2024年广东省东莞市中考数学一模试卷（含解析）

2024年广东省东莞市南城阳光实验中学中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲

线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用.下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（）

2.某种球形病毒的直径为43000000米,将数据43000000用科学记数法表示为（)

A.4.3X106B.0.43X106C.43x106D.4.3X107

A.3a2-a=3a2B.(a+l)2=a2+1

C.a2-(3a)=3a3D.(3a2)2=6a4

5.如图，无法保证A4DE与A/IBC相似的条件是（）

A.Zl=ZC

B.乙4=Z.C—

R

C.z2=NB

6.如图，将AABC折叠，使2C边落在2B边上,展开后得到折痕1,则1是4A

43。的（）

A.中线

B.中位线

B—'C

C.高线

D.角平分线

7.如图，C,。是。。上直径4B两侧的两点，设乙=25°,则NBDC=（）c/----、

A.85°

B.75°

C.70°

D

8.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点4与B之间的距离为12cm,

双翼的边缘AC=BD=64cm,且与闸机侧立面夹角NPS=4BDQ=30。.当双翼收起时，可以通过闸机的

物体的最大宽度为（）

-----------

，鹏7D

闸机箱

A.76cmB.(6472+12)cmC.(64*\咫+12)cmD.64cm

9.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90。得到△EDC.若点4D,E在同一条直线上,E

AB=1,AC=3,贝必。的长为（）

A.3B.272C.2D.372-1

10.如图，一段抛物线y=—/+6x（0WKW6）,记为抛物线C「它与x轴交于点。、右；将抛物线G绕点

4旋转180。得抛物线。2，交x轴于点4；将抛物线。2绕点&旋转180。得抛物线C3,交x轴于点&…如此进

行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024,zn）在此“波浪线”上，则小的值为（）

A.-6B.6C.-8D.8

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.分解因式：x2-16=.

12.已知近视眼的度数y（度）与镜片焦距火小）满足的关系为y=¥，则当近视眼镜的度数为200度时，镜片

焦距为______m.

13.已知扇形的圆心角为80。，半径为3cm,则这个扇形的面积是cm2.

14.已知点（一4,%）、（—1,月）、（2,乃）都在函数丫=一/+1的图象上，贝I%、月、%的大小关系为

15.如图，在等边AABC中，AB=6,点P是边BC上的动点，将AABP绕点力

逆时针旋转60。得到AACQ,点。是4C边的中点，连接DQ,则DQ的最小值是

三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题8分）

解答题：/+6%+2=0.

17.（本小题8分）

计算：（7T—1）°+-1|-一3tan30°.

18.（本小题8分）

如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为4（2,3）,B（l,2）,C（3,l）.

⑴以原点。为位似中心，在第三象限画出△力/1G使得它与△ABC的相似比为2：1(点&、Bi、Q分别与

点4、B、C对应)；

(2)在(1)的条件下，写出点4、G的坐标.

19.(本小题8分)

HIM勿E/Mate60Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能

手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持4隔空操控、智感支

付、注视不熄屏等智慧功能等.该系列完成了核心技术领域从。到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为

“争气机”.手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量.如图，圆弧对应的弦48长

80mm,半径。C14B,垂足为弓形高CD长14nun.

(1)求4。的长；

(2)求半径04的长.

20.(本小题8分)

某校设有体育选修课,每位同学必须从羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动中选择一项且只

能选择一项球类运动,在该校学生中随机抽取10%的学生进行调查，根据调查结果绘制成如图所示的尚不

完整的频数分布表和扇形统计图.

运动项目频数

羽毛球30

篮球a

乒乓球36

排球b

足球12

请根据图、表信息解答下列问题:

(1)频数分布表中的&=,b-

(2)排球所在的扇形的圆心角为度；

(3)小郭和小李参加上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好参加同一项活动的概率?

21.(本小题8分)

每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了

消防演习.如图1,架在消防车上的云梯48可伸缩(最长可伸至20租)，且可绕点8转动，其底部B离地面的

距离8C为2小，当云梯顶端4在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离8。为9m.

(1)若N4BD=53°,求此时云梯4B的长.

(2)如图2,若在建筑物底部E的正上方19nl处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否

伸到险情处？请说明理由.

(参考数据：sin53°«0.8,cos53°~0.6,tan53°~1.3)

F

22.(本小题8分)

如图，一次函数y=2久+b与反比例函数y=<0)图象交于点4(一4,爪)，5(-1,2),4C_Lx轴于点C,

BD1y轴于点D.

(1)填空：m=,b=,k=；

(2)观察图象，直接写出在第二象限内“取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值;

(3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD,若SAPS=SMDB，求点P的坐标.

23.(本小题8分)

如图，在梯形4BCD中4D//8C,点尸，E分另!］在线段BC,2C上，5.ZFXC=^ADE,AC=AD.

(1)求证：DE=AF；

(2)若/ABC=Z.CDE,求证：AF2=BF-CE.

AD

E

B

24.(本小题8分)

如图①，点C,D在线段4B上，点C在点。的左侧，若线段AC,CD,DB'^AC2+BD2=CD2,称C,D

是线段ZB的勾股点.

(1)如图②，C,。是线段48的勾股点，分别以线段AC,CD,为边向28的同侧作正AACE,正ACDF,

正ADBG,己知正△?!£■£■、正△CDF的面积分别是3,5,则正△DBG的面积是；

(2)如图①，AB=12,C,D是线段4B的勾股点，当4c=时，求CD的长；

(3)如图③，C,。是线段AB的勾股点，以CD为直径画。。，P在O。上，AC=CP,连接P4PB,若

乙4=2NB,求NB的度数.

图①图②图③

25.(本小题8分)

如图，抛物线y=-/+2x+3交x轴于4B两点，交y轴于点C,连接力C,BC.

(1)求△ABC的面积；

(2)点M为y轴上一点，是否存在点M,使得4用8(7与2\48(7相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由；

(3)点P为抛物线上一点(点P与点B不重合)，且使得APAC中有一个角是45。，请直接写出点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

8、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项符合题意；

。、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解.

本题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部

分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：43000000=4.3x107.

故选：D.

科学记数法的表示形式为axlOE其中lWa<10,n为整数.确定九的值时，要看把原数变成a时，小数

点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于10时，九是正数；当原数绝

对值小于1时，门是负数.由此进行求解即可得到答案.

本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定a和ri的值是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：从左边看，是一列两个相邻的矩形.

故选：C.

根据左视图即从左边观察得到的图形可得.

此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，

左面，上面看得到的图形.

4.【答案】C

【解析】解：A.3a2-a=3a3,因此选项A不符合题意；

B.(a+I)2=a2+2a+1,因此选项B不符合题意；

C.a2•(3a)=3a3,因此选项C符合题意;

D(3a2)2=9a3因此选项D不符合题意；

故选：c.

根据同底数幕乘法，完全平方公式，幕的乘方与积的乘方的计算方法逐项进行计算即可.

本题考查同底数幕乘法，完全平方公式，幕的乘方与积的乘方，掌握同底数幕乘法，完全平方公式，塞的

乘方与积的乘方的计算方法是正确判断的关键.

5.【答案】B

【解析】解：由图得：乙4=乙4,

•••当48=Z.2或NC=N1或4E：AB=AD；AC时，△2BC与△ADE相似；

也可力E：AD=AC：AB.

B选项中乙4和NC不是成比例的两边的夹角.

故选：B.

本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.

此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹

角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

6.【答案】D

【解析】解：由已知可得，

zl=Z2,

则（为AABC的角平分线，

故选：D.

B----C

根据翻折的性质和图形，可以判断直线/与△ABC的关系.

本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.

7.【答案】D

【解析】解：连接。C,如图，

•••AABC=25。，

.­./.AOC=2Z4BC=2x25°=50°,

D

•••乙BOC=180°-N40C=180°-50°=130°,

11

4BDC="BOC=1X130°=65°.

故选：D.

连接。C,根据圆周角定理可得N40C的度数，再根据平角的性质可得NBOC的度数，再根据圆周角定理即

可求出NBDC的度数.

本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：如图所示，过4作4E1CP于E,过B作BF1DQ于F,

1-1

则RtAACE中,AE=|XC=ix64=32(cm),

同理可得，BF=32cm,

又：点2与B之间的距离为12cm,

••・通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm),

故选：A.

过4作4E1CP于E,过B作BF10Q于尸，则可得4E和的长，依据端点4与B之间的距离为lOczn,即可

得到可以通过闸机的物体的最大宽度.

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是

具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.

9【答案】D

【解析】解：•••将△48C绕点C顺时针旋转90。得到AEDC,

.­.乙ACE=90°,AC=CE=3,AB=DE=1,

AE=y/AC2+CE2=V32+32=3y[2,

AD=AE-DE=3/2-1；

故选：D.

根据将△ABC绕点C顺时针旋转90。得到△EDC,可得乙4CE=90°,AC=CE=3,AB=DE=1,故AE=

AC2+CE2=3/2,即得力D=AE-DE=-1.

本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转前后，对应边相等，对应角相等.

10.【答案】C

【解析】解：对于y=——+6久(0＜久＜6),当y=0时，一久？+6久=0,

解得：%1=0,*2=6,

4(6,0),

•­,y=—x2+6x=—(x—3)2+9,

•••6(3,9).

由题意可知4(12,。)，3(9,-9),

二可设C2：y—以久—9)2—9(6<x<12),

将4(12,0)代入y=a(久-9/一9,得：0=a(12-9/一9,

解得：a=1,

y—(x—9>—9(6<x<12).

由题意又可知整个函数图象每隔6x2=12个单位长度，函数值就相等，

•••2024+12=168…8,

山的值等于％=8时的纵坐标，

m=(8-9)2-9=-8,

故选：C.

根据y=—/+6x(0WxW6)可求出力1(6,0),6(3,9),从而可求出4(12,0),C2(9,-9),进而可得出C2：

y=(x-9)2-9(6<x<12),再根据整个函数图象每隔6x2=12个单位长度，函数值就相等，由

20244-12=168……8,即可知m的值等于x=8时的纵坐标，从而即可得出答案.

本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，关键在于能根据函数图象发现

规律并进行计算.

n.【答案】(%=4)a+4)

【解析】解：%2-16=(%+4)(%-4).

直接运用平方差公式分解即可.

本题考查因式分解-运用公式法，掌握因式分解的方法是解题的关键.

12.【答案】0.5

【解析】解：令y=200,

即：200=理

X

解得：%=0.5,

故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米.

故答案为：0.5.

令y=200,求得x的值即可.

本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数

法求出它们的关系式，本题已经给出了解析式就使得难度大大降低.

13.【答案】27r

【解析】解：扇形的面积=粤桨=27TCm2.

JoU

故答案是：27r.

根据扇形的面积公式即可求解.

本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键.

14.【答案】y2>y3>yi

【解析】解：••・二次函数解析式为y=—久2+1,-K0,

•••二次函数开口向下，对称轴为y轴，

・••离对称轴越远函数值越小，

丁点(一4,y。、(一1而、(2,%)都在函数V=-x2+1的图象上，且0-(-4)=4>2-0=2>0-(-1)=

1,

光>>无，

故答案为：y2>y3>y1-

根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答

案.

本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函

数的性质.

15.【答案】苧

【解析】解：如图，由旋转可得乙4CQ=NB=60。，

又：/-ACB=60。，4

NBCQ=120°,/\\

,点。是4C边的中点，//

...J,/

当DQ1CQ时，DQ的长最小，BPC

此时，/-CDQ=30°,

13

■■■CQ=^CD=-,

DQ=y/DC2-CQ2=苧，

・•.DQ的最小值是苧，

故答案为：苧.

根据旋转的性质，即可得到NBCQ=120。，当DQ1CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ

的最小值.

本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角.

16.【答案】解：久2+6久+2=0,

x2+6x=-2,

/+6%+32=-2+32,

0+3)2=7,

x+3—+V~7,

•••X1=—3+\/~7,%2=—3—W.

【解析】利用配方法求解该方程即可.

本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方

法、公式法、因式分解法等.

17.【答案】解：(?r—1)°+—1|—(^)-1—3tan30°

=l+/3-l-3-3x^

=—3—AAS

=—3.

【解析】首先计算零指数累，绝对值，负整数指数哥和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可.

此题考查了零指数嘉，绝对值，负整数指数累和特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握以上运算法

则.

18.【答案】解：(1)如图所示△4/iG即为所求;

(2)力式―4,-6),C](—6,-2).

【解析】(1)利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点4、B、C的横纵坐标都乘以-2得到点

①、B]、6的坐标，然后描点即可；

(2)根据(1)中的图象得到点A〉的坐标.

此题考查的是作图-位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

19.【答案】解：(1)­.■0C1AB,AB=80mm,

1

AD=-AB=40mm；

(2)vOCLAB,

・•・乙ADO=90°,

设半径OA=xmm,则。C=OA=xmm,OD=OC-CD=(x-

・•.AD2+OD2=OA2,

402+(x-14)2=%2,

1600+%2—28%+196=x2,

28x=1796,

X=64y,

・•・半径04的长为647nun.

【解析】(1)根据已知条件和垂径定理，求出4。即可；

(2)先根据OC14B证明NAD。=90。，然后设半径。4=久?mn,最后利用勾股定理列出关于x的方程，求

出x即可.

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是熟练掌握利用垂径定理和勾股定理解决圆的有关计算.

20.【答案】241854

【解析】解：(1)抽取的学生人数为：12+10%=120(人)，

a=120x20%=24,

6=120—30-24-36-12=18,

故答案为：24,18；

(2)排球所在的扇形的圆心角为：360°x=54°,

故答案为：54；

(3)把羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动分别记为4、B、C、D、E,

画树状图如下：

开始

ABCD

/ZIV./ZIV.

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小郭和小李恰好参加同一项活动的结果有5种，

他们恰好参加同一项活动的概率为蔡=

(1)由选择足球的人数除以所占百分比求得本次抽取的学生人数，即可得到a和b的值；

(2)由360。乘以排球所占的比例即可；

(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小郭和小李恰好参加同一项活动的结果有5种，再由概率公式

求解即可.

本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】解：(1)在RtAABD中，ZXSD=53°,BD=9m,

此时云梯力B的长为15小；

(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处,

理由：由题意得：

DE=BC=2m,

AE=19m,

AD=AE-DE=19-2=17(m),

AABD^P,BD=9m,

AB=y/AD2+BD2=V172+92=<370(m),

vV370m<20m,

・•・在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处.

【解析】(1)在中，利用锐角三角函数的定义求出48的长，即可解答；

(2)根据题意可得DE=BC=2m,从而求出AD=17m,然后在RtAABD中，利用锐角三角函数的定义求

出4B的长，进行比较即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.【答案】||-2

【解析】解：(1)；一次函数'=2刀+6与反比例函数丫=((卜<。)图象交于点4(—4,根)，5(-1,2),

1

k=-4m=-1x2,2=-x(-1)+b,

(2)当一4<%<一1时，一次函数的值大于反比例函数的值；

1CIC

(3)由(1)可知，一次函数y='X+万.设P点坐标为+中,

•■•APCA^A的面积相等，

1111

XX+-X1X

2-2-4)2-(22-

5

解得t=2-

;.p点坐标为(号,).

(1)利用待定系数法即可求得;

(2)根据图象即可求得；

(3)由于点P在直线y=+5上；可设P(tgt+1),利用两个三角形的面积相等列方程求出t,进而确定点

尸的坐标.

本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，将点的坐标转化为线段的

长，是解决问题的关键.

23.【答案】证明：(1)V71D//5C,

•••Z-ACF=Z.DAC

v^FAC=/.ADE,AC=AD,

LADE{ASA),

AF=DE；

(2)-AACF^AADE,

•••Z-AFC=Z-DEA,

Z.AFB=乙DEC,

•••Z-ABC=乙CDE,

ABFSACDE,

AF__BF_

••丽一族’

••・AF•DE=BF,CE,

AF=DE,

・•・AF2=BF,CE.

【解析】(1)证明△ACF之△ADEQ4S4),即可解决问题；

(2)证明得4F,DE=8尸结合(1)ZF=DE,即可解决问题.

本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关

键.

24.【答案】2

【解析】解：(1)•；S&ACE=字心=3,SMDF==C£»2=5，

AAC2=473,CD2=

vAC2+BD2=CD2,

：.BD2=CD2—AC2=-473=苧

・••正4DBG的面积是空x喀=2，

43

故答案为：2.

(2)-AB=12,AC=^AB,

AC=3,

・•.BD=9—CD,

C,D是线段的勾股点，

AC2+BD2=CD2,

则32+(9-CO)2=CD2,

解得：CD=5；

(3)如图所示，连接PD,

•••AC=PC,

•••Z-A=Z-APC,

•••乙PCD=2Z-A,

c,D是线段AB的勾股点，

AAC2+BD2=CD2,

PC2+BD2=CD2,

CD是。。的直径，

•••乙CPD=90°,

.­.PC2+PD2=CD2,

.・.PD=BD,

Z.PDC=2(B,

•・•Z,A=2/8,

•••Z-PDC=Z-A,

在Rt△「(?£)中，v^PCD+^PDC=90°,

2/.A+NA=90°,

解得乙4=30°,

-1

则NB=*4=15°.

2

(1)由等边三角形面积公式知SMCE=¥"2=3,SACDF==5，据此求得AC?=4/3,CD=

44

竽，再根据勾股点的定义知BD2=c02—ZC2=学，从而利用等边三角形的面积公式可得答案；

(2)根据已知条件知4C=3,BD=9-CD,根据勾股点定义列出关于CD的方程，解之可得；

(3)连接PD,由力C=PC及知pc2+B/J2=C£)2,再由CD是圆的直径知pc?+PD?=

CD2,从而得PD=BD,结合AC=PC知NPC。=2ZJ1及NPDC=Z71,在RtAPCD求得NA度数，从而得出

答案.

本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“勾股点”的定义及其应用，也考查了等边三角形的面积

公式、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点.

25.【答案】解：(1)对于y=-x2+2x+3,当x=。时，y=3,

令y=-x2+2x+3=0,则x=-1或3,

即点2、B、C的坐标分别为：(一1,0)、(3,0)、(0,3),

则△力BC的面积=j1xX