高中三角函数总结

最全高中三角函数总结三角函数做题技巧与方法总结知识点梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2、三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3、三角函数的诱导公式sin（2kπ+α）=sinαsin（π+α）=－sinαsin（－α）=－sinαcos（2kπ+α）=cosαcos（π+α）=－cosαcos（－α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαtan（π+α）=tanαtan（－α）=－tanαsin（π－α）=sinαsin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=cosαcos（π－α）=－cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π－α）=－tanαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαsin2(α)+cos2(α)=14、两角和差公式5、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosαsin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos2α=cos2(α)－sin2(α)=2cos2(α)－1=1－2sin2(α)cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβtan2α=2tanα/(1－tan2(α))cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα·tanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)6、半角公式：；；7、函数最大值是，最小值是，周期是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心8、由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。(2)当，即时，有最小值；当，即，有最大值1。（3）函数的周期性例5、求下列函数的周期分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。（1）把看成是一个新的变量，那么的最小正周期是，就是说，当且必须增加到时，函数的值重复出现，而所以当自变量增加到且必须增加到时，函数值重复出现，因此，的周期是。（2）即的周期是。说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关。一般地，函数或（其中为常数，的周期。例6、已知函数。求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；解：所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；函数的奇偶性例7、判断下列函数的奇偶性分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域关于原点对称函数应满足 函数的定义域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。练习：已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：函数的单调性例8、下列函数，在上是增函数的是（）分析：解：与在上都是减函数，排除，，知在内不具有单调性，又可排除，应选。例9、已知函数（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)的递增区间.解：（Ⅰ）∴最小正周期T=（Ⅱ）由题意，解不等式得的递增区间是小结：求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：三角函数思想方法归纳解析数形结合思想oxy图1oxy图1y1y2例1．求不等式在上的解集。解析：设，，在同一坐标系中作出在上两函数图像(如图1)，在上解得的解为或，故由图像得要使得，即，由于，在上为偶函数，故在上的解为，得原不等式的解集为分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例2．设，且恒成立，求的取值范围。解析：令令，由，得，则，，在上恒成立，在上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，当时，需得；当时，需，得；当时，需得综上所述，得整体思想整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。例3．求函数的最大、最小值。解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求最值。令，，则，故当时，有最大值，且为；当时，有最小值，且为方程思想方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。例4．已知，求的值解：令，则，，故解得，解得，，化归转化思想化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。例5．若，，试确定的大小。解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较的大小可转化为与比较大小就容易多了。，又，故，，函数思想函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。例6．已知，求证：解析：由得，构造函数：显然，故，即得逆向思想逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。例7．将函数的图像向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得到函数的图像，求的解析式。解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。关于轴的对称变换为，然后再向左平移个单位得，对照比较原函数得，商业策划书/项目可行性报告/可行性研究报告/招股说三角函数常见题型一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。例1已知向量。（1）若，求的取值范围；（2）函数，若对任意，恒有,求的取值范围。解：（1），即。（2）。，又二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。例2若，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为1。（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的值。解：由题意得，（1）∵对称中心到对称轴的最小距离为，∴的最小正周期，。当时，，。。（2）由，得，由，得。故。（1）求；（2）设函数，求x为何值时，取得最大值，最大值是多少，并求的单调增区间。解：（1）∴,∴∴，.,∵，∴,∴当时，,要使单调递增，∴,,又，∴的单调增区间为.例4设向量.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若函数，求的最小值、最大值.解：（I） （II）由（I）得：令。时，三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。例5已知函数.（I）将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（II）如果△ABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为，试求的范围及此时函数的值域.解：（I）f(x)=+(1+)=++=sin(+)+.由sin(+)=0，即+=kπ(k∈Z)，得x=(k∈Z)，即对称中心的横坐标为，(k∈Z).（II）由已知b2=ac，得cosx=≥.∴≤cosx＜1，0＜x≤.∴＜+≤.∵＞，∴sin＜sin(+)≤1.+<sin(+)+≤１+,即f(x)的值域为（，１+）.例6在△中,角A,B,的对边分别为a,,c．已知向量,,且．（1）求角的大小；（2）若,求角A的值。解:（1）由得；整理得．即，又．又因为,所以．（2）因为，所以,故．由．即,所以．即．因为，所以,故或,∴或．三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件，在日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯。再者，填空题答案书写的规范也需反复强调。明书引用/media/zhaogushuoming.shtml三、练习1.函数的定义域为（）2.函数，的值域是()3.函数的周期为，则=.4.下列函数中是偶函数的是（）5.下列函数中，奇函数的个数为（）（1）（2）（3）（4）6.在区间上，下列函数为增函数的是（）7.函数的单调减区间是（）8.如果，则函数的最小值是——————9.函数的值域为（）10、求函数的周期和单调增区间．解．∴函数的周期．当≤≤，即≤x≤(k∈Z)时函数单调增加，即函数的增区间是[，](k∈Z)．答案：BB3CCDBB1．已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的值域。2.已知函数的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.3.（本小题满分12分）已知向量,且(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数R)的值域.4.．（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．5.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值6.．已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。7．已知，（1）求的值；（2）求函数的最大值．8.已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．9.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．10.求函数的最大值与最小值．（17）（本小题满分12分）已知函数（）的最小值正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．11.已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线与函数的图像分别交于M、N两点．（1）当时，求｜MN｜的值；（2）求｜MN｜在时的最大值．12．已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．13．已知函数．求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．14.设函数.其中向量. （Ⅰ）求实数的值; （Ⅱ）求函数的最小值.1、如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。2.在△ABC中，内角，对边的边长分别是.已知.（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求;（Ⅱ）若，求△ABC的面积.3.．设的内角所对的边长分别为，且，．（Ⅰ）求边长；（Ⅱ）若的面积，求的周长．4.．在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）的值.6.在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;(II)若AB边的长为，求BC边的长7.已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值．8.．设锐角三角形AB