所示），并写出下列

四个结论：

①图象与坐标轴的交点为（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②当x=l时，函数有最大值4；

③当-IWXWI或时，函数值y随x值的增大而增大；

④函数与直线y=m有4个公共点，则m的取值范围是0〈根<4.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19.（6分）解方程：？-2x-2=0.

20.（6分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目

的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31,则这种

植物每个支干长出多少个小分支？

21.（10分）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片.

（1）请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，

保留作图痕迹，不用写作法）.

（2）在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是110cm,求车

轮滚动一圈直走的路程（结果保留n）.

22.（10分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技杰作，其中它收录了计算圆弧长度的“会

圆术”.如图，源是以点。为圆心，OA为半径的圆弧，M是褊的中点，MOLAB于点

N.“会圆术”给出源的弧长近似值s的计算公式：s=AB+&_,己知OA=4,ZAOB

0A

=60°.

（1）求s的值；

（2）记实际弧长为/,求|/-s|的值约为多少？（结果保留两位小数，参考数据皿Q3.14,

代弋1.73）

23.（10分）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物.在

一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的

盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同.小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，

抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张.

（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率（填“相同”或“不同”）；

（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率.

24.（10分）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计抛物线型拱桥的广告牌？

素材1某文化园搭建一座抛物线型拱

桥.如图①，桥在路面的跨度48

的宽为20〃?，桥拱最高处距离路

面的距离为8，”.

素材2在实际搭建时，需在桥拱下方安

置两个桥墩进行支撑，为了美观,

要求两个桥墩关于桥拱对称轴对

称.如图②，桥墩CD=EF=4〃?.

素材3如图③，在两个桥墩上搭一个限图

C〃限高横杠E③

高横杆CE,现要在桥拱下方，横

杆CE的上方设置一个面积为ADFB

18病的矩形广告牌，要求矩形广

告牌的一边落在CE上，矩形长、

宽均为整数，且矩形广告牌关于

桥拱的对称轴对称.

问题解决

任务1确定桥拱形状如图①，以AB的中点。为坐标原点建立平面直角坐标

系，求抛物线的函数表达式;

任务2确定桥墩位置求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）;

任务3拟定设计方案给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求

出矩形广告牌右上方顶点的坐标.

25.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC于点。，E是AC上一点，以BE为直

径的交BC于点F,连接。E,DO,且/。。8=90°.

（1）求证：AC是。。的切线;

（2）若。尸=1,DC=3,求BE的长.

A

26.（10分）数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，AABC

和△OEC是两个全等的直角三角形纸片，其中/B=/E=30°,乙4cB=/OCE=90°.

【操作发现】（1）如图1，智慧小组将△QEC绕点C顺时针旋转，发现当点。恰好落在

A8边上时，可求出旋转角的度数为°；

【猜想证明】（2）如图1,在（1）的条件下，智慧小组猜想OE〃AC,请你帮他们证明

这个猜想成立；

【拓展探究】（3）超越小组在智慧小组的基础上继续探究，当△OEC绕点C继续旋转到

如图2所示的位置时，连接AE,BD,他们提出SABDC=SAAEC,请你帮他们验证这一结

论是否正确，并说明理由.

2023-2024学年广西防城港市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项

1.（3分）2023年11月5日，以“逐梦新时代•青春更精彩”为主题的第一届全国学生（青

年）运动会在广西壮族自治区南宁市开幕.以下各类运动会的会徽图是中心对称图形的

【解答】解：选项4、C、力的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与

原来的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是

中心对称图形.

故选：B.

2.（3分）一元二次方程2?+3x-1=0的一次项系数是（）

A.2B.-IC.ID.3

【解答】解：一元二次方程2^+3x-1=0的一次项系数是3,

故选：D.

3.（3分）“打开电视，正在播广告”这一事件是（）

A.必然事件B.确定事件

C.不可能事件D.随机事件

【解答】解：“打开电视，正在播广告”这一事件是随机事件.

故选：D.

4.（3分）抛物线y=/+l的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,1）D.（1,0）

【解答】解：抛物线y=f+l的顶点坐标是（0,1）,

故选：c.

5.（3分）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则

至少应将它旋转的度数是（）

女

A.144°B.90°C.72°D.60°

【解答】解：如图，设。的是五角星的中心，

•••五角星是正五角星，

NAOB=ZBOC=ZCOD=ZDOE=ZAOE,

•••它们都是旋转角，

而它们的和为360°,

至少将它绕中心顺时针旋转360+5=72°,才能使正五角星旋转后与自身重合.

故选：C.

6.（3分）已知AB是半径为3的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）

A.3B.5C.6D.7

【解答】解：:AB是半径为3的圆的一条弦，

•••A8是直径时最长，

•••圆的直径是2X3=6,

：.0<AB^6,

的长不可能是7.

故选：D.

7.（3分）抛物线y=f+2x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

【解答】解：由题意得：关于x的方程0=/+2x+c有两个相等的实数根,

，A=4-4c=0,

解得：c=l,

故选：B.

8.（3分）如图，A8是。。的直径，若4C=2,ZD=60°,则8C长等于（）

C.V3D.273

【解答】解：TAB是。。的直径,

，NACB=90°,

：/。=60°,

:.BC=MAC=2M，

故选：D.

9.（3分）某校九年级足球赛实行单循环赛制，即每两支球队都要踢一场，共举行比赛15

场，设参加比赛的球队有x支，则可列方程为（）

A.x（x+1）=15B.x（x-1）=15

C，（x~l）=15D.yX（x+1）=15

【解答】解：根据题意得：Xx（x-1）=15.

2

故选：C.

10.（3分）如图，。。的半径为2,Ci是函数的图象，C2是函数y=的图象，则

阴影部分的面积是（)

A.nB.2TtC.4TTD.都不对

【解答】解：是函数y=7的图象，C2是函数y=的图象，

...两函数图象关于x轴对称，

.••阴影部分面积即是半圆面积，

...阴影部分的面积5=1兀x22=2TC.

2

故选：B.

II.（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间f（单位：s）的函数解析

式是s=60r-1.5»,那么飞机着陆后滑行的最远距离为（）

A.600/7/B.400/«C.300mD.200M?

【解答】解：：s=60L1.5尸=-1.5（L20）2+600,

...当f=20时，s取得最大值，最大值为600,

二飞机着陆后滑行的最远距离为600/H,

故选：A.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，己知点E（1,0）,4（1-w,0）,B（1+M,0）

（m>0）,点尸在以。（4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足NAPB=90°,

则m的取值范围是（）

A.3W，〃W5.5B.3WmW6C.D.

【解答】解：,:E(1,0),A(1-m,0),B(\+m,0)(w>0),

'.AE=\-(1-zn)=m,BE=m+\-\=m,

..AE=BE=m,

VZAPB=90Q,

:・PE=AE=BE=m,

如图连接。E交。力于点P",延长ED交。。于P',此时EP'最大，EP"最小

VA(1,0),D(4,4),

：.ED=5,

：.EP'=5+1=6,EP"=5-1=4,

的最大值为6,最小值为4,

.,.4</nW6.

故选：C.

AO\/EBx

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）

13.（2分）平面直角坐标系内与点P（-1,2）关于原点对称的点的坐标是（1,-2）.

【解答】解：平面直角坐标系内与点尸（-1,2）关于原点对称的点的坐标是（1,-2）.

故答案为：（1,-2）.

14.（2分）抛物线y=，+2x的对称轴是直线x=-1.

【解答】解：：y=/+2x,

抛物线对称轴为直线x=-2=-1,

故答案为：x=-1.

15.（2分）一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏

【解答】解：圆锥的母线长={9+42=5（cm）,

所以该圆锥形漏斗的侧面积=2・271・3・5=15冗（cm2）.

2

故答案为：15n.

16.（2分）如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开

关A、B都可以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是1.

-3一

【解答】解：•••闭合开关C或者同时闭合开关A、B,都可使小灯泡发光，

任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合C这1种结果,

二小灯泡发光的概率为2.

3

故答案为：1.

3

17.（2分）若x=-1是方程/+x+机=0的一个根，则该方程的另一个根为0.

【解答】解：设该方程的另一个根为f,

根据题意得-l+f=-1,解得f=0,

即该方程的另一个根为0.

故答案为0.

18.（2分）我们定义一种新函数：形如（a#0,y-4“c>0）的函数叫做“鹊

桥”函数.小蕾同学画出“鹊桥”函数y=*-2x-3］的图象（如图所示），并写出下列

四个结论：

①图象与坐标轴的交点为（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②当x=l时，函数有最大值4；

③当-IWXWI或x23时，函数值y随x值的增大而增大；

④函数与直线y—m有4个公共点，则m的取值范围是0VmW4.

其中所有正确结论的序号是①③

y

O；x

【解答】解：令y=*-2x-3|=0,解得xi=-1,%2=3,即图象与x轴有两个交点（-

1,0）,（3,0）,

令x=0,得y=3,即图象与y轴的交点为（0,3）,

即图象与坐标轴的交点（-1,0）,（3,0）和（0,3）,故①正确.

由图象可知，当x<-l时，函数值随x的减小而增大，当x>3时，函数值随x的增大

而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x=l时的函数值4并非最大值，故②错误.

根据函数的图象和性质，发现当-IWXWI或x23时，函数值y随x值的增大而增大，

故③正确.

由图象可知，函数与直线有4个公共点，则〃?的取值范围是0<巾<4,故④错误.

故答案为：①③.

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19.（6分）解方程：？-2x-2=0.

【解答】解：移项，得

X2-2x—2,

配方，得

x2-2x+\—2+\,即（x-1）2=3,

开方，得

X-1=±愿.

解得XI=1+禽，X2=l-V3.

20.（6分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目

的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31,则这种

植物每个支干长出多少个小分支？

【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则主干上长出x个支干，支干上共

长出7个小分支，

根据题意得：l+x+/=31.

整理得：/+x-30=0,

解得：x\—5,xi--6（不符合题意，舍去）.

答：这种植物每个支干长出5个小分支.

21.（10分）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片.

（1）请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，

保留作图痕迹，不用写作法）.

（2）在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是110cm,求车

轮滚动一圈直走的路程（结果保留TT）.

【解答】解：（1）同心圆。即为所求;

（2）大圆的周长为：llOncm,

:.车轮滚动一圈直走的路程1101Tm.

22.（10分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技杰作，其中它收录了计算圆弧长度的“会

圆术”.如图，窟是以点。为圆心，0A为半径的圆弧，M是褊的中点，于点

N.“会圆术”给出篇的弧长近似值s的计算公式：s=AB+&_,已知。4=4,ZAOB

0A

=60。.

（1）求s的值；

（2）记实际弧长为/,求|/-s|的值约为多少？（结果保留两位小数，参考数据n、3.14,

收七1.73）

【解答】解：（1）-：OA=OB,MOA-AB,ZAOB=60°,

AAOB是等边三角形，

・・・A8=O4=4,

在RtZXAN。中，ZAON=^ZAOB=30°,

2

:.NA=2,。7=2料，

MN=OM-ON=4-243,

.•—止=4+（*）2次

0A411

（2）•”=60兀X4=4兀

,-180~3~,

：.\l-s\=\^-L-（11-473）1^0.11.

3

23.（10分）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物.在

一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的

盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同.小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，

抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张.

（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率相同（填“相同”或“不同”）；

（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率.

【解答】解：（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率相同，

故答案为：相同；

（2）把“泰宝”和“凤娃”两种吉祥物分别记为：A、B,

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种,

抽到不同图案卡片的概率为且=2.

123

24.（10分）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计抛物线型拱桥的广告牌？

素材1某文化园搭建一座抛物线型拱

桥.如图①，桥在路面的跨度AB

的宽为20加，桥拱最高处距离路

面的距离为8m.

素材2在实际搭建时，需在桥拱下方安

置两个桥墩进行支撑，为了美观,

要求两个桥墩关于桥拱对称轴对

称.如图②，桥墩CQ=EF=4〃?.

素材3如图③，在两个桥墩上搭一个限

高横杆CE,现要在桥拱下方，横

杆CE的上方设置一个面积为

18,#的矩形广告牌，要求矩形广

告牌的一边落在CE上，矩形长、

宽均为整数，且矩形广告牌关于

桥拱的对称轴对称.

问题解决

任务1确定桥拱形状如图①，以A8的中点。为坐标原点建立平面直角坐标

系，求抛物线的函数表达式；

任务2确定桥墩位置求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）；

任务3拟定设计方案给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求

出矩形广告牌右上方顶点的坐标.

【解答】解：任务1：如解图：以A8的中点为原点建立平面直角坐标系（不唯一）,

则桥拱最高点M的坐标为（0,8）,

VAB=20,

，。5=10,

：.B（10,0）,

设抛物线的解析式为y=o?+c,代入得:

（100a+c=0

Ic=8

解得六一0・08,

Ic=8

任务2：令y=4,则-0.08/+8=4,

解得XI=-5A/^,K=5&,

二两个桥墩之间的距离是10匹〃?；

任务3：二•矩形广告牌的面积为18层且长、宽均为整数，

矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落CE上）:

①IX18；②2X9；③3X6；④6X3；⑤9X2；@18X1.

•••拱桥的最高点到CE的距离8-4=4（加，

.,.方案①，②，③不符合题意.

VCE=1OV2<18,

，方案⑥不符合题意.

方案④6X3：当x=1"=3时，>,=-0.08X2+8=7.28.

此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为4+3=7（机），

V7.28>7,

...方案④可以满足要求,

此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是(3,7)；

方案⑤9X2：当乂J■时，>=-0.08/+8=6.38,

x2

此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为4+2=6(/«),

V6.38>6,

...方案⑤可以满足要求，

此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是得，6)；

综上所述，共有两种设计方案：

方案一：矩形广告牌的长为6口,宽为3,",右上方顶点的坐标是(3,7)；

方案二：矩形广告牌的长为9